Pierre Boutroux

“ Descartes estime peu la pure Mathématique, non seulement celle de ses prédécesseurs, mais aussi celle qu’il a cultivée lui-même. Ce point paraît bien acquis. Mais une distinction s’impose, pourtant, entre la méthode et l’objet de la science. Nulle part, croyons-nous, Descartes ne met en doute la puissance et la portée de la méthode des mathématiques. Son dédain ne vise que l’objet auquel cette méthode est appliquée, et il nous en a lui-même indiqué clairement les raisons.
L’objet des mathématiques est sans valeur parce qu’il n’est d’aucune utilité dans l’étude de la nature. ”

“ Pour comprendre comment est né le calcul des séries, remontons un instant au point de départ de l’algèbre.
L’algèbre, nous l’avons vu, est l’art de combiner des signes littéraux (représentant des grandeurs) au moyen d’opérations connues. En principe ces opérations peuvent être quelconques et arbitrairement définies : toutefois les premiers algébristes ne connaissaient d’autres opérations que celle de l’arithmétique, c’est-à-dire l’addition, la soustraction, la multiplication, la division, l’élévation à une puissance entière et l’extraction d’une racine d’ordre entier. ”

“ De toutes les connaissances, on sait que l’analyse pure est la plus immatérielle, le plus éminemment logique, la seule qui n’emprunte rien aux manifestations des sens. Beaucoup en concluent qu’elle est, dans son ensemble, la plus méthodique et la mieux ordonnée. Mais c’est erreur... Tout cela étonnera fort les gens du monde, qui, en général, ont pris le mot Mathématique pour synonyme de régulier. Toutefois, là comme ailleurs, la science est l’œuvre de l’esprit humain, qui est plutôt destiné à étudier qu’à connaître, à chercher qu’à trouver la vérité. ”

“ Certes, c’est un problème de savoir comment une science fondée sur les faits peut s’accorder avec la Logique. Mais Duhem ne résout pas ce problème : il ne fait que reculer la difficulté en la renvoyant de la Physique aux Mathématiques. S’il se trouvait qu’au regard de la Logique l’Analyse mathématique fût sujette aux mêmes infirmités que la méthode expérimentale, l’argumentation de Duhem serait tout au moins incomplète.
L’erreur commise par Duhem consiste, croyons-nous, à postuler que l’on peut opposer les vérités mathématiques aux faits physiques comme on oppose la théorie à la pratique. ”

“ Car il est clair que si nous restons dans le domaine de l’Analyse pure, le succès ne peut plus se manifester comme en physique par une plus ou moins grande conformité de la théorie avec les données de l’expérience.
En fait, le mathématicien ne connaît aucun principe, aucun critère objectif qui lui permette de décider si une théorie vaut ou non la peine qu’il dépense pour la construire. Force lui est, pour diriger son activité, de s’en rapporter à son flair, de s’abandonner à son inspiration espérant qu’elle lui suggérera des aperçus nouveaux. ”

“ Inversement, quelque rompu qu’il soit au mécanisme de son art, le mathématicien ne voit pas toujours clairement quels sont les problèmes auxquels il doit appliquer cet art. De là vient qu’aujourd’hui ce n’est pas nécessairement le même homme qui est, en mathématiques, un inventeur original et un habile technicien ; les qualités qui font de l’un un novateur perspicace, apte à la découverte, et de l’autre un maître de la démonstration, ont cessé, semble-t-il, d’être les mêmes.
En d’autres termes, un dualisme se manifeste au sein des Mathématiques pures. ”

“ Et en effet, s’il était vrai que la science pure, celle qui n’est pas encore mêlée d’éléments étrangers, n’est qu’une forme, indépendante du contenu auquel on l’applique, il s’ensuivrait qu’il est parfaitement inutile de donner à l’enfant des connaissances positives ; amasser des faits est une tâche inintelligente dont la vie saura fort bien s’acquitter ; ce qui importe, ce qui constitue la véritable mission du maître, c’est de développer chez l’élève le sens de la méthode, c’est de faire l’éducation des facultés formelles qui préexistent dans son entendement. ”

“ Au surplus, il est probable qu’aucun mathématicien ne s’est jamais laissé inspirer, dans ses recherches techniques, par une idée semblable.
En résume, c’est Newton qui était dans le vrai — croyons-nous — lorsqu’il a vu dans l’algèbre (analyse) de l’infini telle qu’on la concevait à son époque (c’est-à-dire en tant que méthode de calcul) une suite de l’algèbre du fini. Euler, au xviiie siècle, a adopté le même point de vue. Et Lagrange, dans sa Théorie des fonctions analytiques, affirme d’une manière très nette que l’Analyse n’est qu’une généralisation de l’algèbre élémentaire. ”

