Victor Laurent Suzanne Moïse Angliviel de La Beaumelle

“ Le D. A présent je comprendrai bien la division. Le dividende, qui est le produit, est toujours concret : quand il s'agit de chercher le nombre de parts, c'est le diviseur qui est abstrait, et le quotient est de l'espèce du dividende ; quand il s'agit de savoir combien de fois il y a une portion déterminée, cette part est évidemment de l'espèce du dividende, c'est le diviseur, et le quotient est un nombre abstrait.
Le M. Maintenant diviser cinquante-quatre haricots en six; ou bien, savoir combien de fois six
haricots sont dans cinquante-quatre, est-ce la même chose ? ”

“ On fait compter et décompter l'élève par six , sept et huit. On n'insistera pas beaucoup sur ce qu'il acquière de la facilité dans ces opérations en portant des nombres intermédiaires ; mais il faut le tenir sur les séries naturelles , six, douze , dixhuit; sept, quatorze, etc., jusqu'à ce qu'elles lui deviennent presque aussi familières que celles de trois, six, neuf. Comme il ne pourra pas aisément juger à l'œil les nombres au-dessus de cinq, on pourra les lui faire mettre par rangées , composées chacune du nombre à compter; mais il faudra que de temps en temps il les compte sans ce secours. ”

“ Le D. C'est l'unité multipliée aucune fois par dix: c'est clair. Ainsi tous les nombres de cette série sont des puissances de dix, ou l'unité divisée par ces puissances. A présent tout nombre est un composé de différentes puissances de dix multipliées par des unités , qui sont exprimées par des chiffres arabes. Les chiffres romains qui expriment les puissances, sont sous-entendus.
Le M. Le nombre qui fournit toutes les puissances employées dans les calculs, se nomme la base du système de numération. Dix est la base du nôtre. ”

“ Le D. Cent; ainsi quand les dixaines et les unités sont divisibles par quatre, le nombre entier doit l'être.
Le M. Huit est de même pour les chiffres des trois derniers ordres. Y a-t-il un moyen de reconnaître ceux qui sont divisibles par cinq?
Le D. Tous ceux qui finissent par cinq unités ou par des dixaines.
Le M. Et pour dix, quelle règle y a-t-il à suivre?
Le D. Tous ceux qui finissent par une dixaine, et à plus forte raison par c.
Le M. Comment pourrez-vous reconnaître ceux que l'on peut partager en neuf portions sans reste?
Le D. C'est impossible, sans les diviser. ”

“ Trois dix-millièmes est trop fort, mais il est plus près.
[ On doit multiplier les exemples de décimales : peu de choses forment autant l'esprit aux abstractions mathématiques, que les espèces de phénomènes que produisent leur emploi dans la multiplication et la division ; d'ailleurs comme, grâce au ciel, leur usage doit devenir général pour tous les emplois dans la vie civile, on ne peut trop y être accoutumé.
On pourra faire faire des additions de décimes et centimes, et d'autres fractions de la même nature ] .. ”

“ Avant de quitter, soit nos jetons marqués , soit ceux de l'abaque, je dois indiquer un des avantages qui peuvent résulter de leur usage : c'est le perfectionnement de la faculté de voir plusieurs objets à la fois , et de se former, sans addition intellectuelle, une idée nette de leur nombre. Il s'agit ici de perfectionner la perception, et non pas le sens de la vue, qui présente toujours à l'esprit plus de choses qu'il ne peut en saisir.
Quelques personnes ont porté à un haut point cette capacité d'embrasser plusieurs objets d'un coup
d'œil ”

“ Eh bien ! on pourrait encore plus aisément compter comme cela qu'avec des haricots, d'autant plus qu'à mesure que l'on avance on a plus de nombres avec la même quantité de caractères.
[ Ceux qui croiront cette leçon trop abstraite pour leurs élèves, pourront la passer, sans grand inconvénient ; je crois cependant de la plus haute importance de bien lier dans la tête de l'enfant l'idée d'ordre de chiffres avec celui de puissance ; c'est le vrai fondement de la numération.] ”

“ En commençant toujours les produits partiels par le dernier chiffre du multiplicande, il doit être indifférent à l'élève de. les commencer -par le premier ou par le dernier chiffre du multiplicateur.
La première manière doit lui être aussi familière que la seconde; c'est celle que l'on doit même employer ordinairement dans les calculs de tête, auxquels il doit être constamment exercé, parce qu'il est bon de fixer tout de suite l'imagination sur de grosses quantités qui font une première approximation , qui devient, à chaque nombre que l'on ajoute, plus voisine de la vérité. ”

