Division (arithmétique)

“ Si l'on opère la division sur des nombres pris au hasard, on comprendra aisément que le quotient de deux nombres entiers, ne sera pas toujours lui-même un nombre entier.
On s'aperçoit donc de suite que la division conduira souvent à un reste.
C'est le parti qu'on est obligé de tirer du reste que présente ce cas fréquent de la division, où le dividende n'est pas un multiple du diviseur, qui va nous conduire aux fractions ordinaires. ”

“ Il faut d'abord remarquer que la division est exactement le contraire de la multiplication. En multipliant, nous réunissons plusieurs groupes égaux d'unités en un seul; en divisant, nous partageons un seul groupe d'unités en plusieurs groupes égaux. Par exemple, si nous multiplions 4 par 5, nous trouvons au produit le nombre 20; et si nous divisons 20 par 5, nous retrouvons le nombre 4 que nous avions avant la multiplication ; ce que la multiplication a fait, la division le défait. ”

“ Lorsqu'un nombre est décomposé en deux parties, dont la première'admet un certain diviseur, tandis que la seconde ne l'admet pas, ce nombre n'est pas divisible par ce diviseur, et le reste de la division est le même que le reste de la division de la seconde partie par ce diviseur. ”

“ Car on commence la division par la gauche et on la continue de gauche à droite; par conséquent les unités dont chaque dividende partiel est composé, deviennent de 10 en 10 fois plus petites ; or le diviseur reste constamment le même; donc les unités dont chaque quotient partiel est composé deviennent de 10 en 10 fois plus petites ”

“ Lorsque la division se fait exactement, ou, en d'autres termes, lorsque le dividende contient le diviseur un certain nombre de fois exactement, on dit que le premier nombre est divisible par le second. ”

“ THÉORÈME II. Pour diviser un nombre par le produit de plusieurs facteurs, il suffit de le diviser successivement par chacun d'eux.
1° Ce théorème est évident dans le cas où les divisions se font exactement. Si l'on a, par exemple, à diviser une grandeur en 35 parties égales, on peut la partager d'abord en 5, puis partager ensuite chacune des cinq parties en 7. Cela fera, en tout, sept fois cinq ou trente-cinq parties, évidemment égales entre
elles, et représentant, par conséquent, le quotient de la division de la grandeur considérée par le nombre 35. ”

“ Les cas où l'on doit faire usage de l'addition, de la soustraction et de la multiplication sont faciles à apercevoir ; pour la division, il faut l'employer toutes les fois que, connaissant une certaine partie d'un nombre, on veut déterminer ce nombre lui-même. ”

“ Cela posé, on conçoit que tout autre nombre que 10 pourrait être le diviseur de l'unité, et que l'expression nouvelle de cette division à faire serait aussi celle d'une fraction; donc: Une fraction est l'expression numérique d'une ou de plusieurs parties de l'unité divisée en un certain nombre de parties égales; ainsi les nombres ~l, -' f-, -li-8-e sont des fractions.
Comme l'expression d'une division, une fraction se compose de deux termes; celui qui tient la place du dividende s'appèle numérateur, celui qui tient la place du diviseur s'appèle dénominateur ”

“ L'art de la division ne consiste pas seulement à ôter un trèsgrand nombre de fois le diviseur du dividende, par une seule soustraction, mais encore à n'avoir jamais à diviser à la fois qu'un nombre d'un, ou de deux chiffres au plus , par un nombre simple, opération qui n'exige que la connaissance de la table de multiplication. ”

“ Dans toute division, il faut remarquer si le reste de l'opération de soustraction est plus fort que le diviseur; car, alors, il est évident que le diviseur étant une fois, au moins, contenu dans le reste, si plus n'était, le quotient devrait être augmenté d'une unité au moins aussi. ”

“ RÈGLE. Pour diviser un nombre décimal par un nombre entier, on effectue la division comme si le dividende était un nombre entier, en ayant soin, quand on a abaissé le chiffre des unités du dividende, de mettre une virgule à la droite du chiffre correspondant du quotient. ”

“ En général, le quotient d'une division est égal au quotient entier augmenté d'une fraction ayant pour numérateur le reste et pour dénominateur le diviseur.
Quand une fraction est plus grande que l'unité, on peut, d'après cela, la réduire à un nombre entier augmenté d'une fraction moindre que l'unité. ”

“ Si le terme moyen n'exige , ce qui est vrai, qu'une division, ce qu'on nomme règle d'alliage simple, n'est qu'un terme moyen ; cette définition résulte de ce qu'une fois sorti des règles principales, addition et soustraction, et de celles auxiliaires, multiplication et division , les proportions elles - mêmes doivent se prêter à l'une de ces règles, afin d'éviter,. ”