“ Pour les Grecs, la science mathématique est avant tout une et harmonieuse. La dualité que nous y voyons aujourd’hui, l’opposition de la matière et de la forme sur laquelle repose notre idée de l’objectivité, ne pouvaient être admises par les anciens. Et le système d’Euclide, nous l’avons vu, tend précisément à faire ressortir l’accord qui règne entre les vérités poursuivies par le mathématicien et les moyens employés pour atteindre ces vérités. Ainsi, selon les Grecs, les notions mathématiques que nous étudions sont les images fidèles des idées qu’elles représentent. ”

“ Le mathématicien n’étudie pas le problème métaphysique de la connaissance et n’a pas, par conséquent, à expliquer comment il peut exister plusieurs manières de connaître. Encore moins est-il obligé de savoir quelle sorte de réalité on peut attribuer aux notions idéales. Il ne préjuge la solution de cette question ni dans un sens ni dans l’autre. Mais il constate que, de toutes les doctrines proposées pour rendre compte de la genèse de la science, seule la doctrine intuitioniste permet d’expliquer tous les caractères et toutes les circonstances de la découverte mathématique. ”

“ La science est entièrement l’œuvre de l’homme, ce qui permet de donner de la genèse des théories une explication pragmatique beaucoup plus absolue que celle dont Henri Poincaré s’était fait l’interprète. Le fait scientifique — écrit M. Le Roy [15] — « n’est pas la réalité telle qu’elle apparaîtrait à une intuition immédiate, mais une adaptation du réel aux intérêts de la pratique et aux exigences de la vie sociale ».
Doctrine parfaitement cohérente, et d’où l’on tire une définition très nette de la science dont se contenteront de nombreux savants. ”

“ Dans la géométrie grecque, en effet, un produit de grandeurs d’une certaine espèce, se présentait le plus souvent comme une grandeur d’une autre espèce, circonstance qui contribuait plus que toute autre à limiter le champ d’application du calcul géométrique. Du point de vue de Descartes, au contraire, le produit est, comme chacun des facteurs, un segment rectiligne. « Et il est à remarquer, dit-il, que par a2 ou b3, ou semblables, je ne conçois ordinairement que des lignes toutes simples, encore que, pour me servir des noms usités en algèbre, je les nomme des carrés ou des cubes » [28] . ”

“ Il n’entre pas dans son dessein de se tourmenter l’esprit, d’user de ruses et de détours pour parvenir à la connaissance de faits peu accessibles, dont la complication même est un signe d’impureté. La découverte, telle qu’il la conçoit, doit s’accomplir sans effort. Non pas, bien entendu, que le savant grec se croie maître de sa spéculation et considère le moins du monde les Mathématiques comme une création de son esprit. Mais il résulte de ses conceptions que seules méritent d’être étudiées les propriétés des nombres et des figures qui se révèlent à nous facilement. ”

“ Usant de sa liberté, le mathématicien a naturellement commencé par étudier les théories faciles, c’est-à-dire celles auxquelles le langage de l’algèbre s’adaptait exactement. Mais, puisque ces théories ne nous suffisent pas, comment nous y prendrons-nous et dans quel sens nous dirigerons-nous pour les dépasser ?
On dira peut-être que le mathématicien sera guidé dans sa marche par la préoccupation d’aboutir à des résultats intéressants et féconds. En mathématique comme en physique, c’est le succès qui justifiera la recherche et qui la déterminera à la façon d’une cause finale. ”

“ Comme le physicien, l’analyste est chaque jour arrêté par les difficultés que l’on nous signale. Lorsqu’il traduit une fonction transcendance dans la langue de l’algèbre, il est obligé de simplifier cette fonction ; il néglige un certain reste. Or il existe une infinité d’expressions algébriques dont la différence est beaucoup plus petite que le reste négligé. Qu’est-ce à dire, sinon qu’a un fait mathématique donné correspond une infinité de faits algébriques ? Nous voilà dès lors ramenée aux remarques de Duhem. Un calcul algébrique ne pourra être fécond que sous certaines conditions. ”

