Dixième

“ Si l'on n'est plus que mille, eh bien j'en suis! Si meme
Ils ne sont plus que cent, je brave encor Sylla;
S'il en demeure dix, je serai le dixieme;
Et s'il n'en reste qu'un, je serai celui-la! ”

“ On divise le dixième en dix parties égales; on a donné à chaque partie le nom de centième, parce qu'il faut cent dixièmes de dixième pour composer une unité; on représente1 les centièmes par les chiffres destinés à représenter les unités et les dixièmes ; mais on les distingue en les plaçant à la droite des dixièmes , ou au second rang à droite de la virgule. ”

“ Voyez Dixieme denier. (A)
Dixieme sur les vins ; il y avoit un droit d’aides ainsi appellé, qui fut supprimé par l’édit du mois d’Août 1717. (A)
DIXIEME, s. f. en Musique, est l’octave de la tierce, ou la tierce de l’octave. Cet intervalle est appellé dixieme, parce qu’il est formé de neuf degrés diatoniques, c’est-à-dire dix sons. ”

“ On voit par tout ceci que décimal n’est pas la même chose que dixième, & que les parties décimales ne sont pas des dixièmes parties, mais des dixièmes, des centièmes, des millionièmes, &c. & généralement ce sont toutes les parties qui vont en augmentant de dix en dix : dix fois un font dix, dix fois dix font cent, dix fois cent font mille, dix fois cent mille font un million. ”

“ Comme chaque dixième vaut dix centièmes , les six dixièmes valent six fois 10 , ou soixante centièmes.
L'ullité valant dix dixièmes et le dixième dix centièmes, chaque unité vaut 10 fois 10 , ou cent centièmes ; les 7 unités valent donc sept cents centièmes. Puisque la dixaine vaut dix unités et l'unité cent centièmes , la dizaine vaut mille centièmes ; les trois dizaines valent donc trois mille centièmes. En rassemblant, nous aurons bien trois mille sept cent soixante-quatre centièmes. On peut appliquer le même raisonnement à tout autre nombre ”

“ Les trois sources de prestige sont donc l'âge, le rang dans la commune et le rang dans l'État. Les vieillards sont eux-mêmes répartis suivant leur âge en trois catégories qui occupent respectivement dans la hiérarchie des onze classes le premier, le second et le dixième rang. ”

“ Pour calculer le dixième, de la population, lorsqu'elle n'est pas un multiple de dix , on néglige la fraction quand le nombre est plus près de la dixaine inférieure que de la dixaine suivante, et à partir du nombre intermédiaire entre les deux dixaines on force la fraction. ”

“ Pour se former une idée exacte des fractions décimales, il faut concevoir que l'unité a été partagée en 10 parties égales. Chacune de ces parties étant dix fois plus petite que l'unité, se nomme par cette raison , dixième, et le chiffre qui représente les dixièmes doit, par le même motif, être placé à la droite de celui des unités j en l'en séparant par une virgule, pour ne pas confondre les dixièmes avec les unités. ”

“ Près de la dixième partie du peuple est réduite à mendier des neuf autres parties, cinq ne peuvent faire l’aumône à celle-là, dont elles ne diffèrent guère ; trois sont fort mal aisées ; la dixième ne compte pas plus de cent mille familles, dont il n’y a pas dix mille fort à leur aise. ”

“ Nous avons déjà dit que dix unités d'un ordre quelconque en valent une de l'ordre supérieur : que 10 centièmes égalent un dixième, que 10 millièmes égalent 1 centième, etc.; par conséquent dix unités d'un ordre, en valent cent du deuxième ordre supérieur à celui que l'on considère, mille du troisième ordre supérieur, etc.; ainsi 100 millièmes, valent 10 centièmes, 1 dixième; 100 dixmillièmes valent un centième; et, réciproquement, 1 dixième égale 10 centièmes, 100 millièmes, 1000 dixmillièmes, 1 etc. 5 or dans le nombre donné, 4,659 la fraction 659 millièmes peut se décomposer en 6 dixièmes. ”

“ Quel rang occupent les dixièmes, à droite de la virgule ?
7. Quel rang occupent les centièmes ?
3. Quel rang occupent les millièmes ?
9. Quel rang occupent les dix-millièmes ?
10. Quel raug occupent les millionièmes ?
11. Donnez un exemple dans lequel vous expliquerez la manière de lire un nombre décimal.
12. Combien une unité vaut-elle de centièmes ? — de dixièmes ? — de millièmes?
13. Combien un dixième vaut-il de centièmes ? — de millièmes ? — de dix-millièmes ? ”

