Système de numération

“ REMARQUE. La décomposition en facteurs premiers constitue un véritable système de numération des nombres entiers, au moyen duquel tous peuvent être exprimés, et ne peuvent l'être que d'une seule manière. Ce système, fort incommode pour les opérations les plus simples, se prête quelquefois très-facilement aux opérations plus compliquées de l'arithmétique. Nous exposerons quelques-unes de ses applications; mais il convient d'abord d'indiquer le moyen de décomposer un nombre en facteurs premiers, car, jusqu'ici, nous nous sommes bornés à en montrer la possibilité. ”

“ En tout ce qui est science exacte ou d’observation, l’ignorance de la nation, y compris les lettrés, est extrême. Il existe bien quelques traités élémentaires d’arithmétique ; mais le système de numération écrite, très compliqué, ne se prête à aucun progrès en algèbre, en trigonométrie, en géométrie, partout enfin où l’emploi de nombres considérables devient nécessaire. ”

“ C’est une heureuse innovation que celle qui a mis nos divisions monétaires en harmonie avec les combinaisons numériques, en d’autres termes, qui les a soumises aux lois du système décimal. Tout est régulier dans ces divisions : chaque pièce est une fraction exacte ou un multiple des autres, et de plus, le fractionnement correspond toujours à la progression établie dans la numération. De là, quelle facilité dans les comptes ! quelle simplicité dans les calculs ! Rien de semblable ne se retrouve en Angleterre. ”

“ Quelques exemples servant à faire comprendre que toutes les grandeurs peuvent toujours être évaluées en nombres. Le nombre nous fournit le moyen de nous rendre compte d'unecollection d'individualités homogènes et nous donne une idée juste de la grandeur de chaque quantité en particulier, considérée dans sa nature propre. Autres avantages que l'on retire du nombre et principalement de sa formation qui suggère l'idée de l'addition, et par suite celle de son opération inverse. Le système de numération est la conséquence de l'opération à l'aide de laquelle on forme les nombres. ”

“ Telle est la numération actuelle; elle est la base de toutes les autres manières de compter, quoique dans plusieurs arts on ne s'assujettisse pas toujours à compter uniquement par dizaines, par dizaines de dizaines, etc.
17. Pour évaluer les quantités plus petites que l'unité qu'on a choisie, on partage celle-ci en d'autres unités plus petites.
Le nombre en est indifférent en lui-même, pourvu qu'on puisse mesurer les quantités qu'on a dessein de mesurer ”

“ De là le calcul des nombres complexes, assez pénible, malgré les simplifications provenant des diviseurs de douze.—Les unités nouvelles procèdent toutes de dix en dix, comme notre système de numération. Les grandeurs s'expriment par suite en nombres décimaux, aussi faciles à combiner que les entiers. Les changements d'unité se traduisent par un simple déplacement de la virgule.—On comprend pourquoi le (p. 73) système métrique s'appelle aussi système décimal des poids et mesures. ”

“ Mais on ne dit pas dix cent mille, on dit un million. Voilà donc un troisième ordre d'unités, savoir l'ordre des millions, qui aura aussi des dixaines et des centaines, et l'on dira dix millions, cent millions. Mais on ne dit pas dix cent millions, on dit un billion (d) . Voilà donc un quatrième ordre d'unités, savoir l'ordre des billions, qui aura aussi des dixaines et des centaines. Viendront ensuite les trillions, les quadrillions, etc.
3. Scholie II. Il suit de notre système de numération qu'un nombre, quel qu'il soit, est toujours plus petit qu'un autre nombre qui a un chiffre de plus. ”

“ Le D. C'est l'unité multipliée aucune fois par dix: c'est clair. Ainsi tous les nombres de cette série sont des puissances de dix, ou l'unité divisée par ces puissances. A présent tout nombre est un composé de différentes puissances de dix multipliées par des unités , qui sont exprimées par des chiffres arabes. Les chiffres romains qui expriment les puissances, sont sous-entendus.
Le M. Le nombre qui fournit toutes les puissances employées dans les calculs, se nomme la base du système de numération. Dix est la base du nôtre. ”

“ De la numération que nous venons d'exposer, et qui est 'purement de convention, il résulte qu'à mesure qu'on avance de droite à gauche, les unités dont chaque nombre est composé sont de dix en dix fois plus grandes, et que par conséquent, pour rendre un nombre dix fois, cent fois, mille fois plus grand, il suffit de mettre à la suite du chiffre de ses unités un, deux, trois, etc., zéros ”

“ Dans un ouvrage sur l'arithmétique, imprimé à Paris en 1056 (*) , elle invite les Souverains à faire cette heureuse application; et, pour la rendre plus facile, elle publie elle-même des tables de conversion des sous et deniers, des onces, gros et grains, des pieds, pouces et lignes , en fractions décimales de la livre-monnaie, de la livre-poids et de la toise.
C'est donc le vœu de Marie Crous que notre système décimal des poids et mesures est venu réaliser au bout d'un siècle et demi. ”