“ Il en est de la distinction posée par M. Le Roy comme de la séparation que l’opinion commune — en simplifiant outre-mesure l’idée de Pascal — a coutume d’établir entre l’esprit de finesse et l’esprit géométrique. La séparation existe incontestablement, mais elle n’est pas entre la science mathématique et un autre domaine ; elle est entre deux aspects de notre pensée qui se rencontrent dans presque tous nos actes intellectuels ; en mathématiques déjà, comme on l’a bien souvent fait observer, l’esprit de finesse joue un rôle considérable. ”

“ Le mathématicien moderne est pris au dépourvu parce qu’il dispose d’une puissance créatrice trop étendue : pouvant construire une infinité de théories, pouvant s’orienter dans une infinité de directions, il ne sait laquelle choisir. Mais il est embarrassé également parce que les notions et les propriétés qu’il étudie résistent à ses efforts, ne se plient qu’imparfaitement à sa volonté ; on sent que ses notions ne sont pas entièrement son fait ; il ne peut plus, comme l’algébriste du xviiie siècle, regarder la science comme étant le résultat pur et simple de ses constructions. ”

“ Nous croyons cependant que pour les créateurs de la théorie des séries, elles n’ont d’autre valeur que celle d’un rapprochement. Le calcul des séries n’est pas — au point de vue technique — d’une autre nature que le calcul algébrique élémentaire ; seulement il ne nous conduit pas directement au but parce qu’il ne nous donne ce que nous cherchons que d’une manière approchée. Or l’idée d’approximation — presque aussi vieille, nous l’avons rappelé, que la géométrie et l’arithmétique grecques — n’a rien à voir avec le dynamisme. ”

“ C’est ici le cas de répondre que le temps ne fait rien à l’affaire. Peu nous importe qu’un analyste habile arrive parfois (rarement) au bout de sa tâche après quinze jours de tâtonnements, tandis qu’à telle théorie physique il a fallu plusieurs générations pour sortir de l’enfance. Le mathématicien n’en a pas moins été aux prises, pendant quinze jours, avec les difficultés auxquelles se heurtent les physiciens.
Peut-on dire, d’autre part, qu’une théorie physique — mise à l’abri des étourderies possibles de ses auteurs, — soit moins définitive qu’une théorie mathématique ? ”

“ L’intuition précède la démonstration, et c’est elle qui inspire et dirige nos travaux en nous montrant confusément quels sont les faits, quelles sont les propriétés, qui peuvent et doivent être l’objet de nos études. Seule, par contre, la connaissance démonstrative nous permet de faire entrer ces faits dans des théories scientifiques, puisque sans elle aucune déduction, aucune construction logique, donc aucune théorie n’est légitime ni même possible. ”

“ Et lorsque plus tard en Occident [3] , l’algèbre prit sa figure définitive, ce fut encore le rapprochement des méthodes orientales et des connaissances tirées de l’étude directe de la science antique qui lui donna un nouvel élan. Quelle part revient au juste dans l’œuvre des premiers algébristes à chacune de ces influences ?
Pour répondre à cette question, il convient d’en bien préciser le sens. Ce qui nous préoccupe, ce n’est pas de déterminer l’origine de telle ou telle notion ou démonstration particulière. C’est dans son ensemble que nous envisageons l’algèbre. ”

“ Suivant les maîtres qui dirigèrent alors notre enseignement, le professeur de mathématiques devrait se proposer comme but unique de former l’intelligence de ses élèves et de leur apprendre à raisonner avec rigueur. Peu importe qu’on leur enseigne telle ou telle partie de la science pourvu qu’on leur fasse comprendre ce que c’est qu’une démonstration et qu’on les habitue à n’avancer aucune vérité qu’ils ne soient capables de prouver. ”

“ Ceux qui le cultivent sont des chercheurs oisifs [38] , adonnés à un vain jeu de l’esprit. Trouverons-nous, du moins, dans la spéculation mathématique, l’occasion d’exercer nos facultés inventives et la satisfaction de déployer les ressources de notre ingéniosité et de triompher de difficultés subtiles ? Non, car, grâce à la méthode algébrique, la Mathématique devient une science mécanique, qu’il est désormais à la portée du premier venu de conduire à bien. — C’est pourquoi — nous reviendrons tout à l’heure sur ce point — Descartes ne poursuit pas lui-même l’œuvre ébauchée dans sa Géométrie. ”

“ « l’algèbre est un art scientifique. Son objet, ce sont le nombre absolu et les grandeurs mesurables, étant inconnus mais rapportés à quelque chose de connu, de manière à pouvoir être déterminés ; les choses connues sont des quantités ou des rapports individuellement déterminés ainsi qu’on le reconnaît en les examinant attentivement ; ce qu’on cherche dans cet art, ce sont les relations qui joignent les données du problème à l’ [inconnue] , qui de la manière susdite forme l’objet de l’algèbre [18] ». ”