“ Il serait trop long de vérifier par la soustraction les longues additions; la preuve par neuf est plus pénible que l'addition elle-même.
Lorsque l'on a fait les sommes partielles de chaque colonne , comme l'erreur n'est guère que d'une unité, on peut vérifier facilement par pairet impair.
On compte impair sur le premier nombre de cette classe que l'on trouve ; on nomme pair sur le second, et ainsi de suite, en laissaut sous les zéros les nombres pairs. ”

“ Il faut long-temps retenir l'élève sur ces exercices, qui lui donnent des produits partiels, la seule idée que cette méthode puisse en donner. C'est ce qui, à mon avis, la rend inférieure à l'autre ; elle parle beaucoup moins aux yeux, et est déjà trop près des chiffres. A cela près, elle ne manque pas d'avantages.
Comme dans cette manière on ne peut pas marquer le multiplicateur ni le diviseur sur les colonnes verticales, il faut que l'élève les garde dans sa mémoire ou les écrive. ”

“ En général, on ne peut pas voir plus de quatre objets à la fois, et, pour en avoir l'idée, il faut les compter ; cela ne doit que rendre plus admirable l'art avec lequel un être qui n'a pas la perception nette du nombre des doigts de sa main, est parvenu à calculer la distance d'Uranus au soleil. ”

“ Chaque rangée, ou le quotient, est de vingtsix , et il y a deux de reste.
On ne fait point extraire de racine, ni former
de carré, pour que les élèves n'altèrent pas l'idée du carré géométrique, qui doit se lier encore dans leur tête à celle du carré des nombres.
Il ne sera pas difficile d'atteindre encore une fois, et dès les premiers jours, les limites de la patience de l'élève ; ses dizaines ne lui suffiront plus. Il est bon qu'il sente la nécessité des découvertes , pour leur donner leur prix. Nous estimons toujours les choses ce qu'elles coûtent et non pas ce qu'elles valent. ”

“ Après avoir fait rayer le papier à l'élève, et lui avoir fait étiqueter les colonnes , il faudra multiplier les occasions de rendre les étiquettes inutiles.
On aura préparé du papier pour une multiplication qui devait monter aux billions ; on y fera une division jusqu'au billionième. On fera des additions de peu de chiffres sur du papier rayé à quinze raies, et on voudra employer la rayure qui restera blanche. Quelquefois l'élève se trompera dans le placement de ses premiers chiffres , et enfin il en viendra à cette conclusion. ”

“ Il est inutile de répéter à chaque page que je ne donne qu'un petit nombre d'exemples ; qu'il ne suffit pas , à beaucoup près, que l'élève en ait fait un ou deux de pareils ; qu'il ne doit passer aux plus avancés qu'après être bien sûr de ce qui précède, et que l'on doit souvent le faire retourner sur ses pas. ”

“ C'est singulier, le produit est plus petit que le multiplicande.
Le M. D'où vient cela?
Lé D. Pour multiplier, il faut ajouter un nombre à rien, autant de fois qu'il y a d'unités dans le multiplicateur ; or, comme toutes les fois que je l'ai ajouté ne font pas une unité, le produit ne peut pas être aussi fort que si je l'avais multiplié par un, c'est-à-dire qu'il ne peut pas être aussi fort que le nombre lui-même. .Le M. Multipliez encore trente-deux par six cent vingt-cinq dix millièmes. ”

“ AUTRE PREMIÈRE LEÇON.
[Le passage du compte des choses réelles à celui des signes est le plus important de l'arithmétique; c'est ce qui la rend vraiment une science. Il importe que l'élève ait une idée bien nette de ce nouvel agent qu'il va employer. Aussi j'ai indiqué cette première leçon de plusieurs manières. Le maître choisira celle qui conviendra le mieux à sa manière d'enseigner , à l'intelligence de son élève, et même aux circonstances où il peut se trouver, et qui peuvent déterminer la préférence pour telle ou telle méthode. ]
Le M. Tant de haricots ne sont pas une chose commode. ”

“ On fait la soustraction, qui n'offre pas plus de difficultés. Comme l'élève n'aura de place que pour neuf haricots sur chaque rangée, il sera obligé de faire ses échanges de tête et sans déranger les comptes.
La multiplication et la division par rangées n'offriront pas plus d'embarras. ”

