J. Delbœuf

“ L’on se convaincra en même temps que l’objet de toute science est nécessairement abstrait.
Toutes les sciences ont pour objet l’univers et ses êtres ; mais ce qui constitue leur caractère propre, c’est leur manière d’envisager les êtres réels dont elles s’occupent. Ils sont d’autant plus compliqués qu’elles y remarquent plus de qualités, c’est-à-dire, qu’elles signalent entre eux plus de différences. L’objet de la science sera réduit à sa plus simple expression lorsqu’on supprimera par la pensée toutes les différences entre les choses, lorsqu’on les considérera toutes comme égales. ”

“ L’objet des mathématiques serait-il le possible, alors que le reste des sciences s’occuperait du réel ? C’est encore là une distinction spécieuse. On dit que la droite, le cercle, le carré sont des possibles, que c’est à ce titre qu’ils sont parfaits ; qu’il n’y a dans la nature ni droite, ni cercle, ni carré ; que les figures naturelles sont imparfaites, qu’elles approchent seulement des figures parfaites de la géométrie. Nous aurons plus tard l’occasion de scruter l’opposition logique du possible et du réel, et de montrer, par voie interprétative, ce que cette distinction a de légitime. ”

“ L’unité et le nombre sont deux idées opposées et corrélatives comme le tout et la partie. Le nombre un est le nombre qui ne comprend qu’une unité.
On peut donc ranger les nombres par ordre de grandeur, et, quand ils sont rangés de cette façon, chacun d’eux surpasse d’une unité celui qui le précède. Le premier problème de l’arithmétique est cet arrangement des nombres ; et l’énoncé de la loi de cet arrangement est un théorème : on range tous les nombres par ordre de grandeur en commençant par l’unité et en ajoutant toujours une unité au nombre qui précède. ”

“ Les autres sciences n’étant pas dans ce cas, les signes, quand elles les emploient, n’ont qu’une valeur indécise et vague. La physique est en voie de se symboliser parce que l’on commence à se rendre assez bien compte de ce que peut être un agrégat de molécules, et de ce que sont les forces moléculaires qui y fonctionnent. La chimie est moins avancée, parce qu’elle ne sait pas encore au juste ce que c’est qu’une molécule c’est-à-dire un agrégat d’atomes. La physiologie est encore bien plus arriérée, car elle n’a, pour ainsi dire, aucune idée de ce que peut être une cellule. ”

“ Il nous reste maintenant à déterminer la place de la logique dans l’ensemble des sciences. On est libre sans doute jusqu’à un certain point de rattacher à la logique des théories qui lui sont plus ou moins étrangères ; on peut étendre ou rétrécir dans de certaines limites le champ qu’on lui attribue. Mais il est trois questions capitales, antérieures à toutes celles que nous pouvons nous poser concernant l’univers, et dont la solution nous paraît être l’objet fondamental de ce qu’on appelle logique. Ces trois questions, les voici : Comment la science est-elle possible ? ”

“ On le voit donc, les sciences, au point de vue où la question est placée, ne diffèrent que par leur degré de développement. Un jour, les principes de la chimie seront tellement certains que les cornues et les alambics deviendront inutiles pour décrire les combinaisons et leurs propriétés, de la même façon qu’aujourd’hui, un aveugle connaissant le calcul, peut expliquer le phénomène de l’arc-en-ciel. Les mathématiques sont des sciences qui ont perdu leur partie expérimentale désormais superflue, la chimie est une science qui n’a pas encore sa contre-partie rationnelle, purement théorique [7] . ”

“ II. — Critique des fondements de l’arithmétique et de l’algèbre. Je m’arrête aux définitions qui ont cours. Je les emprunte à deux manuels remarquables à plus d’un titre : celui de M. Bertrand (2e éd., 1851) et celui de M. Cirodde (17e éd. 1864) .
Ils débutent tous deux de la même manière : l’un définit la grandeur, l’autre la quantité. Or ces notions ne sont pas l’objet de l’arithmétique [2] .
Grandeur ou quantité, c’est tout ce qui est susceptible d’augmentation ou de diminution. M. Bertrand seul prévoit une objection : la beauté, l’utilité, la vertu seraient des quantités à ce titre. ”

