Bardel

“ Dans une progression géométrique, la somme de tous les termes est égale au produit du plus grand terme par le quotient, moins le plus petit terme, le tout divisé par le quotient diminué d'une unité.
La progression peut être croissante ou décroissante. ”

“ III. L'arithmétique est la partie des mathématiques qui traite spécialement des nombres.
IV. Un nombre est un tout composé d'autres touts, égaux entre eux, qui sont des unités. L'unité est ce qui exprime une seule chose.
V. L'unité est aussi considérée comme formée de petits touts, qui en sont des fractions.
VI. Un nombre est entier s'il ne contient que des unités.
VII. Un nombre est fractionnaire s'il exprime des fractions de l'unité.
VIII. Pour représenter les nombres, on emploie les
dix caractères suivants, que l'on appelle chiffres : o, I., 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. ”

“ Lorsque le numérateur est plus petit que le dénominateur, la fraction est plus petite que l'unité; car elle ne comprend pas toutes les parties de l'unité. Lorsque le numérateur est égal au dénominateur, la fraction est égale à l'unité; car on prend toutes les parties de l'unité ; or un tout est égal à toutes ses parties prises ensemble (ax. 9) . Lorsque le numérateur est plus grand que le dénominateur, la fraction est plus grande que l'unité ; car elle exprime plus de parties que l'unité n'en contient. Ainsi la fraction - est plus petite que l'unité ; la fraction - est égale à l'unité ”

“ C'est ainsi que la consommation d'une ville augmente avec la population; que, dans une fabrique, plus il y a d'ouvriers, plus on obtient d'ouvrage; que plus on achète de marchandises, plus on a d'argent à débourser; que plus une distance est grande, plus il faut de temps pour la parcourir, etc.; et qu'au contraire, moins il y a d'habitants dans une ville , moins il y a de consommation, etc. C'est là ce qu'on doit entendre par ces expressions : le plus produit le plus ; le moins produit le moins. ”

“ Mais on ne dit pas dix cent mille, on dit un million. Voilà donc un troisième ordre d'unités, savoir l'ordre des millions, qui aura aussi des dixaines et des centaines, et l'on dira dix millions, cent millions. Mais on ne dit pas dix cent millions, on dit un billion (d) . Voilà donc un quatrième ordre d'unités, savoir l'ordre des billions, qui aura aussi des dixaines et des centaines. Viendront ensuite les trillions, les quadrillions, etc.
3. Scholie II. Il suit de notre système de numération qu'un nombre, quel qu'il soit, est toujours plus petit qu'un autre nombre qui a un chiffre de plus. ”

“ On connaîtra un moyen, en divisant le produit des extrêmes par l'autre moyen. Car, puisque le produit des extrêmes est égal au produit des moyens, on peut prendre, dans le premier cas, le produit des moyens pour produit des extrêmes, et dans le second cas, le produit des extrêmes pour produit des moyens; or lorsqu'on divise un produit par un de ses facteurs, on doit retrouver au quotient l'autre facteur (63) . ”

“ Maintenant vous pourriez,
sans faire aucune division , augmenter à volonté le nombre des chiffres du quotient; car le dividende 60 ayant reparu après la dix-septième division , les mêmes chiffres décimaux reviendront toujours dans le même ordre à l'infini. Mais en vous bornant aux seize premières décimales, vous aurez approché de très-près du véritable quotient; car la différence n'est pas d'un demiquadrillionième (249) .
Il est rare qu'on ait besoin d'une aussi grande approximation. On se contente ordinairement de cinq ou six décimales, et souvent de moins. ”

“ Mais, par hypothèse, la somme des extrêmes est égale à la somme des moyens : donc la somme des antécédents, plus la différence du second rapport, est égale à la somme des antécédents plus la différence du premier rapport ; mais ces deux sommes ne seraient pas égales, si les différences étaient inégales : car , lorsqu'on ajoute des quantités inégales à des quantités égales, les touts sont inégaux (ax. 4) donc les différences ne sont pas inégales ; donc elles sont égales ”

“ Scholie V. Si l'on voulait trouver combien la personne doit donner à chaque pauvre, en supposant qu'elle veuille donner tous les sous qu'elle a, on opérerait d'abord comme s'il fallait trouver le nombre total des sous ; mais on diviserait ensuite la somme ou la différence des produits par la somme ou par la différence des erreurs. ”