“ À en croire les auteurs qui veulent faire de l’Analyse mathématique un chapitre de la logique, la correspondance entre quantités variables étudiée par les mathématiciens sous le nom de fonction ne serait qu’un cas particulier de la relation logique telle que la considèrent Peano, Russell et les « logisticiens » contemporains. Or, ceux qui examinent de près la notion de fonction ne sauraient, croyons-nous, souscrire à cette conclusion.
La définition logique de la relation est, simplement, la définition d’un symbole. ”

“ Pontant, dit M. Brunschvicg, « si la mathématique intervertit le sens de la déduction spécifiquement logique, devra-t-on répéter encore qu’elle invertit le travail naturel, normal de l’esprit ? ou ne s’oppose-t-elle pas plutôt à une première inversion, dictée par les besoins de la pédagogie, beaucoup plutôt que par les exigences de la philosophie, et qui a eu pour effet déjà de renverser l’ordre naturel de la pensée ? ne marque-t-elle pas un retour aux démarches de l’intelligence humaine ? » ”

“ Mais ce serait une histoire d’un caractère élevé, qui laisserait de côté le détail technique des découvertes pour ne considérer que l’esprit. Ce qui constitue, en effet, l’individualité scientifique d’un peuple, ce n’est point le concours de circonstances qui lui a valu d’acquérir le premier telle ou telle connaissance, mais ce sont les méthodes de travail en usage chez ce peuple, les habitudes et les tendances des intelligences, le pouvoir de divination plus ou moins développé et orienté dans tel sens particulier, l’idéal enfin que poursuivent ses savants. ”

“ Le philosophe, au contraire, voulant asseoir un système, sera — quel que soit d’ailleurs son dessein — nécessairement attiré vers ce qu’il y a de solide et d’indiscutable dans les théories scientifiques, c’est-à-dire vers les résultats acquis.
Ne parlons pas ici de Kant et d’Auguste Comte qui, comme le rappelle M. Brunschvicg, ont pris pour point de départ de leurs réflexions une science déjà arriérée, des théories mathématiques déjà dépassées à leur époque. Mais croit-on que les philosophes les mieux instruits du mouvement scientifique de leur temps opèrent avec une méthode très différente ? ”

“ Composer, à partir d’éléments simples, des assemblages de plus en plus complexes et bâtir ainsi de toutes pièces, par sa propre industrie, l’édifice de la science, telle apparaît désormais la tâche du mathématicien. La faculté créatrice du savant se trouve à tel point exaltée, dans cette période nouvelle, que, de moyen qu’elle était, elle se transforme bientôt en but. Laissant aux praticiens le soin d’interpréter et d’utiliser ses théories, le mathématicien de l’école algébriste attache moins de prix aux théories construites et aux résultats acquis qu’à la méthode par laquelle il y parvient. ”

“ Nous concluons de là, que si la théorie physique résulte, comme on le pense généralement, de la combinaison de deux éléments — une forme logique et une matière extralogique —, il doit en être de même de la théorie mathématique. En d’autres termes il est impossible de considérer la Mathématique comme le moule de la théorie physique, car il y a dans cette science même autre chose qu’un moule, il y a un fond objectif qui ne se laisse qu’incomplètement réduire en termes logiques. ”

“ Ainsi l’on ne pourrait pas rendre compte du développement des théories mathématiques si l’on voulait voir dans les formules algébriques et dans les combinaisons logiques les objets mêmes dont le mathématicien poursuit l’étude. Au contraire tous les caractères de ces théories s’expliquent aisément si l’on admet que l’algèbre et les propositions logiques ne sont que le langage dans lequel on traduit un ensemble de notions et de faits objectifs.
Les algébristes et les logiciens ont raison de regarder la Mathématique comme un système algébrico-logique. ”

“ De là aussi cette croyance que pour orienter ses travaux dans la bonne voie, le mathématicien n’a qu’à rechercher ce qui est simple et ce qui est « beau ».
Chez les modernes, au contraire, — qui ne croient plus à une harmonie préétablie entre la matière et la forme des théories — le travail de la pensée mathématique prend un caractère tout différent. Le but est de saisir, de forcer un objet qui nous résiste. ”

