Louis Couturat

“ LES JUGEMENTS GÉOMÉTRIQUES.LES JUGEMENTS GÉOMÉTRIQUES. Il nous reste à discuter la théorie de Kant au sujet de la Géométrie. S’il y a une science qui paraisse reposer sur l’intuition, c’est bien celle-là, puisque c’est la science de l’espace ; aussi bien des mathématiciens-philosophes, qui considèrent l’Analyse comme une science pure et a priori, regardent-ils la Géométrie comme une science empirique ou du moins intuitive. Cela prouve en tout cas qu’il y a lieu de séparer la Géométrie de la science générale des grandeurs, et qu’on ne peut pas conclure de l’une à l’autre. ”

“ S’il est un produit de l’imagination, il ne peut être que confus comme l’image même ; s’il est une méthode générale de construction, il ne diffère pas du concept ; dans tous les cas, on ne voit pas comment il peut faciliter la comparaison et le rapprochement du concept et de l’image.
D’autre part, si le nombre est le schème de la grandeur, il semble que le concept que le nombre représente soit le concept d’une grandeur. ”

“ Si donc le paradoxe de Kant prouve quelque chose, c’est que l’espace est le substratum de relations d’ordre, et que par suite il n’est pas une grandeur pure, mais aussi et surtout un ordre, ce qui est au fond la thèse même de Leibniz que Kant croyait réfuter. Cette question doit être soigneusement distinguée de celle-ci, qui parait lui avoir donné naissance : « Pourquoi le monde réel a-t-il telle orientation plutôt que l’orientation opposée ? Pourquoi, par exemple, les planètes tournent-elles de droite à gauche autour du soleil ? » ”

“ Si la base de la Critique est trop étroite, ce n’est pas parce qu’elle est empruntée aux mathématiques, mais parce qu’elle est empruntée à une conception insuffisante et périmée des mathématiques. Il est vain d’espérer qu’on pourra tirer de l’étude des sciences de la nature des lumières nouvelles sur la constitution de l’esprit ; car c’est méconnaître le caractère formel de la mathématique et son applicabilité universelle : elle est la véritable Logique des sciences de la nature, et il n’y a pas de Logique possible en dehors d’elle. ”

“ Il semble donc que, selon Kant, on ne puisse pas démontrer un théorème de Géométrie sans construire une figure et mener des lignes auxiliaires, et que toute construction implique nécessairement un appel à l’intuition. Or ni l’une ni l’autre de ces propositions n’est justifiée. Pour commencer par la seconde, une démonstration géométrique n’est valable que si elle ne repose pas sur un appel à l’intuition : tout le monde sait qu’il ne faut jamais invoquer les propriétés apparentes de la figure, et que l’on peut commettre ainsi des sophismes dont quelques-uns sont classiques. ”

“ Cela est d’autant plus étonnant, que la Logique formelle était, de son propre aveu, la base nécessaire de la Logique transcendentale ; c’est « la même fonction » qui forme les jugements et subsume les objets sous les catégories ; c’est « le même entendement », « par les mêmes actions », qui produit, d’une part, l’unité analytique dans les concepts, et d’autre, part l’unité synthétique dans l’intuition (A. 79 ; B. 104-105) . ”

“ On sait que, selon Kant, le nombre, schème de la grandeur, « est une représentation qui embrasse l’addition successive d’une unité à une autre (de même espèce) » ; et, par suite, « le nombre n’est pas autre chose que l’unité de la synthèse de la multiplicité d’une intuition homogène en général, par le fait qu’on engendre le temps lui-même dans l’appréhension de [ 267] l’intuition » (B. 182) . Ainsi, en tant que schème, le nombre est intermédiaire entre la sensibilité et l’entendement : il est à la fois intellectuel et intuitif. D’un côté, il est un produit de l’imagination ”

“ Un raisonnement purement logique « prend du temps » pour s’effectuer dans l’esprit ; il ne s’ensuit pas qu’il implique si peu que ce soit une synthèse intuitive et temporelle.
Dira-t-on que la synthèse intuitive qui constitue le nombre s’effectue dans l’espace, et non dans le temps, ou dans l’espace aussi bien que dans le temps ? Cette interprétation, quoique contraire à la théorie du schématisme, pourrait s’appuyer sur les passages précédemment cités de l’Introduction et des Prolégomènes, car dans ceux-ci le nombre est présenté comme un schème spatial, et non comme un schème temporel. ”