“ Lorsqu'on écrit en chiffres un nombre entier, on met des zéros pour remplacer les dixaines, les centaines, etc., qui manquent, afin de conserver aux chiffres significatifs , qui précèdent, leur valeur (5) ; de même, et par la même raison, lorsque dans une fraction décimale il n'y a pas de dixièmes, ou de centièmes, etc., on met des zéros pour en tenir lieu, afin de conserver leur valeur aux chiffres significatifs qui suivent. Ainsi, pour exprimer six centièmes, on écrira 0,06 ; pour exprimer neuf millièmes, on écrira 0,009 ”

“ Si l'on divise des quantités égales par des diviseurs différents, les quotients seront entre eux en raison inverse des diviseurs.
Puisque les dividendes sont égaux et les diviseurs inégaux, le dividende qui aura le plus petit diviseur donnera le plus grand quotient, le dividende qui aura le plus grand diviseur donnera le plus petit quotient, et le quotient sera d'autant plus grand que le diviseur sera plus petit, et d'autant plus petit que le diviseur sera plus grand (63.6° 7°) ; donc si l'on divise l'un des deux nombres par 2 et l'autre par 4, le premier quotient sera double du second ”

“ Puisqu'il y aura deux chiffres à la racine, et que les dixièmes sont des dixaines par rapport aux centièmes , opérez comme sur des nombres entiers. Partagez le dividende en tranches de deux chiffres chacune; cherchez, pour avoir les dixièmes de la racine, quel est le plus grand quarré contenu dans le chiffre des centièmes : c'est I , dont la racine est I. Écrivez I aux dixièmes de la racine. Élevez ce chiffre au quarré, et faites la soustraction : il ne restera rien. ”

“ Mais lorsqu'il arrive que le multiplicateur est l'unité, et par conséquent que le produit, qui sera le dividende dans l'opération suivante, est égal au multiplicande, on se dispense de faire une multiplication inutile , et on se contente, pour abréger, d'effectuer la division. ”

“ Si vous aviez avancé la virgule de quatre rangs vers la droite, vous auriez divisé par 10000: car dans le quotient 0,08654, chaque chiffre a une valeur dix mille fois moindre que dans le dividende, etc.
En général, il faut avancer la virgule d'autant de rangs vers la gauche qu'il y a de zéros au diviseur, et mettre des zéros à la gauche du quotient lorsqu'il n'y a pas assez de chiffres au dividende. ”

“ Vous avez donc trouvé le produit en écrivant le zéro du multiplicateur à la suite du multiplicande.
52. Scholie I. Pour avoir le prix de 100 aunes du même drap, on mettrait deux zéros à la suite du multiplicande. Car puisque une aune vaut 36 fr., 100 aunes vaudront cent fois 36 fr., ou une somme cent fois plus grande que 36 fr. Or 3600 fr. est cent fois plus grand que 36 fr. (déf. XII) . En général, lorsqu'on a un nombre quelconque à multiplier par l'unité suivie de zéros, on obtient le produit en mettant à la suite du multiplicande autant de zéros qu'il y en a au multiplicateur. ”

“ Scholie III. Dans une proportion géométrique, la somme des extrêmes n'est point égale à la somme des moyens : le plus grand terme et le plus petit, pris ensemble , sont plus grands que les deux autres pris ensemble. ”

“ Multipliez-les de la même manière par 4; mais avancez le produit d'un rang vers la gauche, c'est-à-dire, mettez le premier chiffre de ce produit sous les dixaines du produit précédent ; car vous avez
multiplié des unités par des dixaines, ce qui est la même chose que si vous aviez multiplié des dixaines par des unités (31) ; or, lorsqu'on multiplie des dixaines par des unités, le produit exprime des dixaines (9.4°) . Multipliez encore , de la même manière, tout le multiplicande par les centaines du multiplicateur, et avancez aussi ce produit d'un rang vers la gauche. ”

“ Pour indiquer une puissance d'un nombre, on n'écrit ce nombre qu'une seule fois , et l'on met à sa droite, et un peu plus haut, un petit chiffre qui marque le degré de la puissance , et que, par cette raison, on appelle exposant. Ainsi ces expressions 10% io3, io4, au (io) 2, (10) 3, (10) 4, indiquent la seconde, la troisième , la quatrième puissance de 10 , et les petits chiffres 2 , 3, 4, sont les exposants de ces puissances.
114. Pour trouver une puissance quelconque d'un nombre, excepté la première, il faut effectuer des multiplications. ”

