Calcul

“ On met à l’ordinaire chaque problème en équation, en regardant toutes les quantités sur lesquelles on établit le raisonnement, comme des quantités absolues. Ces équations primitives formées, on les regarde comme immédiatement applicables à tous les états dans lesquels le système peut se trouver successivement, en se réservant de faire dans le résultat même du calcul les modifications nécessaires pour chaque cas particulier. ”

“ Les perfectionnemens généraux introduits depuis un siècle dans le système total de l'analyse mathématique ont eu pour caractère principal d'utiliser à un degré immense ce peu de connaissances acquises sur le calcul des fonctions directes, au lieu de tendre à les augmenter. Ce résultat a été obtenu à un tel point, que le plus souvent ce calcul n'a de rôle effectif dans la solution complète des diverses questions que par ses parties les plus simples, celles qui se rapportent aux équations des deux premiers degrés, à une seule ou à plusieurs variables. ”

“ Le calcul des valeurs, ou l'arithmétique, paraît, au premier abord, devoir présenter un champ aussi vaste que celui de l'algèbre, puisqu'il semble devoir donner lieu à autant de questions distinctes qu'on peut concevoir de formules algébriques différentes à évaluer. Mais une réflexion fort simple suffit pour montrer que le domaine du calcul des valeurs est, par sa nature, infiniment moins étendu que celui du calcul des fonctions. ”

“ Parmi ceux qui cultivent les sciences mathématiques, personne n’a la prétention de comprendre le calcul différentiel ou la mécanique rationnelle avant de connaître les méthodes les plus simples du calcul. ”

“ Le savant qui veut retenir le résultat d'un calcul qu'il pourrait être appelé à refaire, ou simplement pour fixer dans son esprit une loi importante, transforme ce résultat ou cette loi en une formule qu'il n'oubliera plus. ”

“ A moins de dérouler devant toi, ma chère Élisa, l'immense tableau de ce qui, dans l'univers connu, a reçu le nom d'unité, on ne saurait effleurer que d'une manière imparfaite la théorie des fractions: il faut, en ceci, se contenter du principe. Fort heureusement, le calcul décimal nous offre une compensation, un terme moyen fort agréable ; toute fraction possible peut se réduire en décimales ; et j'ai l'avantage de t'annoncer, pour la première fois, que les fractions anciennes n'existent plus que pour ceux qui persistent à s'en servir. ”

“ Le calcul infinitésimal et différentiel permet d'apprécier les quantités qui échappent à la vue ordinaire de l'homme. Ce calcul merveilleux conduit à l'infini, image scientifique de la grandeur divine. ”

“ Quelquefois, aucun nombre ne satisfait aux conditions posées par l’équation ; le calcul, convenablement exécuté, ne tarde pas à l’indiquer ; il donne ce qu’on appelle des solutions, autrement dit des racines imaginaires. ”

“ Les chiffres de notre tableau expriment le résultat obtenu par le procédé de calcul le plus simple : toute erreur de règle compte pour un point, toute faute d’usage pour un point aussi, et on ne marque jamais plus de deux points pour un seul mot. ”

“ C’est l’habitude du calcul qui apprend à discerner tout de suite les quantités qui deviennent inverses, en passant d’un état à l’autre du système, et qui par conséquent doivent changer de signe lorsqu’on veut rendre immédiatement applicable à ce second état du système les formules qui ne se rapportaient explicitement qu’au premier. ”

“ Si toutes les mesures avaient été divisées en parties décimales, on aurait vu, dans les dénominations de chacune, comment on en doit faire le calcul, et cette découverte eût été à la portée de tout homme intelligent. ”

“ Si nous plaçons au début de chaque problème une convention explicite, tout ira bien, nous n’aurons plus qu’à appliquer les règles de l’arithmétique et de l’algèbre et nous irons jusqu’au bout du calcul sans que notre résultat puisse laisser place au doute ”

“ Ainsi il découvrira le pourquoi du calcul écrit, mais en le vérifiant par le calcul d'objets ou en le préparant toujours par le calcul mental, — calculs qui doivent être les premiers en date, comme ils sont les plus importants dans la vie ordinaire.
A la fin du livre, l'habitude sera prise : l'enfant considérera les chiffres comme la figure connue de choses réelles qui l'ont intéressé, et il pourra imaginer et compter des quantités de plus en plus grandes, sur lesquelles il opérera d'après les règles qui lui sont familières pour les petits nombres. ”