“ Les unités de dix en dix fois plus grandes et de dix en dix fois plus petites du système des nouvelles mesures sont la réalisation des unités de différents ordres employés dans la numération décimale. Il en résulte que les calculs sont aussi simples que si l'on se bornait à l'emploi exclusif d'une seule unité; rien de plus facile, en effet, que de rapporter à l'unité principale une grandeur exprimée au moyen de ses multiples et de ses sousmultiples décimaux. ”

“ Un nombre qu'on énonce sans désigner l'espèce des unités, comme quand on dit simplement trois ou trois fois, quatre ou quatre fois, s'appelle un nombre abstrait; et lorsqu'on énonce en même temps l'espèce des unités, comme quand on dit quatre kilogrammes, cent tonneaux, on l'appelle nombre concret.
Nous définirons les autres espèces de nombres à mesure qu'il en sera question.
DE LA NUMÉRATION ET DES DÉCIMALES.
7. La numération est l'art d'exprimer tous les nombres par une quantité limitée de noms et de caractères. Ces caractères s'appellent chiffres. ”

“ UNITÉS MILLE. MILLIÈMES.
MILLIONS MILLIONIÈMES.
BILLIONS. BILLIONIÈMES.
On voit par l'examen de ce tableau que les nombres décimaux se partagent par tranches comme les nombres entiers ; mais il est impossible, dans la pratique, de suivre cette division. On verra, dans les tableaux suivans, que l'unité décimale varie suivant la quantité de chiffres dont le nombre décimal est composé. Lorsqu'il est composé de quatre chiffres, l'unité est des dix-millièmes ”

“ Si on demandait un douzième de pouce, l'opération était toute faite, c'était le nombre complexe appelé ligne. La numération décimale s'appliquait à tous les nombres complexes comme unité ; et si l'on avait besoin d'un centième de point, d'un centième de ligne, on écrivait un centième : par
le nouveau système, si l'on veut exprimer un centième de ligne, il faut avoir recours à son rapport avec le mètre, ce qui jette dans un calcul infini. ”

“ Il conviendra aussi de les représenter par des caractères particuliers, afin de simplifier leur écriture et de rendre leurs opérations de composition et de décomposition plus faciles.
Telles sont les considérations qui ont conduit à un système de numération.
DE LA NUMÉRATION.
9. La numération qui repose sur des conventions, est donc l'art de former et de nommer les nombres; de même que, par son secours, on parvient à les exprimeravec des caractères qu'on appelle chiffres : elle offre par conséquent trois parties bien distinctes, qui sont : t" La formation des nom-
bres ”

“ Ainsi la mesure des grandeurs s'opérerait avec plus de facilité dans le système duodécimal; il y aurait beaucoup plus de chances d'arriver à une expression simple et exacte de la grandeur.
Les hommes ont adopté la numération décimale dès les premiers siècles, sans doute à cause des dix doigts de leurs mains; ils comptaient d'abord sur leurs doigts; arrivés au nombre dix, afin d'aller plus loin, ils ont été obligés de considérer la dizaine comme une unité nouvelle, pour recommencer à compter sur les doigts, de manière à former une nouvelle dizaine et prolonger ainsi la série des nombres. ”

“ Si l'on retranche un, deux, trois, etc., zéros sur la droite d'un nombre, on le rend dix fois, cent fois, mille fois, etc., plus petit, ou on le divise en autant de parties égales.
24. Comme on ne saurait être trop exercé sur le système de numération,je vais terminer son exposé par des exemples sur l'art d'écrire et d'énoncer les nombres: 10. Écrire en chiffres le nombre quatre quintillions quatre trillions vingt-quatre billions trois cent-cinq millions trois cent mille cinq cent vingt unités. ”

“ On peut continuer ainsi indéfiniment. Il suffit de savoir que mille billions font un trillion, mille trillions un quatrillion, etc.
9. REMARQUE. Dans l'emploi habituel de notre système de numération, les unités des 4e, 7e, 10e. ordres (mille, millions, billions.) jouent le rôle le plus important. Les autres disparaissent en effet du langage, et, si l'on excepte les dizaines et les centaines, l'on n'a même pas créé de mots particuliers pour les distinguer ”

“ Pour représenter soixante, qui contiennent un nombre exact
de dizaines et point d'unités, on écrit 60, en mettant un zéro, qui marque qu'il n'y a point d'unités simples, et détermine le chiffre 6 à marquer un nombre de dizaines. On peut, par ce moyen, compter jusqu'à quatre-vingt-dix-neuf inclusivement.
9. Remarquons, en passant, cette propriété de la numération actuelle ; savoir, qu'un chiffre placé à la gauche d'un autre, ou suivi d'un zéro, représente un nombre dix fois plus grand que s'il était seul. ”