“ On a, par exemple, créé le symbole ab représentant une nouvelle espèce de quantité ; on doit immédiatement le soumettre aux opérations précédemment déterminées, soient l’addition et la soustraction. On arrivera, par exemple, à poser l’égalité : ab ± ac = a (b ± c) . Quant à la démonstration de cette égalité, elle repose sur une extension dont la légitimité n’est jamais admise que provisoirement, c’est-à-dire que tant qu’aucune difficulté ne se révèle. En effet, si a, b et c sont des nombres, la démonstration est facile, mais elle cesse de l’être quand a, b, c sont des quantités continues. ”

“ Ainsi encore on peut imaginer un système planétaire où les corps s’attireraient d’après une fonction de la distance autre que le carré, seulement cette fonction ne correspondrait pas à la réalité. La difficulté n’est donc pas de créer des systèmes a priori parfaitement combinés, mais de trouver un système représentant ce qui existe. Or, au début de toutes les sciences, on voit éclore théories sur théories. Arrivent des faits nouveaux qui ne tardent pas à les renverser, jusqu’à ce qu’enfin par ces éliminations successives, les vrais principes se dégagent et se fassent généralement adopter. ”

“ L’idée que j’ai d’un animal, d’une plante, d’un minéral, l’idée même que je me fais d’un objet fabriqué, d’une table, d’une chaise, d’un billet de banque ou d’une pièce de cinq francs, toutes ces idées ne sauraient être réalisées, sans y mêler autre chose que ce qu’elles contiennent, sans y ajouter ce qui fait qu’une réalité n’est pas une simple conception, qu’une pièce de cinq francs en argent n’est pas la même chose que l’idée d’une pièce de cinq francs. ”

“ La géométrie est la science des figures. Une figure est définie quand on donne la position de ses différents points [8] . En thèse générale, cette position est fixée par l’énoncé de leurs distances et de leurs directions par rapport à certains axes ou certains points de l’espace dont la position est regardée comme connue, distances et directions exprimées par des longueurs et des angles. Les longueurs et les angles étant des quantités, et les quantités s’énonçant au moyen des nombres, la géométrie s’appuie en définitive sur l’algèbre, et par elle sur l’arithmétique. ”

“ Quand je vois tous les hommes que je connais mourir tour à tour, quelques-uns par l’effet de la maladie, d’autres par accident, d’autres par l’âge, je me demande s’il ne serait pas essentiel à l’homme d’être sujet à la mort, et je regarde provisoirement, hypothétiquement comme avéré que les hommes sont mortels. Si cette proposition est vraie, il s’ensuit que Pierre, actuellement vivant, doit mourir tôt ou tard ; et le jour où cette conjecture se vérifie, ma croyance en la vérité de la proposition générale se fortifie, et elle se confirmera à mesure que je verrai mourir les autres hommes. ”

“ L’abstraction fondamentale par laquelle on obtient les notions qui font l’objet de la science, est l’hypothèse de cette science. Ces notions sont donc réelles par le fond qu’on leur laisse, idéales par la délimitation qu’on lui a donnée.
Les postulats de la science sont les propositions premières sur lesquelles elle s’édifie ; ils sont la traduction pratique de l’hypothèse et la démonstration s’en fait a posteriori par la concordance des résultats entre eux et avec les faits. ”

“ Le signe est donc un mot, mais un mot qui ne peut avoir qu’un seul sens, non susceptible d’extension, de restriction, de métaphore ; il rend le même service que le mot dans l’expression de la pensée, et, comme lui, il l’aide à se former. Seulement, comme c’est un mot d’une précision absolue, il ne peut s’appliquer qu’à des idées d’une précision égale ; et les résultats de la réflexion sur ces idées sont à leur tour également précis et susceptibles d’être représentés par des combinaisons de signes, par des formules, qui ne sont que des propositions symbolisées. ”

