Mathématicien

“ Ayant exposé l’importance générale des problèmes en Mathématiques, je passe à la question de savoir quelles sont les sources où le mathématicien les puise. Les premiers et les plus anciens problèmes de chaque branche de la Science mathématique tirent certainement leur origine de l’expérience, et c’est le monde de la connaissance extérieure qui les inspire. Les règles des opérations sur les nombres entiers ont été certainement découvertes lors d’un état inférieur de culture de l’humanité, absolument comme, aujourd’hui encore, l’enfant apprend à appliquer ces règles par la méthode empirique. ”

“ Entre la substance donnée et la substance résultant du changement qualitatif, il y a le rapport de la puissance à l’acte.
X. Mathématiques. — Les mathématiques considèrent les rapports de grandeur, la quantité et le continu, en faisant abstraction des autres qualités physiques. Elles traitent ainsi des choses qui sont immobiles sans exister à part, essences intermédiaires entre le monde et Dieu. Le mathématicien isole par abstraction, dans les choses sensibles, la forme de la matière. La mathématique est pure ou appliquée. La géométrie et l’arithmétique constituent la mathématique pure. ”

“ Parcourez le cercle des sciences, et vous verrez qu'elles commencent toutes par un mystère: le mathématicien tâtonne sur les bases du calcul des quantités imaginaires, quoique ses opérations soient très justes; il comprend encore moins le principe du calcul infinitésimal, l'un des instruments les plus puissants que Dieu ait confiés à l'homme... ”

“ Si vous étiez quelque peu mathématicien, vous ne diriez pas « aussi sûr que deux et deux font quatre! » Qu’est-ce qui prouve que tous les mathématiciens n’ont pas été fous jusqu’à ce jour, en affirmant que la somme de deux nombres est égale à celle de leurs parties, c’est-à-dire que deux et deux font exactement quatre? ”

“ Comme poëte et mathématicien, il a dû raisonner juste ; comme simple mathématicien, il n’aurait pas raisonné du tout, et se serait ainsi mis à la merci du préfet. ”

“ Il engage les mathématiciens à quitter leur géométrie pure, à n'étudier les nombres qu'en vue de la physique, à ne chercher des formules que pour calculer les quantités réelles et les mouvements naturels. ”

“ C'est le dernier des grands mathématiciens ayant eu des connaissances presque universelles : depuis cette époque, la littérature scientifique a pris un tel développement que les mathématiciens ont été forcés de se spécialiser et de s'attacher particulièrement à une branche ou à quelques branches particulières. Nous allons maintenant étudier brièvement les plus importantes découvertes que fit Gauss en mathématiques pures.
Son ouvrage le plus célèbre dans ce genre est les Disquisiliones Arithmeticæ, qui a été le point de départ de plusieurs études importantes sur la théorie des nombres. ”

“ Les équations et les formules par lesquelles les mathématiciens expriment les relations entre les diverses grandeurs, constituent un mode de raisonnement très abrégé, très utile à connaître, mais qui présente, surtout au début de l’enseignement, l’inconvénient de faire perdre de vue la nature des faits sous les transformations des signes qui les représentent. ”

“ S'il touche à la théorie des équations, c'est pour en résumer la partie élémentaire dans la notion de l'indice intégral, pour faire connaître la meilleure méthode d'élimination, pour ouvrir un vaste champ d'exploration, en créant la théorie des substitutions qui, avec le calcul des résidus, sont en ce moment l'objet des travaux les plus importants des mathématiciens contemporains. ”

“ De très bons esprits pensent qu’il y a une certaine parenté entre la faculté du calcul et l’esprit mathématique, et que, si les calculateurs prodiges recevaient une éducation particulière, donnée d’une manière intelligente, ils pourraient devenir pour la plupart des mathématiciens remarquables. ”

“ J’ai insinué que les Mathématiques étaient fort utiles pour accoutumer l’esprit à raisonner juste et avec ordre ; ce n’est pas que je croie nécessaire que tous les hommes deviennent des mathématiciens : mais lorsque par cette étude, ils ont acquis la bonne méthode du raisonnement, ils peuvent l’employer dans toutes les autres parties de nos connaissances... ”

“ Si l’on veut me permettre de poursuivre ma comparaison avec les beaux-arts, le mathématicien pur qui oublierait l’existence du monde extérieur, serait semblable à un peintre qui saurait harmonieusement combiner les couleurs et les formes, mais à qui les modèles feraient défaut. ”