“ S'il touche à la théorie des équations, c'est pour en résumer la partie élémentaire dans la notion de l'indice intégral, pour faire connaître la meilleure méthode d'élimination, pour ouvrir un vaste champ d'exploration, en créant la théorie des substitutions qui, avec le calcul des résidus, sont en ce moment l'objet des travaux les plus importants des mathématiciens contemporains. ”

“ L'enseignement du calcul comprend la connaissance des nombres simples, leur représentation par les chiffres arabes, l'addition et la soustraction enseignées à l'aide du boulier-compteur, la table de multiplication apprise de mémoire à l'aide des chants, l'explication des poids et mesures à l'aide de solides ou de tableaux. ”

“ Le calcul mathématique leur sert à interpréter les données de l’expérience, et au besoin à les compléter : mais ils ne se demandent pas quelle est la nature, quels sont les titres de cette interprétation. ”

“ À la vérité, l'esprit de calcul tend de nos jours à s'introduire dans cette étude, surtout en ce qui concerne les questions médicales, par une voie beaucoup moins directe, sous une forme plus spécieuse, et avec des prétentions infiniment plus modestes. ”

“ Elle est plus générale qu’une formule, qui n’en est qu’un cas particulier ayant une application pratique bien déterminée ; l’expression algébrique peut n’être qu’une simple phase du calcul, n’ayant d’autre utilité que de préparer les calculs qui suivent. ”

“ Pense-t-on, par exemple, que celui qui étudie l’arithmétique aura une idée beaucoup plus exacte de la science du calcul, lorsqu’on lui aura révélé que le nom de cette science vient du mot latin Calculus ? ”

“ Le calcul, le froid calcul, ce dieu du dix-neuvième siècle, qui, avec son tarif désolant, a envahi jusqu'aux ateliers de nos jours, était inconnu alors ; chaque jour, nos heureux devanciers usaient une existence hypothéquée sur le talent seul. ”

“ Celui qui comprendra bien ce calcul, comprendra facilement toute l’arithmétique ; c’est pourquoi il faut enseigner le calcul prudemment, sans se hâter, sans permettre à l’élève d’apprendre rien par cœur, mais en expliquant chaque opération. ”

“ Par l'ensemble des considérations indiquées dans cette leçon, on voit que, si le calcul différentiel constitue, de sa nature, un système limité et parfait auquel il ne reste plus à ajouter rien d'essentiel, le calcul intégral proprement dit, ou le simple traité de l'intégration, présente nécessairement un champ inépuisable à l'activité de l'esprit humain, indépendamment des applications indéfinies dont l'analyse transcendante est évidemment susceptible. ”

“ En effet, outre le plaisir de voir present et d'embrasser un ancien ami, je m’attendois encore à apprendre de vous mille belles choses, et sur tout les adresses particulières dont il faut se servir dans le calcul intégral et différentiel, et les manières de l'appliquer aux questions de physique ; car dans l'intégral principalement il y a pour moi bien des difficultez. Ne pourriez vous point, Monsieur, donner au public plus en detail que vous n'avez fait, les regles de ce calcul et les usages qu'on en peut tirer ? ”

“ L'effet général de cette analyse, quelle que soit la méthode employée, est donc de faire rentrer beaucoup plus promptement chaque question mathématique dans le domaine du calcul, et de diminuer ainsi considérablement la difficulté capitale que présente ordinairement le passage du concret à l'abstrait. Quoiqu'on fasse, on ne peut espérer que le calcul s'empare jamais de chaque question de philosophie naturelle, géométrique, ou mécanique, ou thermologique, etc., immédiatement à sa naissance, ce qui serait évidemment contradictoire. ”

“ Parcourez le cercle des sciences, et vous verrez qu'elles commencent toutes par un mystère: le mathématicien tâtonne sur les bases du calcul des quantités imaginaires, quoique ses opérations soient très justes; il comprend encore moins le principe du calcul infinitésimal, l'un des instruments les plus puissants que Dieu ait confiés à l'homme... ”

“ Tenter de faire rentrer la science, dès son origine, dans le domaine du calcul, ce serait vouloir imposer à des théories portant sur des phénomènes effectifs, le caractère de simples procédés logiques, et les priver ainsi de tout ce qui constitue leur corrélation nécessaire avec le monde réel. ”

“ L'observation attentive de ce précepte, trop méconnu, peut être d'un utile secours dans chaque question particulière, en dirigeant les efforts de notre esprit, à un instant quelconque de la solution, vers la véritable difficulté correspondante. À la vérité, l'imperfection de la science du calcul oblige souvent, comme je l'expliquerai dans la leçon suivante, à mêler très-fréquemment les considérations algébriques et les considérations arithmétiques pour la solution d'une même question. ”