“ Or « la métaphysique est la connaissance rationnelle par concepts ; la mathématique est la connaissance rationnelle par construction de concepts » (B. 865, 741) . Qu’est-ce que construire un concept ? C’est « exposer l’intuition a priori qui lui correspond ». La construction des concepts n’est donc possible que si nous possédons des intuitions a priori. Celles-ci nous sont fournies par les deux formes a priori de la sensibilité, l’espace et le temps. C’est donc l’Esthétique transcendentale qui est chargée de répondre à cette question : « Comment les mathématiques pures sont-elles possibles ? » ”

“ Kant caractérise la méthode mathématique en l’opposant à la méthode de la philosophie. La mathématique seule a des axiomes, c’est-à-dire des principes synthétiques a priori, « parce qu’elle seule peut, en construisant un concept, lier a priori et immédiatement ses prédicats dans l’intuition de son objet » (B. 760) [5] . La philosophie ne peut pas avoir d’axiomes, car elle ne peut pas sortir du concept pour le lier à un autre concept. La mathématique seule a des définitions, car seule elle crée ses concepts par une synthèse arbitraire ”

“ C’est qu’il exprime le rapport de cette grandeur à la grandeur-unité de même espèce ; or le choix de cette unité est complètement arbitraire. Il n’y a donc dans la notion d’une grandeur rien qui indique qu’elle doive avoir pour « schème » tel nombre plutôt qu’un autre. De plus, si la grandeur est un concept, et si elle ne peut être schématisée que par le nombre, que devient la théorie kantienne suivant laquelle toute grandeur est intuitive, et revêt nécessairement la forme de l’espace et du temps ? ”

“ C’est que la notion de l’étendue est contenue dans celle de corps, et fait partie de sa définition. Pourquoi le jugement : « Tous les corps sont pesants » est-il synthétique ? C’est qu’on n’a pas besoin du caractère pesant pour définir le corps ; il est complètement défini par d’autres caractères, et par suite celui-là ne peut lui être attribué qu’après coup, synthétiquement (B. 42) . On le voit : ce qui distingue les attributs analytiques et synthétiques d’un concept, c’est le fait, purement logique, qu’ils font ou ne font pas partie de sa définition. ”

“ D’autre part, quel est, selon Kant, le fondement des jugements analytiques ? C’est tantôt le principe d’identité, tantôt le principe de contradiction, qu’il a tour à tour distingués et confondus. Dans la Principiorum primorum cognitionis metaphysicae nova dilucidatio [Nouvelle explication des premiers principes de la connaissance métaphysique] (1755) , Kant considérait le principe d’identité, et non pas le principe de contradiction, comme le fondement de toutes les vérités, tant négatives qu’affirmatives, sous cette double forme : Ce qui est, est ; ce qui n’est pas, n’est pas. ”

“ On n’invoque jamais, dans la démonstration, les propriétés intuitives de la figure particulière que l’on considère, mais seulement les propriétés qui résultent de sa définition ou de sa construction, c’est-à-dire des hypothèses du théorème. Kant dit que la mathématique représente « le général in concreto (dans l’intuition singulière) .... par où tout faux pas [288] devient visible » (B. 763) . Il y a là une équivoque. S’il s’agit de la méthode de l’Algèbre, il a raison de dire que les signes sensibles préservent de l’erreur, comme Leibniz l’avait déjà remarqué. ”

“ Kant croyait que l’antinomie de la raison pure portait sur la nature de l’espace et du temps et confirmait la thèse de l’idéalité de ces deux formes. Mais, en réalité, les prétendues contradictions où la raison s’engagerait inévitablement en spéculant sur le monde proviennent toutes d’une notion inexacte de l’infini et des préjugés traditionnels relatifs à cette notion ; elles ont perdu toute espèce de fondement depuis que cette notion a été élucidée et rigoureusement définie. ”

“ On dira peut-être que, malgré tout, la différence des objets symétriques est quelque chose d’indéfinissable, et que ce qui le prouve, c’est l’impossibilité où nous sommes de la définir autrement que par référence à des cas particuliers, c’est-à-dire à l’intuition : nous sommes obligés en effet de nous servir des termes de droite et de gauche, qui sont relatifs à notre propre corps, que nul ne peut définir, et qui ne peuvent être distingués que par un sentiment immédiat et inanalysable. ”