“ Le citoyen français dut travailler neuf jours et se reposer le dixième , uniquement parce qu'on avait établi une semblable division dans toutes les choses de nombre , et qu'il est plus aisé d'aligner des chiffres par ce procédé que par tout autre. ”

“ Comment on n'a jamais entendu parler d'un demi-nombre ! Comment, le tiers , le quart, le dixième, le centième, le millième d'un entier ne sont pas à leur tour des nombres qui valent le tiers, le quart, le dixième , le centième , le millième , du chiffre total dont ils sont une fraction !
Mais heureusement pour Cujas nul n'ajamais mieux mérité que le Vayer de Boutigny qu'on lui appliquât le dicton italien : traduttore traditore. ”

“ En continuant ainsi la suite de ces tableaux et leur formation , on parviendra bientôt au dixième qui sera terminé par un nombre égal à. d:x-dixaines, que l'on nommera cent, et que l'on écrira 100. Il résulte donc de là que dix-dixaines composeront un nouvel ordre de nombres que l'on nommera cent ou centaine, qui devront se composer encore comme les nombres simples ou les dixaines , c'est-à-dire jusqu'à dix, ce qui donnera lieu encore à dix nouveaux tableaux de la composition desquels nous allons nous occuper.
9. Il nous suffira du premier pour concevoir tous les autres. ”

“ Pour y parvenir, il suffit de convertir le premier reste 3 unités en dixièmes, en mettant un zéro sur sa droite (177) ; car, l'unité valant 10 dixièmes, les 3 unités en valent 3 fois 10 ou 3o (22) . Le quotient de 3o dixièmes par 4 , est évidemment 7 dixièmes; puisque ce nombre de dixièmes qui, multiplié par 4, donne 3o dixièmes, tombe entre 7 et 8 dixièmes; attendu que le produit 3o dixièmes, qui doit toujours être de la nature de son multiplicande 7 dixièmes (55 et 75) , est intercepté par les produits 7 X 4 et 8 X 4. ”

“ En effet, l'on voit que dans les deux nombres les chiffres significatifs occupent la même place : le 3 la place des unités, le 4 la Place des dixièmes ; ils ont donc conservé leur valeur.
69. — Troisième principe. On rend un nombre décimal, DIX, CENT, MILLE... fois plus grand, en avançant la virgule de un, deux, trois... rangs vers la droite.
Si le nombre des chiffres significatifs est insuffisant, on le complète par des zéros. ”

“ D. Prouvez qu'en reculant la virgule d'un rang vers la droite, dans le nombre 2,53 , par exemple, ce nombre sera rendu dix fois plus grand?
R. D'après la règle on a 25 unités 3 dixièmes pour nombre résultant.
Je dis que le nombre 25,3 est dix fois plus grand que le nombre 2,53. En effet, le chiffre 3 qui exprimait d'abord des centièmes, exprime maintenant des dixièmes ; les dixièmes sont dix fois plus grands que les centièmes ; il en est de même des autres chiffres. ”

“ Le 4 qui occupait le rang des unités occupe le rang des centièmes ; le 7 qui occupait le rang des dizaines occupe le rang des dixièmes ; le 6 qui occupait le rang des centaines occupe le rang des unités. Chaque chiffre ayant acquis une valeur cent fois plus petite, le nombre tout entier est devenu cent fois plus petit. ”

“ Placer convenablement la virgule dans les nombres suivants : 62 dixièmes; 4 758 centièmes; 9 dixièmes; 7 centièmes ; 48 millièmes. — Rép. 6,2 ; 47,58 ; 0,9 ; 0,07 ; 0,048.
2. — Ecrire les nombres suivants en prenant la centaine comme unité : 475; 35 729; 75; 4. — Rép. 4,75; 357,29; 0,75; 0,04.
3. — Ecrire les nombres suivants en prenant le dixième comme unité : 57 ; 8,5 ; 8,95 ; 0,5 ; 0,075. — Rép. 570 ; 85 ; 859,5 ; 5 ; 0,75.
4. — Quelles sont les plus hautes unités d'un nombre entier composé de 5 chiffres, de 7 chiffres, de 3 chiffres, de 8 chiffres ? (Orne.)
Rép. 1° Les diz. de mille ”

“ Le plus souvent, dans l'énoncé d'un nombre décimal, au lieu d'indiquer séparément le nombre de dixièmes, le nombre de centièmes, le nombre de millièmes, etc., on énonce la fraction décimale comme un seul nombre à la suite duquel on met le nom de la dernière unité décimale. ”

