Étienne Bezout

“ S'il restait quelque chose, la racine n'en serait pas moins la vraie racine en nombres entiers, à moins que ce reste ne fût plus grand que le double de la racine, augmenté de l'unité ; mais c'est ce qu'on n'a point à craindre quand on prend le quotient toujours au plus fort.
La vérification que nous venons d'enseigner, est fondée sur la formation même du carré ; car quand on multiplie 104 par 4, il est évident qu'on forme le carré des unités et le double des
dizaines multiplié par les unités, c'est-à-dire ce qui complète le carré parfait. ”

“ Toutes les fois que la première hypothèse donnera une erreur en plus, il faudra prendre pour la seconde un nombre inférieur à celui de la première ; si la seconde erreur se trouve encore en plus, on verra de combien la différence entre les deux suppositions a diminué l'erreur, et on trouvera par une règle de trois de combien il faut diminuer la première supposition, pour que l'erreur devienne nulle. ”

“ Chaque art subdivise à sa manière l'unité principale qu'il s'est choisie. Les subdivisions du mètre sont différentes de celles du jour, de l'heure ; celles du jour, différentes de celles de la circonférence, et ainsi de suite: nous les ferons connaître lorsque nous traiterons des nombres complexes.
20. Mais de toutes les divisions et subdivisions qu'on peut faire de l'unité, celle qui se fait par décimales, c'est-à-dire en partageant l'unité en parties de dix en dix fois plus petites, est incontestablement la plus commode dans les calculs. ”

“ On pourra donc toujours ramener un rapport arithmétique à avoir zéro pour l'un de ses termes : il suffira pour cela de retrancher de chaque terme le plus petit d'entr'eux. On réduira plusieurs rapports arithmétiques au même antécédent, en ajoutant aux deux termes de chaque rapport la somme des antécédents de tous les autres rapports : on ne changera la valeur d'aucun rapport, puisqu'on ajoutera le même nombre à chacun de ses termes ; de plus chaque antécédent sera la somme de tous les antécédents primitifs. ”

“ Ainsi, pour marquer sept mille huit cent cinquante-neuf, on écrira 7859; pour marquer sept mille neuf, on écrira 7009; et pour sept mille, on écrira 7000; où l'on voit qu'un chiffre suivi de trois autres, ou de trois zéros, marque un nombre mille fois plus grand que s'il était seul.
13. En continuant ainsi de renfermer dix unités d'un certain ordre dans une seule unité, et de placer ces nouvelles unités dans des rangs de plus en plus avancés vers la gauche, on parvient à exprimer d'une manière uniforme, et avec dix caractères seulement, tous les nombres entiers imaginables. ”

“ Mais on peut toujours ramener une proportion à cet état (175) en multipliant les deux conséquents par la raison. Cette multiplication fera, à la vérité, que le produit des extrêmes sera un certain nombre de fois plus grand qu'il n'aurait été, ou sera un certain nombre de fois plus petit, si le rapport est une fraction ; mais elle produira le même effet sur celui des moyens; donc, puisque après cette multiplication, le produit des extrêmes serait égal au produit des moyens, ces deux produits doivent aussi être égaux sans cette même multiplication. ”

“ XI. Zéro divisé par zéro donne pour quotient quel nombre on veut; car, quel que soit le nombre que l'on prenne pour quotient, ce quotient multiplié par le diviseur zéro donnera toujours pour produit le dividende zéro. ”

“ L'idée que nous avons donnée jusqu'ici d'une fraction est que le dénominateur représente de combien de parties l'unité est composée ; et le numérateur, combien il y a de ces parties dans la quantité que la fraction exprime.
On peut encore envisager une fraction sous un autre point de vue : on peut considérer le numérateur comme représentant une certaine quantité qui doit être divisée en autant de parties
qu'il y a d'unités dans le dénominateur. ”

“ Le dividende vaut le diviseur multiplié par le quotient, plus le reste. Or, le diviseur commun au diviseur et au reste, divisera exactement les deux parties du dividende , donc il devra diviser de la même manière le dividende lui-même ; car , s'il en étoit autrement, on auroit, en effectuant la division , un nombre fractionnaire égal à la somme de deux nombres entiers , ce qui est absurde. Ces principes posés , passons à notre démonstration. Le dernier diviseur se divise exactement lui-même, et il divise de la même manière le dernier dividende. ”

“ Examinons maintenant les changements qu'on peut faire naître dans un nombre par le déplacement de la virgule.
Puisque la virgule détermine la place des unités, et que tous les autres chiffres ont des valeurs dépendantes de leurs distances à cette même virgule; si l'on avance la virgule d'une, deux, trois, etc. places sur la gauche, on rend le nombre 10, 100, 1000, etc. fois plus petit; et au contraire on le rend 10, 100, 1000, etc. fois plus grand, si l'on recule la virgule d'une, deux, trois, etc. places sur la droite. ”