“ La philosophie ne peut pas effectuer des démonstrations sur ses concepts, car il lui manque « la certitude intuitive ». La conclusion de cet examen est la séparation complète, l’opposition absolue de la mathématique, non seulement par rapport à la métaphysique, mais par rapport à la philosophie tout entière, et notamment à la logique. Car la logique repose sur des principes analytiques, qui paraissent se réduire au principe de contradiction ; et elle ne permet d’établir que des jugements analytiques. ”

“ Il ne faut donc pas attribuer aux signes une vertu quasi mystérieuse qui garantisse sûrement de l’erreur ; on commet des fautes de calcul aussi bien que des fautes de raisonnement, ce qui n’empêche pas le calcul, comme le raisonnement, de donner la certitude et d’être théoriquement infaillible. Il est étrange de voir Kant faire consister, comme un simple empiriste, « l’évidence » dans la « certitude intuitive », faire appel au témoignage des « yeux » pour « préserver toutes les déductions de l’erreur », et ne reconnaître comme [278] démonstrations que celles qui s’appuient sur l’intuition. ”

“ Plus rigoureusement encore, dans le style de la Logique mathématique, une définition est une égalité logique (une identité) dont le premier membre est un signe nouveau qui n’a pas encore de sens, et dont le second membre, composé de signes connus (et par conséquent ne contenant pas le signe à définir) , détermine le sens du signe en question. Une définition n’est pas une proposition, car elle n’est ni vraie ni fausse ; on ne peut ni la démontrer ni la réfuter ; c’est une convention qui porte uniquement sur l’emploi d’un signe simple substitué à un ensemble de signes. ”

“ Quel que soit ce sens, il a toutes chances d’être moins analytique que celui de la copule = (qui, nous l’avons vu, signifie l’identité) ; il serait aisé à un Kantien de soutenir que la relation plus grand que repose sur l’intuition. Kant n’a pu croire un instant que le prédicat (a) « est contenu » (au sens logique) dans le sujet (a + b) ; car, d’une part, ce sujet n’est pas un produit logique, mais une somme mathématique, et d’autre part la copule du jugement n’est pas le verbe être, ce n’est donc pas un jugement de prédication, comme semble l’exiger la définition des jugements analytiques. ”

“ Dans les Prolégomènes (§ 40) , deux ans seulement après l’apparition de la Critique, Kant détermine ainsi les rapports des sciences mathématiques aux intuitions a priori : « La Géométrie prend pour base l’intuition pure de l’espace. L’Arithmétique produit elle-même ses concepts de nombre dans le temps par l’addition successive des unités ; mais surtout la Mécanique pure ne peut produire ses concepts de mouvement qu’au moyen de la représentation du temps. » ”

“ En Géométrie analytique, on raisonne au moyen d’équations générales qui représentent indifféremment toutes les figures d’une même espèce, et si l’on a recours à l’intuition pour établir ces équations, on s’en passe complètement pour toutes les déductions qu’on en tire. En Géométrie projective, on raisonne directement sur les figures, mais en les concevant dans toute leur généralité, et en faisant abstraction de toutes leurs particularités intuitives ”

“ D’ailleurs, s’il est juste de reconnaître que Kant n’a pas été dupe des sophismes les plus grossiers des finitistes, il faut avouer qu’il n’a pas eu de l’infini une notion claire et constante ; car, tandis que dans l’Esthétique transcendentale il considère l’espace comme « une grandeur infinie donnée » (A. 25, B. 39) , et donnée dans une intuition simultanée, dans l’Antinomie il définit l’infini par le fait que « la synthèse successive de l’unité dans la mesure d’une quantité ne peut jamais [302] être achevée » (A. 430-32, B. 458-60) . ”

“ Il s’agit de savoir quelle est la valeur de l’argument tel qu’il est présenté dans les Prolégomènes.
Nous croyons que l’argument pèche par la prémisse : « il n’y a pas là de différences intrinsèques qu’un entendement quelconque puisse seulement concevoir ». Cette prémisse suppose qu’il n’y a pas entre les éléments des figures d’autres relations que des relations de grandeur : or c’est là une erreur. Il y a aussi des relations d’ordre, et ce sont ces relations d’ordre qui diffèrent, ou plutôt qui sont inverses dans les figures symétriques. ”