“ Puisque le chiffre des dixièmes doit être placé après la virgule et celui des unités avant, nous mettrons un zéro au rang des unités entières, pour indiquer qu'il n'y en a pas; puis nous écrirons la virgule qui sert à séparer les unités des dixièmes; enfin après la virgule, nous poserons ta nombre de dixièmes que nous avons. Ainsi pour 5 dixièmes nous écrirons : 0, 5 Quand on lit un nombre ainsi écrit, on n'a pas besoin d'énoncer qu'il n'y a pas d'unités, on nomme simplement la fraction. S'il y avait des unités, on les lirait ”

“ D. Pourquoi appelle-t-on les parties décimales dizie.
mes, centièmes, millièmes, etc.
R. On appelle dixièmes les parties contenues dix fois dans l'unité ; les dixièmes de dixièmes se nomment centièmes parce qu'ils sont contenus cent fois dans l'unité ; les dixièmes de centièmes se nomment millièmes étant con-
tenus mille fois dans l'unité ”

“ Ainsi si l'on divise des unités par des unités, d* dixièmes par des dixièmes. des centièmes par des ce tièmes, on aura des entiers au quotient; mais si l' divise des dixièmes par des unités, ou des centièm par des dixièmes, e'c , le quotient qui résulte de cet division sera composé de décimales ; il faudra don les séparer des entiers par la virgule.
NOTA. Il est très-important que les élèves comprennent bien dans quel cas elles doivent mettre la virgule au quotient, s quoi elles feraient des erreurs considérables dans la division des nombres décimaux. ”

“ Cette classe , à laquelle se rattache la portion du peuple dirigée par des principes religieux, embrasse, suivant nous, les quatre dixièmes de la population. Si elle domine, elle entraînera les cinq autres dixièmes que nous avons dit former la classe des hommes sans opinion. Comme on le voit, le Roi et la Charte peuvent, d'après nos calculs, avoir pour appui les neuf dixièmes de la population. ”

“ R. Parce que ses centaines deviennent des milles , ses dizaines des centaines, ses unités des dizaines, et, s'il est composé, ses dixièmes des unités, ses centièmes des dixièmes ; ainsi, chaque chiffre devenant dix fois plus grand, tout le nombre le devient donc aussi. ”

“ Pour le rendre 100 fois plus petit, on sépare à sa droite deux chiffres par une virgule, et l'on obtient 4,25, nombre cent fois plus petit que le premier, puisque les centaines sont devenues des unités, les dizaines des dixièmes. ”

“ On peut aussi marquer en haut du dernier chiffre, à droite des parties décimales, le chiffre en petit caractère, qui exprime le rang où il est, comme l’on voit ici, ce que l’on néglige ordinairement comme inutile.
Pour réduire un nombre entier en dixièmes, sans en changer la valeur, il n’y a qu’à ajouter un zéro, en mettant un point entre le nombre & le zéro que l’on ajoûte. Par exemple, si vous voulez changer 304 en dixièmes, il faut mettre 304.0. car 304 entiers valent 3040 dixièmes. ”

“ Lorsqu'on sait additionner les nombres qui sont en progression décuple, peut-on trouver quelque difficulté à faire l'addition des nombres qui sont en progression sous-décuple? n'est-il pas évident qu'on doit ajouter des dixièmes à des dixièmes, des centièmes à des centièmes, de la même manière qu'on ajoute des dizaines à des dizaines, des centaines à des centaines ? ”

“ Ainsi, si l'on avait quatre unités cinq dixièmes sept centièmes à exprimer en chiffres, ou aurait 4,57 que l'on énoncerait quatre unités cinquante-sept centièmes ; car les dixièmes sont décuples des centièmes. ”

“ Le rang d'un chiffre est la place qu'il occupe à l'égard de celui des unités , ou bien encore, s'il s'agit des nombres décimaux, de la distance de chaque chiffre à la virgule.
Ainsi, les unités, étant considérées comme occupant la première place, les dixaines sont à la seconde à gauche, les dixièmes à la seconde à droite; les centaines à la troisième à gauche, les centièmes à la troisième à droite, etc., etc. Et, par rapport à la virgule, les unités sont a la première place à gauche , les dixièmes à la première à droite ”

“ Chacun peut choisir entre ces deux manières d'opérer celle qui lui paraîtra la plus comriiode.
Des dixièmes on soustrait des dixièmes, de la même manière que des entiers on soustrait des entiers ; et on conçoit que les parties décimales ne changent rien à cette opération. ”