“ Peu à peu, à mesure que l’homme s’instruit mieux des choses qui l’entourent, il apprend à se mieux connaître, et, par suite, la somme de son savoir sur les choses s’accroît en même temps. Mais cette influence réciproque de l’homme sur les choses et des choses sur l’homme, ce progrès continuel n’est possible que si l’homme admet provisoirement qu’il peut avoir la notion des choses, qu’il peut, à certains égards, regarder l’idée comme l’image fidèle de l’objet, qu’il est en possession d’une part de vérité, en un mot. ”

“ Tout ce qui est rationnel est croyable, c’est-à-dire, s’impose à la raison (R = C - x) ; (1)
L’infaillibilité d’une personne humaine élue est, par hypothèse, une idée rationnelle (I = R - y) ; (2)
Donc l’infaillibilité est croyable (I = C - y - x = C - z) ; (3)
Or l’infaillibilité n’est pas identique avec la raison, elle lui est supérieure ; elle comprend donc autre chose que la raison, que nous désignerons par le terme de non-raison ; ou encore, l’infaillibilité et la non-raison sont des concepts entrecroisés qui ont un certain domaine de commun (I - u = R′ - v) ”

“ La confiance est désormais inébranlable ; on a une telle foi dans l’infaillibilité des principes et des méthodes que l’on ne prend plus la peine d’en vérifier les conséquences (mécanique, géométrie, algèbre, arithmétique) . Quand la science en est arrivée à ce point, des penseurs s’imaginent qu’ils tirent certaines vérités de leur cerveau, et que l’expérience leur est inutile. Quelques-uns même essayent alors de construire le monde réel par la seule force de leur intelligence. ”

“ L’ensemble des sciences forme donc un édifice dont la base est l’arithmétique, et dont les différents étages s’élèvent à mesure que l’intelligence humaine saisit des rapports de plus en plus compliqués. Les hypothèses, les postulats et les théorèmes d’une science servent d’axiomes pour les sciences subséquentes qui s’appuient sur elle. Ainsi les propositions fondamentales de l’arithmétique sont des axiomes pour l’algèbre, les propositions fondamentales de l’algèbre sont des axiomes pour la géométrie, et ainsi de suite. ”

“ Passer du particulier au général par voie d’induction, redescendre du général au particulier par voie de déduction, voilà le procédé constant de l’esprit humain. Quant à la généralisation, elle se fonde sur l’analogie qui est à son tour une espèce d’induction par laquelle on est porté à attribuer à un sujet tout l’ensemble des qualités que possèdent d’autres sujets, parce qu’on lui en reconnaît quelques-unes. C’est par analogie que nous faisons des étoiles dites fixes les centres de systèmes planétaires semblables à celui dont la Terre fait partie. ”

“ Dans les termes du problème figure donc une croyance, toute subjective, il est vrai, dans la présence en nous d’un phénomène appelé pensée, dans l’existence d’une réalité en dehors de nous, dans la possibilité d’un accord entre la pensée et la réalité, car on ne recherche pas ce que l’on considère comme impossible. Dans le problème, on se demande si cette croyance est légitime ; mais se poser un problème et chercher à le résoudre, est déjà un acte de pensée, c’est déjà reconnaître implicitement la validité de la pensée ”

“ Ainsi donc, pour en revenir à la question qui a été examinée plus haut, la certitude des mathématiques, la croyance en leur objectivité provient de ce que les propositions théoriques sont toujours d’accord entre elles sans jamais révéler de contradiction, et d’accord aussi avec l’expérience quand on les fait entrer dans le domaine des faits.
L’homme croit donc, en vertu d’une loi nécessaire de sa raison, que la vérité est possible, que la pensée peut être en harmonie avec la réalité. ”