Nicolas Bézénac

“ NAPOLÉON. — Oui, mon cher Théodore; mais la première n'était pas facile à comprendre, vu la multiplicité de ces multiplications, soustractions, divisions et extractions de racine, chose que nous ne comprenons pas encore, car vous ne nous en avez pas encore parlé ; mais quant à mesurer la surface du trapèze, nous ne sommes plus embarrassé, vu que nous savons que pour mesurer la surface d'un rectangle ou carré, il ne s'agit que de multiplier la longueur par la largeur, et le produit de cette multiplication donne les mètres carrés que contient la surface d'un rectangle. ”

“ THÉODORE. — Très-bien! Léonidas; si ces Messieurs ont retenu le raisonnement comme vous, il n'y a plus de difficulté pour faire quelque addition que ce soit. Vous avez oublié seulement de parler des parties décimales.
LÉONIDAS. - Cela est vrai; mais je l'ai retenu comme le reste. Vous avez dit que pour additionner un nombre quelconque, où il y aurait des parties décimales, il fallait faire l'opération comme dans les règles ordinaires, vu que les unités marchant de dix en dix, chaque retenue valait toujours dix. ”

“ Celle-ci est au froid ce que l'ombre est aux ténèbres. Le froid n'est que l'absence de la chaleur, comme les ténèbres ne sont que la privation de la lumière; et de même que l'ombre ne nous ôte pas l'usage du jour, la fraîcheur dont elle est accompagnée ne nous ôte pas l'usage d'une chaleur douce et modérée.
Aux approches de l'été et à mesure que la fraîcheur devient nécessaire, la Providence étend et épaissit les ombres qui nous la procurent. ”

“ La voyant suivre exactement toutes les situations du soleil, ou plutôt observant que les mouvements de l'ombre sont les mêmes que ceux des rayons qui parviendraient jusqu'à terre, s'ils n'étaient interrompus, il s'instruit de la marche du soleil par la marche de l'ombre. Il fait tomber ou reçoit l'ombre d'une pyramide, d'un style , ou d'une colonne, sur des lignes ou sur des points, où elle lui montre tout d'un coup et sans effort de sa part, l'heure, l'élévation du soleil sur l'horizon, et jusqu'au point précis du signe céleste sous lequel il se trouve actuellement. ”

“ La numération est l'art d'exprimer tous les nombres possibles avec une quantité limitée de caractères, qu'on appelle chiffres et qui sont au nombre de neuf, plus zéro, tel qu'on les voit ici : 1,2,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.
Ces caractères nous viennent des Arabes, mais ils les ont pris eux-mêmes des Indiens ; c'est donc aux Indiens que l'on doit leur invention.
Une quantité est tout ce qui est susceptible d'augmentation ou de diminution; ainsi, une montagne est une quantité, comme un grain de sable est aussi une quantité, vu que si l'on peut extraire de l'un on peut ajouter à l'autre ”

“ On ne peut pas toujours assigner exactement en nombres la racine cubique de tout nombre proposé; mais on peut approcher continuellement d'un nombre qui, étant cubé, approche aussi de plus en plus de reproduire ce premier nombre ; c'est ce que nous verrons après avoir appris à trouver la racine d'un cube parfait. Voyons, pour cet effet, de quelles parties peut être composé le cube d'un nombre qui contiendrait des dizaines et des unités. ”

“ Mais de toutes les divisions et subdivisions qu'on peut faire de l'unité, celle qui se fait par décimales, c'est-à-dire en partageant l'unité en parties de dix en dix fois plus petites, est incontestablement plus commode dans les calculs; elle est fort en usage dans la pratique des mathématiques ; la formation et le calcul des décimales sont absolument les mêmes que pour les nombres ordinaires ou entiers : nous allons les faire connaître. ”

“ La division est une opération par laquelle on cherche combien de fois un nombre est contenu dans un autre.
La multiplication a trois nombres bien distincts, le multiplicande, le multiplicateur et le produit.
La division en a trois aussi qu'on appelle dividende, diviseur et quotient.
Maintenant, je crois pouvoir vous dire que l'on aurait pu donner des définitions bien plus simples et plus analogues. Que faisons-nous en arithmétique ? nous allons toujours du connu à l'inconnu. ”