“ Les chiffres élevés sont les plus difficiles à additionner; le 9 offre quelque avantage, parce qu'il diminue d'une unité du dernier ordre le nombre auquel on l'ajoute. Mais il arrive souvent que les 8, les 7 et même les 6, arrêtent plus long-temps que les nombres inférieurs. En avoir averti, c'est avoir indiqué la convenance de multiplier ces nombres , sans trop d'affectation cependant, dans les exemples que l'on donnera à additionner.
L'élève doit savoir placer la somme indifféremment au haut ou au bas de la colonne, ou la tirer hors ligne. ”

“ Il est misérable de voir de bons calculateurs d'ailleurs , ne pouvoir oblenir un résultat s'ils n'ont auparavant rangé leur multiplicateur et leur multiplicande d'une certaine manière.
La plus grande partie des erreurs de la multiplication vient dé la fausse addition des produits ; en les ordonnant bien on pare à cet inconvénient. Si l'on s'apercevait qu'une des colonnes de la table de Pythagore fùt moins familière que l'autre à l'élève, on multiplierait ce nombre dans les opérations qu'on lui donnerait à faire. ”

“ Le D. Sans doute, il me faudrait encore défaire mes rangées de dixaines. Pourvu que je susse où mettre le premier chiffre du produit, je ne serais pas en peine.
Le M. Vous avez déjà une rangée des unités ; continuez celles-là, elles vous guideront pour les autres.
Le D. Je fais cinq rangées comme le multiplicande pour les cinq unités; ensuite des rangées pareilles d'une case en arrière pour les dix, et enfin deux autres encore une case en arrière pour les cent.
Le produit est huit cent quinze mille quatre cents.
Le M. Elevez au carré trente-quatre. ”

“ Enlin, il se fatiguera de ses haricots, et c'est où il faut le mener. La paresse l'engagerait naturellement à continuer de suivre sa méthode. Il faut fatiguer tellement et sa patience, et sa mémoire et son attention, que sa paresse le conduise à trouver des moyens plus abrégés. Ce n'est qu'au désir du repos que l'on doit la plupart des travaux des hommes, comme ce n'est qu'à la peur que l'on doit la plupart des actions courageuses. ”

“ On fait encore faire quelques opérations comme celle-là; elles ne présentent aucune difficulté, et enseignent à l'élève de manière qu'il ne pourra jamais l'oublier, la vraie valeur des chiffres arabes , qui vont remplacer les mots. Les décimales ne donnent pas plus de peine à écrire : on met en toutes lettres le nombre, et on garde les signes pour désigner l'ordre ”

“ Le M. Additionnez donc huit haricots et six fèves.
Le D. La somme est quatorze.
Le M. Quatorze quoi?
Le D. Je me suis trompé. Cela fait six fèves et huit haricots, ou quatorze graines, quatorze choses.
Le M. De même qu'il n'est pas indifférent, comme vous le pensiez, de savoir ce que l'on additionne; il faut que ce soient des choses de la même nature, sans quoi on ne peut point en savoir la somme.
Le D. Par la même raison, il faudra qu'elles
soient de même nature pour la soustraction, et on ne peut pas retrancher six chevaux de huit moutons. ”

“ La plus grande difficulté qu'offrent les nombres de-beaucoup de chiffres, est le trop grand nombre de colonnes, et quelquefois leur confusion. Le meilleur moyen remployer pour la lever, est de bien ordonner ses chiffres, et l'on doit insister avec rigueur sur ce point; mais cela ne doit point empêcher d'accoutumer l'élève à suivre-même les colonnes un-peu dérangées. L'habitude qu'il aura de considérer toujours à chaque colonne s'il a des cents, des mille, des dix-mille, contribuera à le préserver de l'erreur.. ”

“ D'abord, vous voyez que vous avez écrit au reste, 4 une fois inutilement, et 5 deux fois. On peut se dispenser, et d'écrire les zéros du produit partiel, et d'achever la soustraction ; on peut se contenter de la faire sous les chiffres significatifs, et de descendre les autres chiffres du dividende un à un. ”

“ Je mets beaucoup d'importance à l'art de chiffrer; il ne suppose pas la connaissance de l'arithmétique, mais il en est la plus utile et la plus fréquente application. Je pense que l'on doit exercer beaucoup les élèves sur la pratique des opérations., sans cependant perdre de vue la théorie, qui aide beaucoup à la première. ”