C.-J.-A. Antoine

“ LEMME. On ne peut résoudre une question relative à la règle de société composée, sans l'avoir ramenée à une question de règle de société simple, c'est-à-dire, sans avoir fait en sorte que chaque part ne corresponde qu'à un seul nombre proportionnel. ”

“ DÉFINITION. Le reste d'une division est l'excédant du dividende sur le plus grand multiple du diviseur qu'il contienne, ou ce qui reste après qu'on a soustrait le diviseur le plus grand nombre de fois possible du dividende. ”

“ REMARQUE. On doit observer qu'en multipliant un nombre quelconque, par une expression fractionnaire dont le numérateur est plus grand que le dénominateur, on obtient un produit plus grand que le multiplicande. Il ne peut en être autrement, puisqu'on prend alors le multiplicande au-delà d'une fois. ”

“ Le rang d'un chiffre est la place qu'il occupe à l'égard de celui des unités , ou bien encore, s'il s'agit des nombres décimaux, de la distance de chaque chiffre à la virgule.
Ainsi, les unités, étant considérées comme occupant la première place, les dixaines sont à la seconde à gauche, les dixièmes à la seconde à droite; les centaines à la troisième à gauche, les centièmes à la troisième à droite, etc., etc. Et, par rapport à la virgule, les unités sont a la première place à gauche , les dixièmes à la première à droite ”

“ DÉFINITION. La règle de société est composée, quand la détermination des paris dépend de plusieurs circonstances ou de plusieurs rapports, c'est-à-dire, que la même part correspond à plusieurs nombres proportionnels différens.
Par exemple, partager 198 f entre 4 ouvriers, à proportion du nombre de mètres d'ouvrage que chacun a faits, et de la dureté du terrain dans lequel chacun a travaillé: le premier a fait 5 mètre. ”

“ EXEMPLE. Le nombre cinquante billions six cent mille sept unités, décrira : 50. 000. 600. 007, c'est-à-dire, qu'on observe qu'il n'y a pas d'unités de billions; que la classe des millions manque entièrement ; que celle des mille ne renferme ni dixaines, ni unités, et qu'il n'y a ni centaines, ni dixaines dans la classe des unités simples. ”

“ On voit qu'un multiplicateur complexe peut aussi bien qu'un multiplicateur incomplexe, être considéré comme un nombre abstrait qui exprime combien le multiplicande doit être pris de fois et de fractions de fois. ”

“ L'unité est l'objet unique auquel on compare les objets de même espèce. ( Axiome I. )
Tel est un homme à l'égard de plusieurs hommes ; une année à l'égard d'une portion d'année ou de plusieurs années.
4. Le nombre est le résultat de la comparaison d'une quantité avec l'unité.
Ainsi quand on dit : voilà huit arbres, cela signifie qu'ayant comparé un seul arbre avec la quantité d'arbres dont il s'agit, on trouve que cette dernière se compose de huit fois ce qu'on entend par un seul arbre. ”

“ MÉTHODE. Si les termes d'un rapport sont des nombres décimaux , on parvient à les exprimer par des nombres entiers, en effaçant la virgule, après avoir rendu le même, dans chacun des termes proposés, le nombre des décimales , s'il ne l'était pas d'abord. ”

“ D'un autre côté , si l'augmentation ou la diminution d'un quotient partiel ne se fait que d'une seule unité à la fois, on ne sera pas exposé, il est vrai, à passer le véritable quotient; mais si le quotient apparent diffère beaucoup du quotient réel, cette augmentation ou cette diminution du quotient, unité par unité, occasionnera un grand nombre de vérifications , et conséquemment des longueurs inséparables dans le calcul. ”

“ METHODE. Si parmi les dénominateurs des fractions proposées , il s'en trouve un qui soit multiple de tous les autres, il faut prendre ce dénominateur multiple pour être le dénominateur commun, et multiplier le numérateur de chaque fraction par le nombre de fois que son dénominateur est contenu dans le dénominateur multiple. ”