“ Elevons une pyramide ou un simple piquet posé bien à plomb, et prolongeons-le par la pensée en l'unissant au zénith par une ligne perpendiculaire qui passe de l'un à l'autre. Si le soleil parvenait à notre zénith, son rayon tomberait le long de cette perpendiculaire sur la pyramide, et la pointe de celle-ci ne lui opposant pas plus d'obstacle vers un côté du monde que vers l'autre, ne ferait point d'ombre. ”

“ Lorsque le multiplicande contient des zéros, comme la multiplication d'un zéro par quelque nombre que ce soit ne peut donner qu'un zéro au produit, on se contente de mettre des zéros au produit au même rang et au même nombre que ces zéros sont placés au multiplicande. Toutefois, si ces zéros, au lieu de se trouver à la fin du
multiplicande, s'y trouvaient être intercallés, et qu'il y eût des dizaines retenues sur le produit du chiffre à droite du zéro, on mettrait le chiffre de ces dizaines à la place ou au rang de ces zéros. ”

“ Méthode abrégée pour la division Il existe aussi, pour la division de deux nombres composés d'un grand nombre de chiffres, un moyen, plus simple que le procédé ordinaire, d'obtenir le quotient avec un certain degré d'approximation.
Nous considérons d'abord le cas où le dividende et le diviseur étant deux nombres entiers, on voudrait obtenir le quotient à moins d'une
unité près seulement. ”

“ THÉODORE. — C'est on ne peut mieux. Mais si c'était 7 de francs, je voudrais qu'Adolphe me dise quel serait le quotient.
ADOLPHE. — Le quotient serait 66 centimes et 66 dix-millièmes.
THÉODORE. — Très-bien. Mais si la fraction
était des litres, je demande à Léonidas ce que serait la fraction. ”

“ L'arithmétique est la base des mathématiques, elle en est l'alphabet ; les opérations qui constituent toute l'arithmétique sont au nombre de quatre, que l'on nomme addition, soustraction, multiplication et division. ”

“ Je pense, Messieurs , que vous devez avoir compris comment on peut extraire la racine carrée d'un nombre quelconque; car, en supposant que le nombre dont on a extrait la racine carrée ne soit pas un carré parfait, on pourra toujours en approcher aussi près que l'on voudra en ajoutant des zéros au nombre dont on a cherché la racine carrée. ”

“ Méthodes abrégées pour la Multiplication et la Division des fractions décimales.
THÉODORE. — Je vais vous montrer des méthodes abrégées pour la multiplication et la division des fractions décimales.
HENRI. — Voilà encore une de ces récréations assez amusantes, des multiplications et des divisions de fractions décimales; cela doit être effectivement très-amusant.
THÉODORE. — Plus que vous ne croyez; c'est plus qu'amusant, c'est instructif tout à la fois.
ALPHONSE. — Nous aurions voulu de ces opérations où il y a de petits artifices curieux qui délassent de la fatigue des chiffres. ”

“ Elle parvient de surface en surface, et de détour en détour jusqu'aux endroits les plus reculés; et quand elle ne peut plus nous y procurer la vue distincte des objets, elle nous épargne au moins les chutes, et nous avertit de tous les dangers, Ce que toute la masse de la lumière fait en grand dans la nature après le coucher du soleil, en se changeant en crépuscule, chaque rayon de lumière le fait à chaque instant, en se convertissant en ombre par ses divers rejaillissements. ”

“ Si au contraire l'ombre de la tour ne se trouve que de huit mètres et que la hauteur du piquet excède de deux centimètres son ombre, que vous aurez partagée en huit, vu que vous avez trouvé que la longueur de l'ombre de la tour est de huit mètres, il suit de là que la tour est plus haute de deux mètres que son ombre n'est longue. Elle a donc dix mètres de hauteur. Enfin si le piquet est égal à son ombre, et que l'ombre de la tour promptement mesurée se trouve avoir dix mètres, vous pouvez sans autre calcul être sûr que la tour et son ombre sont égales, et que sa hauteur est de dix mètres. ”

