Numérateur

“ Les termes qui la composent ont pour dénominateurs les longueurs ft, f2, f3 fi et leurs combinaisons littérales différentes deux à deux , trois à trois , quatre à quatre, etc., dans lesquelles on doit avoir soin de ranger les indices 1, 2, 3. suivant l'ordre ascendant. Le numérateur de chaque terme dont le dénominateur est formé d'une seule lettre est l'unité. Quand le dénominateur est formé de deux lettres, le
numérateur est égal à la somme des intervalles des surfaces correspondantes divisés respectivement par les indices de réfraction des milieux compris entre ces surfaces. ”

“ Pour convertir un nombre entier en parties d'une espèce donnée, on multiplie le nombre entier par le dénominateur qui indique l'espèce des parties, et l'on prend le produit pour numérateur de la fraction. ”

“ Réciproquement, si le dénominateur ne renferme pas d'autres facteurs premiers que 2 et 5, en multipliant le numérateur par une puissance de 10 d'un degré convenable, tous seront introduits au numérateur, et la division réussira. ”

“ Ce qui caractérise les mesures simples, c'est que dans la fraction numérique qui sert à les distinguer, le numérateur marque le nombre des temps que la mesure renferme, et le dénominateur la valeur, ou fraction de la ronde, de la note par laquelle chaque temps est représenté; en outre, leurs temps n'admettent régulièrement que la subdivision binaire, c'est-à-dire division en 2, 4, 8, 16 notes.
S'il se présente dans ces mesures un temps avec 3, 5, 6, 7 notes, il forme une exception appelée olet. De là: triolet, quintolet, sextolet, septolet, etc. ”

“ Ces chiffres sont montés, comme les lettres, sur un chevron transversal (Voyez planche V, fig. I ) : les fractions sont montées de la même manière ; mais la partie supérieure du chevron est évidée carrément (fig. 2) , pour recevoir un chiffre mobile en forme de coin, au moyen duquel le numérateur et le dénominateur subissent les changemens nécessaires. ”

“ Lorsque le numérateur contient des décimales, on met un pareil nombre de zéros à la suite du dénominateur , et on fait la division à l'ordinaire , ensuite on sépare au quotient autant de décimales qu'il y en a à ce numérateur ? ”

“ La quantité supérieure ; ici 3, & 5, se nomme, Numérateur , en ce qu'elle marque combien la fraction contient de parties de l'unité, & la quantité inférieure, 4, & 8, se nomme, Dénominateur ; parce qu'elle nous fait voir, en combien de parties l'Entier est divisé. Le Numérateur est toujours plus petit, que le Dénominateur ; par la raison, que s'il lui étoit égal ; par exemple, la fraction formeroit un entier ”

“ Cette fraction ne peut être réduite à de moindres termes, mais elle peut être convertie en une fraction plus simple à quelques égards, dont le numérateur soit un, & dont le dénominateur soit une autre fraction; en effet,
f £ | est égal à ~, puisque si vous divisez 900 7.-+ T?5 le numérateur & le dénominateur par 349, vous ne changez rien à la fraction en elle-même, mais alors le numérateur devient 1, & le dénomina- teur devient 2 - 1 - teur devient 2 -t- parce qu'en divisant 900 par 343?, il vient 2 au quotient, & 202 de reste ”

“ Ainsi, par exemple, on peut supprimer le facteur 15 au numérateur, et remplacer au dénominateur 45 par 3, car 45 est égal à 15 X 3 ; on peut de même remplacer 80 du numérateur et 50 du dénominateur par 8 et 5 ; de même encore on peut supprimer 6 au dénominateur et remplacer
30 du numérateur par 5, car 30 est égal à 6 X 5. ”

“ R. Une quantité représentée sous la forme de fraction est toujours, par rapport à l'unité, ce qu'est le numérateur par rapport au dénominateur : ainsi j vaut une unité parce que le numérateur égale le dé- nominateur; vaut deux unités parce que le numérateur égale deux fois le dénominateur; 7 égale trois fois le ~f de l'unité parce que le numérateur égale trois fois le i du dénominateur. ”

“ Il faut multiplier les entiers par le numérateur et diviser le numérateur total par le dénominateur. On écrit alors les entiers en forme de
fractions en leur donnant l'unité pour dén teur: ainsi, au lieu de 8 fr. ”

“ Le numérateur de cette expression peut s'écrire ainsi
Mais nous avons
et ce numérateur devient
Nous pouvons donc regarder B comme une quantité connue, et par conséquent nous aurons, pour déterminer les coordonnées x' et y' de la nouvelle origine, deux équations, dont l'une ne sera autre chose que l'équation (26) dans laquelle on aura accentué les variables, ce qui l'identifie avec l'équation (27) , et dont l'autre s'obtiendra en remplaçant dans l'équation (25) , également accentuée, le carré. f H ) par sa valeur BZ, ce qui donnera (28) a B2 + dy' + ex' + o. ”