“ Si le calcul est dans la vessie, on l’appelle lithiasis ; s’il est dans les reins, on l’appelle néphrétique.
Le mot calcul vient du latin calculus.
Ce qu’on appelle calcul en Médecine, s’appelle pierre dans l’usage ordinaire.
CALCULABLE. adj. Terme d’Arithmétique. Qui se peut calculer. Le frottement de toutes les parties d’une machine composée est calculable. ”

“ Le calcul est, avons-nous déjà dit, une très bonne chose, un outil de première utilité en matière de construction mécanique, mais il ne faut pas, répéterons-nous, s'exagérer sa valeur lorsqu'on veut l'appliquer à la détermination de coefficients particuliers, souvent variables. ”

“ Le calcul, en un mot, n'est applicable qu'aux objets qui, par leur nature, peuvent se mesurer ou se compter. Tout ce qui tient à l'élévation du génie, à la richesse de J'imagination et à la sensibilité du cœur, n'est et ne fut jamais du ressort des mathématiques. ”

“ I. Pour éviter au lecteur l’embarras de feuilleter des traités de calcul intégral, ou de suppléer à ce qu’on n’y trouve pas, et pour lui offrir en même temps le moyen de vérifier facilement nos calculs, nous croyons convenable de présenter brièvement ici les seules formules d’intégration, peu nombreuses d’ailleurs, qui nous seront nécessaires pour parvenir à notre but, Nous sous-entendrons les constantes. ”

“ Vous voyez donc, mes enfants, que quand on dit : lcs unités d'un nombre doivent être toutes de même nature, ce n'est pas seulement une règle de calcul qu'on exprime, c'est aussi une vérité de sens commun. ”

“ Les très-légères différences que ce tableau présente entre les nombres provenant du calcul direct et ceux provenant des formules complètes
tiennent : les unes, au peu de convergence des formules pour p = 0,05 et S très-petit; les autres, sans doute, aux forts centièmes de l'approximation à laquelle je me suis arrêté; car je n'ai pas réussi à les faire disparaître en répétant et vérifiant mes calculs à diverses reprises. J'ai mieux aimé les laisser subsister que choisir au hasard entre deux chiffres; elles témoigneront de la loyauté des résultats. ”

“ Une analogie fera concevoir nettement ma pensée : on sait que le plus puissant instrument pour développer les théories physiques est le calcul ; mais, pour que le calcul fût applicable, il a été nécessaire qu’il créât des formules de plus en plus efficaces et pénétrantes. Peu de questions physiques sont solubles pour la nue faculté de calcul innée à l’esprit humain ”

“ L'extraction des racines carrées et cubiques des
nombres avec une certaine approximation en décimales.—La résolution de l'équation du premier degré à une inconnue. On insistera sur la pratique du calcul. — De la possibilité de résoudre plusieurs équations à plusieurs inconnues ; applications pour le premier degré, et particulièrement à la question des partages proportionnels. — Théorie des proportions déduite des équations qui expriment l'égalité des deux rapports. — Somme des progressions par différence et par quotient. Théorie des exposants négatifs et fractionnaires. ”

“ Pour faire la preuve de l'addition, il suffit de recommencer l'opération dans un ordre différent de celui qu'on a suivi d'abord ; si le résultat est le même, il est probable que l'opération a été bien faite.
139. Un problème de calcul est l'énoncé d'une question dans laquelle il s'agit de trouver un ou plusieurs nombres inconnus en opérant sur des nombres donnés.
140. Résoudre un problème, c'est déterminer le
nombre ou les nombres inconnus au moyen des nombres connus. ”

“ I. En posant dans la seconde opération donnée dans cet article, on trouve
La première équation ou la seconde peut être commodément appliquée à la confirmation du calcul, si l’on emploie la méthode I ou la méthode II de l’art. 62. ”

“ On a déjà démontré avec assez de clarté , dans la preuve, ou ( explication sur les fractions de la Preuve) du troisième exemple de la règle d'Alliage, comment on doit calculer les fractions, pour nous dispenser d'en établir de nouveau les règles auxquelles elles donnent lieu, qui sont après la multiplication des entiers; de multiplier le numérateur de la fraction par le nombre qui doit être multiplié, et diviser ensuite par le dénominateur pour trouver les entiers qui doivent être ajoutés à la multiplication , et en additionnant la totalité, on trouve exactement la portion que l'on cherche. ”