“ Le kilogramme est le poids d'un décimètre cube d'eau bien pure. Qu'on prenne un vase de forme régulière, celle d'un cylindre, par exemple, comme le sont certains verres à boire, des bouteilles, etc., on en mesure la hauteur et la largeur intérieure, pour en conclure la capacité par le calcul. On remplit ensuite le vase en tout ou en partie et on a le poids du liquide contenu en prenant un kilogramme pour chaque décimètre cube, un gramme pour chaque centimètre cube. ”

“ Lorsque l'on tire la dénomination d'une figure du nombre de ses côtés, on nomme trilatère ou triligne, une figure qui n'a que trois côtés; quadrilatère ou quadriligne , celle qui en a quatre; figure de dix côtés, celle qui en a dix, etc., et en général, multilatère, toute figure qui a plusieurs côtés.
Lorsque l'on tire la dénomination d'une figure du nombre de ses angles, on appelle trigone ou triangle une figure qui a trois angles ; tétragone, celle qui en a quatre; pentagone, celle qui en a cinq; hexagone, celle qui en a six; heptagone, celle qui en a sept; octogone, celle qui en a huit ”

“ Pour réduire les mètres cubes et parties du mètre cube en litres, il suffit de savoir qu'un mètre cube contient 1,000 litres; d'après cette donnée, un dixième ou un décimètre cube donnerait la dixième partie de 1,000 qui est 100 litres; un centième ou un centimètre cube, par la même raison, donnerait la dixième partie de 100 ou 10 litres ; un millième ou un millimètre cube donnerait la dixième partie de 10 ou un litre. En suivant cette marche et ce raisonnement, on rendra compte non-seulement des mètres cubes, mais encore du contenu de la cuve. ”

“ L'ombre n'est pas un néant comme les ténèbres. C'est une lumière diminuée : c'est un affaiblissement plus ou moins grand de la lumière réfléchie de dessus les corps, dans un lieu où le soleil ne peut porter la sienne directement. ”

“ Tandis que le soleil réjouit les cœurs de ceux qui sont dans la cour d'un bâtiment, ceux qui voudraient en visiter les dedans, ou les dehors opposés, s'y trouveraient tout d'un coup dans la plus noire obscurité, et le passage du côté des objets qui est éclairé, à celui que le soleil ne voit pas, serait dans toute la nature, comme le passage des dehors de la terre à l'intérieur des caves et des antres. ”

“ L'essentiel est par conséquent de connaître tous les produits d'un chiffre par un chiffre, et c'est aussi tout ce qu'il faut savoir; car quels que soient les nombres à multiplier, on n'opère jamais que par une suite de multiplications partielles, dans chacune desquelles la mémoire donne le produit d'un chiffre par un chiffre; et lorsqu'on a écrit tous les produits partiels, il ne faut plus faire qu'une addition pour en trouver la somme que nous nommons produit ou total. ”

“ THÉODORE. — Vous allez m'entendre, mais toujours plus par raisonnement que par des chiffres , et nous reviendrons souvent à nos premières leçons d'où tout dérive.
VIIe ENTRETIEN.
De la Division.
THÉODORE. — La division est l'inverse de la multiplication. La manière d'opérer dans l'une sera donc l'inverse de la manière d'opérer dans l'autre, et la division commencera par où la multiplication finit, c'est-à-dire par la gauche.
Le produit d'un chiffre par un chiffre, étant pris pour dividende, ne peut avoir qu'un chiffre au quotient ”

“ En général, on dit qu'un nombre est élevé à la seconde, troisième, quatrième, cinquième, etc., puissance, quand on le multiplie par lui-même, une, deux, trois, quatre, etc., fois consécutives, ou lorsqu'il est deux, trois, quatre, cinq fois, etc., facteur dans le produit.
La racine cubique d'un cube proposé est le nombre qui, multiplié par son carré, produit ce cube; ainsi, 3 est la racine cubique de 27.
On n'a donc pas besoin de règle pour former le cube d'un nombre; mais pour revenir du cube à sa racine, il faut une méthode. ”