“ L'usage de compléter par des zéros une tranche incomplète par laquelle commence un nombre quelconque , est sans inconvénient dans la pratique, et trèsutile pour aplanir les difficultés que les enfans éprouvent ordinairement à écrire les nombres dont les chiffres significatifs sont séparés par un ou plusieurs zéros.
Un exemple rendra cette vérité sensible. Soit le nombre cinq trillions, cinq billions, cinq millions, cinq mille, cinq unités. ”

“ En commençant le programme du cours par ces mots « numération décimale, » on a voulu éviter les questions sur la numération duodécimale, qu'on rencontre dans plusieurs ouvrages; il est plus utile d'exercer les élèves sur le système usuel, qui ne leur devient pas toujours aisément familier, que sur un système qu'ils n'auront jamais à appliquer. La seule vérification pratique de l'addition et de la multiplication est de recommencer ces opérations dans un autre ordre. ”

“ Le système de numératiun auquel s'appliquait ce tableau, qui lui a donné son nom Abacus, reposait sur ces trois principes fondamentaux, la progression décuple, l'usage de neuf chiffres significatifs et la valeur de position de ces chiffres (2) . Il ne différait donc de notre système actuel que dans la pratique et en un seul point, l'absence du zéro qui était suppléé par des colonnes dont l'usage permettait de laisser la place vide partout où nous mettons cette figure auxiliaire. ”

“ Définition de l'arithmétique. —7. Définition des nombres entiers. — 8. Numération parlée; unités des divers ordres qui dérivent toutes, d'une manière simple, de l'unité principale. — 9. Importance particulière desunités simples, mille', millions, billions, etc., dans le système de numération parlée. - 10. Numération écrite; convention sur laquelle elle repose. -1 t. Un chiffre peut être considéré comme re-
présentant des unités d'un ordre quelconque inférieur à son rang. ”

“ Il est nécessaire, en exerçant les élèves à écrire des nombres, de les faire ressouvenir que chaque tranche est composée de trois chiffres : centaines dizaines, unités. Ainsi un élève venant à hésiter pour écrire le nombre 3 millions, 75 mille, 4 unités, on lui fera les questions suivantes : -. ”

“ Dans le tableau ci-dessus, le premier chiffre et le dernier sont tous deux le chiffre i ; voilà leur valeur absolue; mais le premier ne vaut qu'une unité, tandis que le dernier vaut une centaine de triHions; voilà leur valeur relative.
L'élève devra apprendre par cœur l'exercice suivant :
La 1re tranche se nomme unités, La 2e mille, La 3e millions, La 4e billions, La 5e trillions,
La 2c tranche se nomme mille, La 4e billions, Lai" unités, La 5e trillions, La 3e millions.
Les trois chiffres de chaque tranche se nomment : le 1er unités, le 2e dizaines, le 3e centaines. ”

“ Ce n'est point par un vain désir d'innover que de bons esprits ont régularisé la dénomination des dizaines. Si le principe de cette réforme était strictement suivi, je crois qu'on hâterait beaucoup les progrès des enfans dans la numération.
Il n'est point d'instituteur qui ne sache combien les enfans éprouvent de difficultés à écrire les nombre 70 et go ”

“ Trois tranches complètes et les unités de la quatrième dessous 0; 000,009,874 billionièmes.
Les billionièmes neuf chiffres après la virgule ; 9,874 quatre chiffres ; donc il faut pour écrire le nombre de décimales ci-dessus cinq zéro avant 9,874.
874 704 000 unités. Trois tranches complètes.
dessous 0 ; 0 0,8 7 4,7 0 4 cent-millionièmes.
Les cent millionièmes huit chiffres ; 874,704 six chiffres ; donc pour écrire le nombre de décimales ci-dessus, il faut deux zéro avant les chiffres.
004 700 000 unités. Deux tranches et les unités de la troisième.
dessous 0; 0 0 0,0 4 7 millionièmes. ”

“ C'est le stage où de la numération quinaire primitive, donnée par les doigts de la main, on passa à la numération décimale, basée sur le calcul digital des deux mains, laquelle est demeurée, pour presque tous les peuples, le point de départ des computs plus complets et plus perfectionnés qui arrivent à ne plus connaître de limite à la multiplication infinie ni à la division infinie. ”

“ Ce que nous venons de dire renferme la numération parlée d'une manière complète. Mais on peut faire quelques remarques utiles pour aider la mémoire. On peut remarquer la répétition des mots; dixaine, centaine qui revient périodiquement après lès mots unité, mille, million, billion, etc. Ces derniers mots qui paraissent de trois en trois rangs, forment une espèce de cadre de la numération qui aide l'esprit à comprendre les grands
nombres, parce que cela les partage en tranches de trois ordres : la tranche des unités, la tranche des mille, la tranche des millions, etc. ”