“ Il faut ajouter que, dans notre vision actuelle du monde, l’analyse mathématique reste un instrument indispensable aux progrès des théories physiques, offrant aux physiciens des moules pour leurs vues théoriques ; en échange, les physiciens rendent aux mathématiciens un service d’un haut prix, en les guidant dans l’infinie variété des formes que conçoit notre esprit et les empêchant à certaines heures d’errer à l’aventure. ”

“ Si ce principe est vrai de toutes les sciences, sans doute l’est-il surtout des Mathématiques pures : car celles-ci, n’étant, ni guidées par l’expérience, ni suscitées par les événements de la vie, dépendent plus que toute autre discipline de l’invention et des conceptions de leurs auteurs. Et c’est pourquoi l’on souhaiterait pouvoir répondre avec une parfaite précision aux questions suivantes : Quelle idée les mathématiciens se font-ils de leur science, quel dessein poursuivent-ils, quels sont les principes directeurs de leur activité, quel est le phare qui oriente leurs recherches ? ”

“ Que l’esprit du mathématicien ressemble peu à celui du physicien ou à celui du naturaliste, tout le monde en conviendra ; mais les mathématiciens eux-mêmes ne se ressemblent pas entre eux ; les uns ne connaissent que l’implacable logique, les autres font appel à l’intuition et voient en elle la source unique de la découverte. Et ce serait là une raison de défiance. À des esprits si dissemblables, les théorèmes mathématiques eux-mêmes pourront-ils apparaître sous le même jour ? La vérité qui n’est pas la même pour tous est-elle la vérité ? ”

“ La femme, vois-tu, tu auras beau l’étudier, ce sera toujours un sujet nouveau pour toi.
— Alors, mieux vaut ne pas du tout l’étudier.
— Non. Un mathématicien a dit que le plaisir n’est pas dans la découverte de la vérité mais dans sa recherche. ”

“ Le champ des mathématiques est d' ailleurs tellement vaste que presque tous les grands mathématiciens ont été aussi de grands astronomes et de grands physiciens ; on a dû , pour la classification qui va suivre , se déterminer par les qualités prédominantes de l' homme illustre dont la vie est racontée . Sous les sections : Mécanique , Télégraphie , Vapeur ( application de la ) , etc. , qui sont des branches des mathématiques appliquées , nous retrouverons des illustrations qui ont encore brillé par leurs travaux dans les mathématiques pures . ”

“ La division des mathématiques en mathématiques pures , c'est - à - dire considérant la grandeur d' une manière abstraite , et en mathématiques appliquées , c'est - à - dire considérant la grandeur dans ses applications , nous a fait diviser cette section en deux paragraphes qui comprendront l' une les mathématiciens et l' autre les physiciens . ”

“ On peut s'étonner de voir invoquer la sensibilité à propos de démonstrations mathématiques qui, semble-t-il, ne peuvent intéresser que l'intelligence. Ce serait oublier le sentiment de la beauté mathématique, de l'harmonie des nombres et des formes, de l'élégance géométrique. C'est un vrai sentiment esthétique que tous les vrais mathématiciens connaissent. Et c'est bien là de la sensibilité. ”

“ VII Les mathématiciens, je l’ai dit plus haut, s’efforcent toujours de généraliser les propositions qu’ils ont obtenues, et pour ne pas chercher d’autre exemple, nous avons tout à l’heure démontré l’égalité : ”

“ Toute science mathématique est fondée sur une idée simple, unique : l’arithmétique sur l’idée du nombre, la géométrie sur celle de l’étendue, la mécanique sur la notion de la force, le calcul infinitésimal sur celle de la variation. ”

“ L’arithmétique est éminemment pratique ; la théorie des nombres elle-même retrouve ses plus beaux théorèmes dans l’étude des vibrations. La Géométrie et la Mécanique sont deux branches de la Physique mathématique qui étudient deux propriétés distinctes de la matière, l’étendue et le mouvement. L’Algèbre, le Calcul différentiel, ne sont que les instruments analytiques, indispensables, inséparables, de toutes les théories physiques, ceux qui conduisent aux lois les plus générales des phénomènes qu’on étudie. ”

“ Le but définitif de nos recherches dans la mathématique concrète étant la découverte des équations, qui expriment les lois mathématiques des phénomènes considérés, et ces équations constituant le véritable point de départ du calcul, dont l'objet est d'en déduire la détermination des quantités les unes par les autres, je crois indispensable, avant d'aller plus loin, d'approfondir, plus qu'on n'a coutume de le faire, cette idée fondamentale d'équation, sujet continuel, soit comme terme, soit comme origine, de tous les travaux mathématiques. ”