“ Afin d’obtenir une Mathématique qui soit applicable à l’étude de la physique et qui soit d’accord, d’autre part, avec les conditions ordinaires de la connaissance humaine, nous devons, entre une infinité de systèmes de postulats théoriquement possibles, choisir ceux-ci et non pas ceux-là, et notre choix est guidé par l’expérience de nos sens ; mais ce n’est pas ce choix qui saurait conférer aux postulats et aux notions de notre science un caractère d’objectivité. ”

“ Par conséquent, le fait que les algébristes utilisent des notions géométriques ne doit rien changer à l’idée que nous nous sommes faite plus haut de l’Algèbre pure. Celle-ci est une technique de calcul, vide de contenu par et elle-même. C’est une méthode. C’est même la méthode mathématique par excellence, qui n’est qu’une application particulière, une spécialisation de la Méthode générale dont Descartes se dit l’inventeur. ”

“ C’est donc très justement que l’intuition, par laquelle nous atteignons les vérités mathématiques, est souvent comparée à une vision de l’intelligence. Pour découvrir les assemblages d’idées qui doivent faire l’objet de notre science, il suffit à notre esprit de regarder. Si nous n’apercevons pas du premier coup tous les caractères et toutes les propriétés de ces assemblages, c’est parce que nous ne sommes pas habitués à contempler directement des idées. Nous sommes semblables à un homme que l’on extrairait brusquement d’un antre souterrain où il aurait été longtemps retenu captif ”

“ Après Descartes, après Newton et Leibniz, l’algèbre avait définitivement affirmé sa puissance et pendant un siècle et demi nous la voyons régner en maîtresse absolue sur la science mathématique tout entière.
Au xviiie siècle, sans doute, les problèmes de la mécanique et de la physique mathématique commencent à occuper une place importante dans les études des savants. Mais c’est par l’algèbre que ces problèmes sont traités, et l’algèbre, clef de nos connaissances les plus précieuses, continue à être regardée comme la science par excellence. ”

“ Il est bien évident tout d’abord que le mathématicien ne saurait construire dans le vide. Il importe que ses théories soient applicables à la géométrie et à la physique. Or, les besoins de ces sciences obligent le savant à étudier des relations mathématiques qui ne se réduisent pas à des combinaisons algébriques. Il y a plus. À l’intérieur même de l’ « Analyse mathématique », nous ne pouvons réaliser des progrès et aller au fond des notions que nous étudions qu’en nous échappant plus ou moins du cadre de l’algèbre. ”

“ Derrière cet échafaudage de symboles que nous superposons indéfiniment les uns aux autres, — comme ferait un habile jongleur se plaisant à accumuler les difficultés dans ses exercices, — il y a des lois, unes et indécomposables, dont la formule adéquate nous échappe, mais que nous pressentons cependant, et que nous nous ingénions à traduire dans notre langage algébrico-logique. Celui qui ne regarderait que l’échafaudage s’imaginerait peut-être que les mathématiques ne sont en effet autre chose qu’un édifice adroitement construit, dont les parties s’emboîtent bien les unes dans les autres. ”

“ Chercher laquelle est la plus « simple » est le plus souvent une question dépourvue de sens. Et, d’ailleurs, ce qui importe au savant lorsqu’il cherche à fixer le point de départ d’une théorie, ce n’est pas que ce point de départ soit simple, mais qu’il soit fécond. Or, par quelle opération logique pourrait-on reconnaître à l’avance qu’un système de postulats nous conduira à des découverts utiles, nous fera pénétrer au cœur de la réalité mathématique ? ”

“ Or, si l’on peut penser que les postulats — celui d’Euclide par exemple — sont choisis dans l’intention de constituer une science commode et pratique, on ne saurait soutenir la même thèse à propos de théories qui n’auront peut-être jamais aucune relation avec les faits expérimentaux. Il n’est pas de mathématicien qui ne soit fermement convaincu qu’une théorie abstraite a une valeur par elle-même, en dehors des applications auxquelles elle peut donner lieu. ”

“ La science doit combiner les notions connues, non en conquérir de nouvelles, et c’est à tort que « toutes les fois qu’on propose quelque difficulté à examiner, la plupart s’arrêtent sur le seuil, persuadés qu’il leur faut chercher quelque nouvelle espèce d’être qui leur est inconnue ». Sans doute Descartes laisse-t-il entendre — en prenant pour exemple l’étude de l’aimant — que la science synthétique ne nous donne peut-être pas une connaissance parfaite et complète. Mais cette science est la seule qui soit accessible à l’homme. ”