“ C'est ainsi que, dans notre numération, on est convenu que de dix unités d'un certain ordre , on formerait une unité d'un autre ordre. De même, deux fois deux font quatre, par exemple , n'est qu'une vérité de convention.
Les identités sont des propositions tacitement renfermées dans une définition , ou qui sont la conséquence nécessaire d'un principe convenu.
Par exemple, une quantité est la moitié de son double; le tiers de son triple ; etc. De même, tout nombre est le carré de sa racine carrée ; le cube de sa racine cubique ”

“ Pour transformer un nombre complexe en nombre fractionnaire, il faut réduire les diverses unités de sous-espèces de ce nombre en unités de sous-espèce de la moindre grandeur qu'ils contiennent, et donner au produit, pour dénominateur, le nombre qui marque combien il faut d'unités de cette sous-espèce pour composer l'unité principale du nombre complexe proposé. ”

“ A l'égard de la multiplication , on ne prend jamais à la fois que les unités ou les parties d'un seul ordre du multiplicande, et il en résulte un produit partiel formé d'unités ou de parties soit de cet ordre , soit d'un ordre supérieur ou inférieur, selon la grandeur de l'ordre du multiplicateur. ”

“ Le rapport d'une quantité à une autre exprime le nombre de fois qu'on doit prendre la seconde quantité pour avoir la valeur de la première; il sert donc à déterminer la valeur d'un nombre quelconque d'unités d'une certaine grandeur, en unités d'une autre grandeur de même espèce, lorsque le rapport de ces unités de différente grandeur est connu. ”

“ Lorsque le dividende n'est pas dans la table , ou lorsque, s'y trouvant, il n'est pas un multiple du diviseur, on prend le plus grand multiple de celui-ci qui soit renfermé dans le dividende , et on obtient ainsi le quotient en nombre entier des deux nombres proposés. ”

“ DÉFINITION. On appelle nombre premier celui qui n'est.
multiple d'aucun nombre entier , ou qui n'est divisible exactement par aucun nombre entier. ,
C'est un nombre qui n'a d'autre diviseur que lui-même et l'unité, ou qui, par conséquent, n'a pas de diviseur, puisqu'un nombre entier quelconque est multiple de l'unité et de lui-même. ”

“ Il arrive rarement que dans la multiplication les facteurs proposés soient de même espèce. En général le multiplicande peut être d'une espèce quelconque, parce qu'on peut prendre un nombre autant de fois qu'on le veut, quelle que soit la nature de ses unités. ”

“ DÉFINITION. L'intérêt simple, ou l'intérêt proprement dit, est celui qui ne se joint pas au principal, pour porter intérêt à son tour, quoique le débiteur le conserve depuis son échéance.
Par exemple, le débiteur d'une somme de 4000 francs , prêtée à 6 pour ~0, doit, au bout de 3 ans, tant en principal qu'intérêt, 4720 francs , c'est-à-dire, 3 fois l'intérêt annuel 240 francs du capital , au par-delà de ce dernier. ”

“ Pour se former une idée exacte des fractions décimales, il faut concevoir que l'unité a été partagée en 10 parties égales. Chacune de ces parties étant dix fois plus petite que l'unité, se nomme par cette raison , dixième, et le chiffre qui représente les dixièmes doit, par le même motif, être placé à la droite de celui des unités j en l'en séparant par une virgule, pour ne pas confondre les dixièmes avec les unités. ”

“ MÉTHODE. Pour multiplier un nombre composé par un nombre simple, il faut écrire le multiplicateur sous les unités simples du multiplicande ; souligner le multiplicateur; puis, à par tilde la droite, multiplier chaque chiffre du multiplicande par le multiplicateur ; écrire le produit au-dessous , s'il n'est qu'un nombre simple, et si c'est un nombre composé, écrire seulement au-dessous le premier chiffre à droite et joindre le second au produit partiel suivant. ”

“ La proposition est un Axiome, un Théorême, un Lemme, un Problème, un Corollaire ou un Scholie.
AXIOME est une vérité évidente par elle-même. Par exemple : le tout est de même espèce que les parties qui le composent.
THÉORÊME est une vérité qui, pour devenir évidente, a besoin d'être prouvée par un raisonnement qu'on appelle Démonstration.
LEMME est une proposition qui n'est pas utile par elle-même, et qu'on n'expose qu'afin de pouvoir justifier, par son moyen , soit une autre proposition , soit la solution d'une question , qu'on ne pourrait démontrer sans le secours de ce lemme. ”