“ Si au contraire on trouvait que le double des dizaines y est plus de 9 fois, on ne mettrait cependant pas plus de 9; la raison en est la même que pour la division. Après avoir bien compris ce que nous venons de dire sur la racine carrée des nombres qui n'ont pas plus de 4 chiffres, on saisira facilement ce qu'il convient de faire lorsque le nombre des chiffres est plus grand. De quelque nombre de
chiffres que la racine doive être composée, on peut toujours la concevoir composée de deux parties, dont l'une soit des dizaines et l'autre des unités ”

“ Si, par exemple, l'un des facteurs manquait de décimales, il n'y aurait aucune exception à la règle. La suppression de la virgule dans le facteur décimal rendrait le produit ou 10, ou 100, ou 1,000, ou 10,000 fois plus grand, en raison de ce qu'il y aurait un, deux, trois, quatre chiffres décimaux; ce produit devrait donc toujours
être réduit à sa dixième, à sa centième, millième ou dix-millième partie; enfin , en raison du nombre de chiffres décimaux qu'il y avait, soit au multiplicande soit au multiplicateur, c'est-à-dire dans les deux facteurs. ”

“ Lorsque le nombre proposé n'est pas un cube parfait, la racine qu'on trouve n'est qu'une racine approchée, et il est rare qu'il soit suffisant de les avoir en nombre entier, les décimales sont encore d'un usage très-avantageux pour pousser cette approximation beaucoup plus loin, et aussi loin qu'on le désire, sans que cependant on puisse jamais atteindre à une racine exacte. ”

“ ALPHONSE.—Voici comment j'ai compris: après avoir fait de dix unités du premier ordre une unité du second ordre, ils ont, en recomptant avec leurs dix doigts, fait de dix unités du second ordre, une unité du troisième ordre; et de dix unités du troisième ordre, une unité du quatrième ordre, et ainsi de suite, jusqu'à des millions, billions et même des décatillons, nombre que l'on ne peut dépasser, puisque même, à dire vrai, on n' y va jamais. ”

“ On pourrait, si on voulait, ajouter de suite au nombre proposé, qui ne serait pas un carré parfait, tous les zéros dont on aurait besoin , soit pour arriver à un dixième, centième, millième, dix-millième près. Il est facile de reconnaître des dixièmes; il ne faut, pour former des dixièmes, qu'un chiffre décimal après les entiers; donc, il faudra ajouter deux zéros pour les former. Pour les centièmes, il faut deux chiffres décimaux; pour les former, il faudra ajouter quatre zéros. ”

“ Maintenant c'est à vous, Messieurs, de juger si la méthode d'Eugène vaut mieux.
ALPHONSE. — Celle d'Eugène nous paraît préférable en ce qu'il est impossible de se tromper en faisant la multiplication du quotient par le diviseur, et dans l'autre manière d'opérer, le diviseur étant dessous et plus éloigné , demande plus d'attention.
THÉODORE. — Cela est vrai ; mais avec un peu d'attention , on peut éviter de se tromper ”

“ Nous ne substituerons la division à la soustraction qu'autant que la mémoire nous donnera tous ces quotients ; et c'est par l'addition des quotients partiels, trouvés l'un après l'autre, que nous trouverons le quotient total. La division s'achèvera donc, comme la multiplication, par une suite d'opérations partielles.
La division défait ce que la multiplication a fait: elle décom pose un produit en ses facteurs; et pour savoir décomposer un produit, il suffit d'avoir observé comment il se compose. ”

“ En effet, si on a mis quatre zéros, par exemple, on a rendu le carré 10,000 fois trop grand; la racine qu'on trouve est donc 100 fois trop grande, puisque 10,000 est le carré de 100; si on a mis six zéros, on a rendu le carré 1,000,000 de fois trop grand , et par conséquent la racine qu'on trouve est 9,000 fois trop grande, puisque 1,000,000 est le carré de 1,000; mais en séparant deux chiffres sur la droite, dans le premier cas, et trois dans le deuxième, on la ramène à ce qu'elle doit être. ”