“ On trouve la même chose, plus briévement par la Division, que par la Soustraction, en ce que la Soustraction ne retranche un nombre, d'un autre, qu'une fois à chaque opération ; au lieu que la Division le retranche d'un seul coup, autant de fois, qu'il y est contenu ; ce qui abrége beaucoup. Ainsi pour réduire la même fraction ryy ; 1°. Je divise le dénominateur 253, par le numérateur 161 : le quotient est 1, que je néglige ; reste 92. 2°. Je divise, 161, par 92 ; quotient 1 ; reste 69. 3°. Je divise, 92, par 69 ; quotient 1 ; reste 23. 40. Je divise, 69, par 23 ; quotient 3 ”

“ Les nombres écrits en chiffres sont comptés pour autant de mots qu’ils contiennent de fois cinq chiffres, plus un mot pour l’excédant.
Tout caractère isolé, lettre ou chiffre, est compté pour un mot.
Les signes que les appareils expriment par un seul signal (signes de ponctuation, traits d’union, apostrophes, guillemets, parenthèses, alinéa, soulignés) ne sont pas comptés.
Sont toutefois comptées pour un chiffre les virgules et les barres de division qui entrent dans la formation des nombres.
(F. Convention de Berne, art. 20.) ”

“ Dans tout système de numération, un nombre entier quelconque se compose d'un multiple du plus grand nombre d'un
seul chiffre et de la somme des chiffres avec lesquels il est écrit.
En effet, une unité de rang quelconque se compose d'une unité simple et d'un nombre écrit avec autant de chiffres égaux au plus grand nombre d'un seul chiffre qu'il y a de zéros dans l'écriture de cette unité de rang quelconque; donc une unité de rang quelconque se compose d'un multiple du plus grand nombre d'un seul chiffre et d'une unité simple. ”

“ Et pour que ces paragraphes soient plus savants, pour qu’ils soient véritablement scientifiques nous les numéroterons. Tout le monde sait que la numérotation c’est la numération, et que la numération, que le numéro fait le commencement de la science. Car le numéro en bon français n’est-il pas le nombre et le nombre ne fait-il pas l’une partie, n’est-il pas l’une matière des deux de la mathématique. ”

“ Une des méthodes les plus généralement arrêtées consiste à représenter chaque lettre et un certain nombre de mots, de syllabes et de noms propres, par des chiffres; afin de mieux dérouter les investigations, on exprime la même lettre ou le même objet par divers chiffres; les noms (p. 100) de nombre eux-mêmes se traduisent par des chiffres. On forme ainsi des tableaux qui portent le nom de chiffre chiffrant; en voici un modèle. ”

“ On éprouve moins d'embarras à faire usage d'un chiffre, dans lequel les signes astronomiques sont mêlés à des lettres empruntées aux alphabets hébraïque, grec ou latin, ou bien à des chiffres numériques, à des figures de mathématiques. Chacun de ces signes exprime une lettre, une syllabe ou un mot. Cette méthode était du goût des anciens auteurs; mais aujourd'hui elle ne trouve guère de partisans. Vigenère se plaît à en fournir des exemples qu'il développe avec sa prolixité habituelle. ”

“ Quoique la manière d'écrire et d'énoncer les nombres entiers soit nécessairement familière à ceux qui abordent l'étude théorique de l'arithmétique, ce système de numération a une telle importance dans l'art de faire les calculs, qu'il est essentiel d'en indiquer avec soin les principes. ”

“ Écriture en chiffres. Les chiffres ont été aussi employés dans la cryptographie ; alors ce moyen prend le nom d’écriture en chiffres. Ce système consiste à donner aux chiffres une signification arbitraire connue seulement des deux correspondants. Alors l’alphabet, au lieu de se composer de lettres, se compose de chiffres. Un même chiffre sert toujours à représenter une même lettre ; par exemple, les voyelles a, e, i, o, u seront rendues par i, 2, 3, 4, 5 ; les voyelles doubles, oi, ou, on, in, an, et enfin les consonnes par d’autres chiffres ou par des combinaisons de chiffres. ”

“ Les jeunes gens d'aujourd'hui ont peut-être appris de leur professeur de mathématiques le moyen employé dès le moyen âge pour retenir le rapport qui existe entre la circonférence et son diamètre (3,1416) ; on avait construit une phrase où la quantité de lettres de chaque mot correspondait à un chiffre du nombre à retenir : « Que j'aime à faire apprendre un nombre utile aux sages », 3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, etc. C'est un procédé très acceptable.
Un autre système ingénieux a été imaginé par Aimé Paris. il représente les 10 premiers chiffres par une consonne. ”

“ DES MOTS ET DES SIGNES QUI SERVENT A LA NUMERATION.
174. Les nations civilisées de l'Europe, à l'exemple des peuples asiatiques, ont adopté et consacré pour la notation d'une certaine série d'idées, celles de nombre et de quantité, des signes qui ne se rattachent point au système suivi pour la notation des autres idées exprimées par les mots de leur langue parlée. Les signes de nombre, ou chiffres, n'ont aucune sorte de rapport avec les sons articulés par lesquels on rappelle l'idée de ces mêmes nombres, car leur nature s'éloigne entièrement de celle des lettres. ”