“ MÉTHODE. Pour faire la multiplication des nombres complexes, il faut d'abord multiplier entre elles les unités principales des deux facteurs ; décomposer ensuite les unités des sous-espèces du multiplicande en parties aliquotes de son unité principale, ou des parties aliquotes qui précèdent; évaluer ces fractions sur les unités principales seulement du multiplicateur, mais en unités de même espèce que le multiplicande ”

“ MÉTHODE. Lorsqu'il y a des zéro sur la droite d'un des facteurs ou de tous les deux, il faut opérer sans faire attention aux zéro , et écrire ensuite, à la droite du produit, autant de zéro qu'il y en a à la suite de ce facteur ou des deux facteurs proposés. ”

“ Car on commence la division par la gauche et on la continue de gauche à droite; par conséquent les unités dont chaque dividende partiel est composé, deviennent de 10 en 10 fois plus petites ; or le diviseur reste constamment le même; donc les unités dont chaque quotient partiel est composé deviennent de 10 en 10 fois plus petites ”

“ Autant il est facile à la pensée de concevoir les fractions de l'unité dans leur décroissetnent indéfini, autant il est impossible dans la réalité de saisir des parties tellement petites qu'elles échappent à l'action des sens.
Poussée au-delà d'un certain degré, l'approximation n'aurait plus de rapport avec la nature des choses , et par conséquent n'offrirait rien que d'illusoire dans la pratique.
216. Le nombre de chiffres décimaux auxquels on se borne, dépend de la grandeur de l'unité à laquelle la quantité se rapporte ; du nombre de résultats partiels dont un résutat définitif se compose ”

“ MÉTHODE. Pour diviser un nombre complexe par 2, par 3 , etc. , et, en général, par les nombres-de 2 à 12 inclusivement, il faut prendre des unités principales du dividende une partie désignée par le diviseur; réduire le reste de cette division en unités de la grandeur immédiatement inférieure, auxquelles on joint celles de même grandeur qui peuvent se trouver dans le dividende; prendre du tout une partie indiquée par le diviseur, et continuer le même procédé jusqu'à ce que toutes les sous-espèces du dividende soient épuisées.
EXEMPLE. Un ouvrier doit faire 159 t. ”

“ MÉTHODE. Lorsqu'il y a plus de décimales au dividende qu'au diviseur, au lieu de les compléter dans celui-ci, il est plus expéditif defaire l'opération sans avoir égard à la virgule, et de séparer, sur la droite du quotient, autant de chiffres qu'il y a de décimales de plus au dividende qu'au diviseur. ”

“ L'art de la division ne consiste pas seulement à ôter un trèsgrand nombre de fois le diviseur du dividende, par une seule soustraction, mais encore à n'avoir jamais à diviser à la fois qu'un nombre d'un, ou de deux chiffres au plus , par un nombre simple, opération qui n'exige que la connaissance de la table de multiplication. ”

“ A l'égard du multiplicateur, si après l'avoir décomposé, on multiplie le multiplicande par , on en prend la moitié; donc en multipliant 2 fois de suite par , on prend 2 fois la moitié du multiplicande; on prend donc ce multiplicande une fois; et comme, par la première opération, on l'a pris 2 fois, il s'ensuit qu'on l'a pris en tout 3 fois, c'est-à-dire, autant de fois qu'il était marqué par le multiplicateur 3. Donc, la grandeur du produit ne change pas non plus quand on décompose le multiplicateur en parties quelconques ”

“ Enjfin, on ajoute tous les produits, et on sépare, sur la droite de la somme, autant de décimales qu'il y en avait dans le multiplicande , lorsqu'on l'a multiplié par les unités du multiplicateur; ou, ce qui est plus général, on observe de quels rangs sont, dans chaque facteur, la décimale par laquelle on multiplie chaque fois, et celle par laquelle on recommence la multiplication; la somme de ces deux rangs indique toujours le nombre de décimales que doit avoir le produit total. ”