“ En effet tous les chiffres qui suivent le premier chiffre du quotient, ne valent pas'une unité de l'ordre du premier chiffre ; leurs produits ne peuvent donc augmenter le premier produit autant que le produit de cette unité.
Souvent quand on fait la division il y a un reste; il faut le considérer, pour le moment, comme un nombre que l'on a ajouté au produit, après la multiplication.
18. La division peut encore être considérée sous différens points de vue, savoir : comme ayant pour but de partager le dividende en autant de parties égales qu'il y a d'unités dans le diviseur ”

“ DIVISEUR 3. Nous avons démontré qu'un nombre quelconque était égal à un multiple de 9, plus la somme de ses chiffres. Puisque 9 est un multiple de 3, un multiple de 9 est aussi un multiple de 3 ; donc un nombre quelconque est égal à un multiple de 3 plus la somme de ses chiffres. Ainsi : THÉORÈME VII. Le reste de la division d'un nombre par 5 est égal au reste de la somme de ses chiffres.
COROLLAIRE. Un nombre est divisible par 5 quand la somme de ses chiffres est divisible par 5. ”

“ Les cas les plus difficiles dans les méthodes ordinaires sont ceux où les nombres qui sont employés , soit comme facteurs , soit comme diviseurs, sont les plus près de 10 et de ses puissances : ainsi la division par 97 sera plus difficile que celle par 3 1. C'est le phénomène opposé dans les opérations par complémentation. Comme on agit sur des différences avec la puissance, plus ces différences sont petites, et plus l'opération sera facile. ”

“ Méthode abrégée pour la division Il existe aussi, pour la division de deux nombres composés d'un grand nombre de chiffres, un moyen, plus simple que le procédé ordinaire, d'obtenir le quotient avec un certain degré d'approximation.
Nous considérons d'abord le cas où le dividende et le diviseur étant deux nombres entiers, on voudrait obtenir le quotient à moins d'une
unité près seulement. ”

“ Quand on fait une division de nombres entiers, on peut tirer parti du reste par les décimales : car en ajoutant un zéro, deux zéros, on convertit le dividende, ou le reste en dixièmes, centièmes. Soit à diviser 832 unités par 53 unités." J'obtiens le nombre de décimales que je veux, comme l'on voit, si la division ne se termine pas, en ajoutant des zéros. ”

“ Pour éluder ces difficultés, on a essayé de comprendre dans une seule définition les deux cas différents auxquels on applique la division, et l'on a dit : la division revient à trouver l'un des facteurs d'un produit lorsqu'un connaît l'autre facteur. ”

“ Réciproquement ; pour transformer une fraction ordinaire concrète en nombre complexe, il suffit d'effectuer la division du numérateur par le dénominateur, en convertissant chaque reste en unités immédiatement inférieures. ”

“ R. Un nombre est divisible exactement par un autre, quand la division s'effectue sans reste, c'est-à-dire quand il exprime un produit formé de deux facteurs dont le second se trouve toujours par la division des deux nombres proposés. Ainsi le nombre 50 étant divisible par 5, ou multiple de 5, je trouve le second facteur du produit 50 en divisant 50 par 5, ce qui donne 10. ”

“ LEMME. On ne peut effectuer la division qu'autant que le diviseur est sous la forme d'un seul tout. EXEMPLE. Si, pour diviser 12 par 6, on décompose 6 en 3 + à H- 1, par exemple, le premier quotient partiel f est déjà 2 fois trop grand ; le second quotient partiel 6 l'est 3 fois ; enfin, le dernier quotient 12 l'est 6 fois ; ensorte que le prétendu quotient total 4 + 6 -+- 12 , ou 22, qui serait la réunion des prétendus quotiens partiels, est 11 fois plus grand que le véritable quotient de 12 divisé par 6. ”

“ La division sert à partager une somme en parties égales entre plusieurs personnes.
Exemple. Partager la somme 62850 francs entre 12 personnes.
Il est évident que si l'on connaissait la part de chacune de ces 12 personnes, en la répétant 12 fois, on trouverait 62850 francs. Le problème est donc le même que celui-ci : un produit 62850 et l'un de ses facteurs 12 sont donnés, découvrir l'autre facteur. Donc il faut diviser 62850 par 12 : le quotient exprimera en francs, la part de chaque personne. ”

“ COMMENT une personne qui ne connaît ni la division, ni aucune des règles d'opération de l'arithmétique, ni même les TABLES d'addition et de multiplication, mais seulement les termes techniques des opérations, et, par habitude, les nombres pairs et impairs, à la vue de leur expression vulgaire en chiffres, PEUT-ELLE juger, d'un coup d'œil, s'il y a CERTITUDE absolue ou NON que la division PAR considérable qu'un arithméticien du 1ER ordre vient d'effectuer est FAUSSE ? ”

“ La division ainsi opérée successivement', fait connaître que le nombre 4 ? qui a servi de diviseur sans reste , à la dernière opération , est celui, par lequel il faut diviser le numérateur et le dénominateur de la fraction proposée à réduire; ce qui donnera la plus petite dénomination sans changer sa valeur. ”