“ Le nombre, suivant Newton, est un rapport : et la première chose qui distingue les mathématiques, est de s’abstenir de spéculations sur la substance et la cause. Les mathématiques sont des calculs de séries : c’est des propriétés de la série qu’elles tirent leur certitude ; elles ne sont, enfin, ainsi que nous allons le démontrer, qu’un des membres de la grande famille métaphysique. Or, toute science, née ou à naître, n’étant plus qu’un calcul de séries, on peut déjà prévoir que, dans chaque sphère de connaissances, la certitude est égale et homologue à la certitude mathématique. ”

“ Je préfère le mot mathématique, quoique actuellement hors d’usage au singulier, à ceux d’arithmétique, de géométrie, d’analyse, parce que ceux-ci indiquent une partie des mathématiques, ou une des méthodes qu’elles emploient, et qu’il s’agit ici de l’application de l’algèbre ou de la géométrie, comme de celle de l’arithmétique ; qu’il s’agit d’applications dans lesquelles toutes les méthodes peuvent être employées. ”

“ Les Mathématiques pures se bornent à spéculer sur les grandeurs abstraites. Elles forment une science de raisonnement qui se déduit de notions primitives, d’axiomes, sans rien emprunter à l’expérience. Ses branches sont l’arithmétique, la géométrie et l’analyse (algèbre et calcul infinitésimal) . ”

“ Les mathématiques, à qui seules appartient l’entière exactitude, communiquent une partie de leur précision aux sciences qui procèdent d’elles. Aussi fait-on par le moyen de l’astronomie mathématique et de la chimie des prédictions certaines. ”

“ Parmi ceux qui cultivent les sciences mathématiques, personne n’a la prétention de comprendre le calcul différentiel ou la mécanique rationnelle avant de connaître les méthodes les plus simples du calcul. ”

“ Dans la dernière moitié de ce siècle, les efforts se dirigent vers la physique mathématique qui se constitue peu à peu. En analyse pure, la recherche se particularise et s’aiguise de plus en plus, on creuse les propriétés des fonctions et des équations différentielles, le calcul infinitésimal porte tous ses fruits. ”

“ Et pourtant cette rencontre du calcul et de l’expérience produit toujours, même chez les plus endormis, une attente et un ravissement. C’est par là qu’est sensible la puissance des mathématiques, même dans les choses les plus simples ; et c’est un moyen d’intéresser les passions au calcul. ”

“ C’est par les sciences mathématiques qu’il convient de commencer la série des connaissances humaines, parce que ce sont celles qui exigent pour point de départ et qui ont pour objet un plus petit nombre d’idées. ”

“ Ses principes mathématiques, où règne une physique toute nouvelle et toute vraie, sont fondés sur la découverte du calcul qu’on appelle mal à propos de l'infini, dernier effort de la géométrie, et effort qu’il avait fait à vingt-quatre ans. ”

“ Il n’est personne, pour peu qu’il ait touché seulement le seuil des écoles, qui ne distingue facilement, parmi les objets qui se présentent à lui, ceux qui se rattachent aux mathématiques, et ceux qui appartiennent aux autres sciences. En réfléchissant à cela, je découvris enfin qu’on ne devrait rapporter aux mathématiques que toutes les choses dans lesquelles on examine l’ordre ou la mesure, et qu’il importe peu que ce soit dans les nombres, les figures, les astres, les sons ou dans tout autre objet qu’on cherche cette mesure. ”

“ Non que les mathématiques aient rien perdu, à nos yeux, de leur inflexible rigueur, et d’ailleurs, la possibilité d’une mesure exacte avec la réduction à une formule mathématique est de plus en plus le signe d’une théorie scientifique faite ; mais nous regardons moins volontiers du côté de la géométrie pure. ”

“ Bien que les conceptions principales de l'analyse mathématique, envisagées historiquement, se soient formées sous l'influence des considérations de géométrie ou de mécanique, au perfectionnement desquelles les progrès du calcul sont étroitement liés, l'analyse n'en est pas moins, sous le point de vue logique, essentiellement indépendante de la géométrie et de la mécanique, tandis que celles-ci sont, au contraire, nécessairement fondées sur la première. ”

“ Mais, si quelque reproche de ce genre pouvait être aujourd'hui formulé, ce n'est pas à la Géométrie, c'est à l'Analyse qu'il conviendrait, je crois, de l'adresser. Le cercle dans lequel paraissaient renfermées les études mathématiques au commencement du XIX" siècle a été brisé de tous côtés. Les problèmes anciens se présentent à nous sous une forme renouvelée, des problèmes nouveaux se posent, dont l'étude occupe des légions de travailleurs. Le nombre de ceux qui cultivent la Géométrie pure est devenu prodigieusement restreint. Il y a là un danger contre lequel il importe de se prémunir. ”