“ Pour éluder ces difficultés, on a essayé de comprendre dans une seule définition les deux cas différents auxquels on applique la division, et l'on a dit : la division revient à trouver l'un des facteurs d'un produit lorsqu'un connaît l'autre facteur. ”

“ Lorsque les deux termes d'une fraction n'ont pas d'autre diviseur commun que l'unité, cette fraction ne peut pas être réduite à une expression plus simple, et l'on dit qu'elle est irréductible.
PROBLEME.
169. Mettre un entier sousforme de fraction ?
Pour résoudre ce petit problème, il suffit d'indiquer la division de l'entier par l'unité; car lorsqu'un nombre est divisé par l'unité le quotient est égal au dividende (63) ; en divisant l'entier par l'unité, on n'en a donc pas changé la valeur. Ainsi au lieu de 6, par exemple, on pourra écrire 6 et l'on aura mis 6 sous forme de fraction. ”

“ On prouverait de même que si un chiffre quelconque, pris dans la bande supérieure, représente des centaines ou des mille, etc., et que si un autre chiffre, pris dans la première colonne à gauche, représente des unités, ou des dixaines, ou des centaines, etc., le produit du premier par le second sera égal au produit du second par le premier. ”

“ Scholie II. Si la somme des chiffres de chaque colonne était tout au plus égale à 9, on pourrait commencer l'opération par la gauche. Mais comme on ignore, en commençant, si la somme des chiffres de quelqu'une des colonnes ne surpassera pas 9; comme, dans ce cas, il y aurait des dixaines de retenue à ajouter à la colonne précédente, et que, par conséquent, il faudrait changer le chiffre déja écrit sous cette colonne, il convient, dans tous les cas, de commencer l'opération par la droite.
ARTICLE II.
DE LA SOUSTRACTION.
17. La soustraction sert à retrancher un nombre d'un autre. ”

“ Je suppose que 12 ouvriers ont bâti une maison en 6 mois, et qu'il s'agisse d'en faire bâtir une pareille par 24 ouvriers. On ne pourra pas dire : 12 ouvriers sont à 24 ouvriers, comme le temps employé par les 12 ouvriers à bâtir la première maison est au temps employé par les 24 ouvriers à bâtir la seconde ; car il est évident que les 24 ouvriers n'y emploieront que 3 mois. Ainsi les deux rapports ne seraient pas égaux, puisque le premier antécédent n'est que la moitié de son conséquent, et que le second antécédent est double de son conséquent. ”

“ Lorsque le nombre qu'on veut élever au quarré est composé de dixaines et d'unités, ou de centaines , de dixaines et d'unités, etc., on le multiplie par lui-même suivant les règles ordinaires de la multiplication. ”

“ En effet, dans la division, le diviseur est connu et l'on cherche un quotient, tandis que dans l'extraction de la racine quarrée on cherche un diviseur inconnu qui doit être égal au quotient. Aussi les procédés que l'on emploie pour l'extraction de la racine quarrée ne se rapportent-ils que très-imparfaitement aux règles que l'on observe dans la division.
THÉORÈME.
125. Un quarré composé de deux chiffres ne peut avoir qu'un seul chiffre à sa racine. ”

“ Une unité mise après l'u- nité de millième, est une unité de dix-millième. Une unité mise après l'unité de dix-millième , est une unité de cent-millième; et ainsi de suite.
Il est clair qu'à la place des unités on pourrait mettre
après la virgule d'autres chiffres quelconques. Si l'on avait, par exemple, 1,278, le 2 exprimerait de même des dixièmes, le 7 des centièmes, et le 8 des millièmes.
On voit que les fractions décimales, composées de parties de dix en dix fois plus petites , ne sont qu'une extension de notre système de numération. ”

“ Seulement il faut avoir soin de séparer, dans le quotient, les décimales des entiers , ce qui est toujours facile, puisque les décimales du quotient sont déterminées par les décimales du dividende (210) .
222. Si l'on propose de diviser un nombre décimal par un autre nombre décimal, cette question présente trois cas : ou le dividende a plus de décimales que le diviseur, ou il en a autant, ou il en a moins.
223. 1er cas. Le dividende a plus de décimales que le diviseur. ”