“ Ces moyens consistent à réduire le calcul des nombres les plus composés à celui de nombres plus simples, ou exprimés parle plus petit nombre de chiffres possible. C'est ce qu'il s'agit d'exposer actuellement.
DE L'ADDITION DES NOMBRES ENTIERS ET DES PARTIES DÉCIMALES.
55. Exprimer la valeur totale de plusieurs nombres par un seul est ce qu'on appelle faire une addition.
Quand les nombres qu'on se propose d'ajouter n'ont qu'un seul chiffre, on n'a pas besoin de règle; mais lorsqu'ils ont plusieurs chiffres, on trouve leur valeur totale qu'on appelle somme, en observant la règle suivante. ”

“ Pour écrire en chiffres un nombre entier énoncé en langage ordinaire, il faut considérer les différentes espèces d'unités dont se compose le nombre, les écrire successivement, à partir de la gauche, en ayant soin de remplacer par des zéros les unités qui pourraient manquer. ”

“ NOTATION, s. f. (Géom.) en Arithmétique, l’art de marquer les nombres par les caracteres qui leur sont propres, & de les distinguer par leurs figures. Voyez Nombre & Chiffre.
Le choix des caracteres arithmétiques est arbitraire ; aussi sont-ils différens chez les différentes nations. Mais il n’y en a peut-être pas de si commodes que ceux dont nous faisons aujourd’hui usage en Europe, qu’on dit avoir été inventes par les Arabes, & qu’on appelle par cette raison chiffres ou caracteres arabes. Cependant, selon l’observation de Wallis, un auteur arabe en attribue l’invention aux Indiens. ”

“ Transcrivez sur le papier réglé la note qui, sur le cadran intérieur, répond aux lettres dont sont composés les mots de l'avis qu'il s'agit de transmettre. Votre correspondant, instruit, par la clef de la musique et par le chiffre qui désigne la mesure, de l'arrangement qu'il doit donner à ses cadrans, substituera, en place de chaque note, la consonne ou voyelle qui lui correspond.
En changeant de clef à plusieurs reprises, (p. 155) on rend le déchiffrement plus difficile pour les personnes qui n'ont pas le cadran cryptographique. ”

“ Un nombre qu'on énonce sans désigner l'espèce des unités, comme quand on dit simplement trois ou trois fois, quatre ou quatre fois, s'appelle un nombre abstrait; et lorsqu'on énonce en même temps l'espèce des unités, comme quand on dit quatre kilogrammes, cent tonneaux, on l'appelle nombre concret.
Nous définirons les autres espèces de nombres à mesure qu'il en sera question.
DE LA NUMÉRATION ET DES DÉCIMALES.
7. La numération est l'art d'exprimer tous les nombres par une quantité limitée de noms et de caractères. Ces caractères s'appellent chiffres. ”

“ Si le mot que vous voulez chiffrer est celui de roi, par exemple, vous mettrez, au lieu de l'r, la lettre x qui y correspond sur le cadran intérieur, et ensuite, au lieu des lettres o et i, les lettres v et n; vous aurez ainsi xvn, et le déchiffrement (p. 123) de ce que vous écrirez de la sorte sera presque impossible à celui qui ne saura pas que vous vous servez des cadrans, et qui, le sût-il, ne connaîtra pas quelle disposition vous leur donnez. ”

“ Définition. — On appelle numération la partie de l'arithmétique qui apprend : 1° à former les nombres, 20 à les nommer, 3° à les écrire. Nous allons nous occuper successivement des trois parties dont se compose la numération.
12. Formation des nombres. — L'unité est un nombre (7) .
Si l'on ajoute l'unité à elle-même, on a un nouveau nombre; si à celui-ci on ajoute l'unité, on a le suivant, et ainsi de suite. Donc pour
avoir un nouveau nombre, il suffit d'ajouter l'unité à un nombre déjà obtenu. ”

“ UNITÉS MILLE. MILLIÈMES.
MILLIONS MILLIONIÈMES.
BILLIONS. BILLIONIÈMES.
On voit par l'examen de ce tableau que les nombres décimaux se partagent par tranches comme les nombres entiers ; mais il est impossible, dans la pratique, de suivre cette division. On verra, dans les tableaux suivans, que l'unité décimale varie suivant la quantité de chiffres dont le nombre décimal est composé. Lorsqu'il est composé de quatre chiffres, l'unité est des dix-millièmes ”

“ Le D. C'est l'unité multipliée aucune fois par dix: c'est clair. Ainsi tous les nombres de cette série sont des puissances de dix, ou l'unité divisée par ces puissances. A présent tout nombre est un composé de différentes puissances de dix multipliées par des unités , qui sont exprimées par des chiffres arabes. Les chiffres romains qui expriment les puissances, sont sous-entendus.
Le M. Le nombre qui fournit toutes les puissances employées dans les calculs, se nomme la base du système de numération. Dix est la base du nôtre. ”