“ X En introduisant de nouveaux facteurs, on verra facilement que le nombre des chiffres du produit de trois facteurs n'est jamais plus grand que le nombre des chiffres des trois facteurs et qu'il ne peut en différer que d'une ou de deux unités, et qu'en général le nombre des chiffres d'un produit ne peut pas surpasser le nombre de ceux de tous les facteurs, et qu'il ne peut pas être inférieur à ce nombre, diminué d'autant d'unités moins une qu'il y a de factsurs. ”

“ Donc, si le premier terme de la progression est l'unité, chaque autre terme sera formé de la raison même élevée à une puissance marquée par le nombre des termes qui le précèdent; car la multiplication par le premier terme qui est l'unité, n'augmente point le produit. ”

“ La première en renferme de trois espèces : le nombre entier, la fraction, et le nombre fractionnaire, tels que les définit Bezout. Le nombre abstrait et le nombre concret sont de la seconde. La troisième comprend le nombre incomplexe et le nombre complexe : le nombre incomplexe est celui qui ne renferme qu'une seule espèce d'unités, et le nombre complexe est celui qui est composé de plusieurs espèces d'unités dépendantes les unes des autres, rapportées les unes aux autres. ”

“ Do tous les moyens qu'on peut employer pour réduire une fraction à une expression plus simple, le plus direct est celui de diviser les deux termes par le plus grand diviseur commun qu'ils puissent avoir : voici la règle pour trouver ce plus grand diviseur.
Divisez le plus grand des deux termes par le plus petit; s'il n'y a point de reste, c'est le plus petit terme qui est le plus grand diviseur commun. ”

“ On peut le plus souvent pousser chaque division jusqu'à un chiffre de plus, c'est-à-dire jusqu'à autant de chiffres qu'on en a déjà à la racine ; mais il y a quelques cas, rares à la vérité , où l'erreur sur le dernier chiffre pourrait aller jusqu'à cinq unités; au lieu qu'en se bornant à un chiffre de moins, comme nous venons de le faire, on n'a jamais à craindre même une unité d'erreur sur le dernier chiffre. ”

“ Tout nombre n'a pas de racine cubique , mais on peut approcher continuellement d'un nombre qui, étant cubé, approche aussi de plus en plus de reproduire ce premier nombre ; c'est ce que nous verrons après avoir appris à trouver la racine d'un cube parfait. ”

“ Voyez si le plus grand dénominateur contient exactement tous les autres , s'il ne les contient pas tous, essayez son double, ensuite son triple, son quadmple, etc., jusqu'à ce que vous ayez trouvé un des multiples de ce plus grand dénominateur, qui contienne exactement tous les autres dénominateurs; divisez ce multiple successivement par chacun des dénominateurs, et écrivez chaque quotient auprès de la fraction dont vous avez pris le dénominateur pour diviseur ; enfin multipliez les deux termes de chaque fraction par le nombre écrit auprès. ”

“ Lorsqu'il se trouve des zéros entre les chiffres du multiplicateur, comme la multiplication par ces zéros ne donnerait que des zéros, on se dispensera d'écrire ceux-ci dans le produit; et, passant tout de suite à la multiplication par le premier chiffre significatif qui vient après ces zéros, on en avancera le produit sur la gauche d'autant de places plus une qu'il y a de zéros qui se suivent dans le multiplicateur, c'est-à-dire de deux places s'il y a un zéro, de trois s'il y en a deux. ”

“ Si la racine devoit avoir des zéros parmi ses chiffres intermédiaires, dans le cas où ces zéros seroient du nombre des chiffres qu'on détermine par la division, il peut arriver, s'ils doivent être les premiers chiffres du quotient, qu'on ne s'en aperçoive pas, parce que dans la division on ne marque pas les zéros qui doivent précéder sur la gauche du quotient : le moyen de le distinguer est de faire attention qu'on doit avoir toujours autant de chiffres au quotient qu'on en a mis à la suite du reste ”

“ Dans notre système de poids et mesures, chaque unité principale se compose par dizaines pour former des unités de plus en plus grandes, et se décompose par dixièmes pour former des unités de plus en plus petites, absolument comme les nombres entiers et leurs parties décimales. ”

“ L'unité est une quantité que l'on prend (le plus souvent arbitrairement) pour servir de terme de comparaison à toutes les quantités d'une même espèce ainsi lorsqu'on dit un tel corps pèse cinq kilogrammes, le kilogramme est l'unité ; c'est la quantité à laquelle on compare le poids de ce corps ; on aurait pu également prendre l'hectogramme pour unité, et alors le poids de ce corps eût été marqué par cinquante. 5. Le nombre exprime de combien d'unités, ou de parties d'unité, une quantité est composée. ”

“ Pour se faire une idée nette des fractions, il faut concevoir que la quantité qu'on a prise d'abord pour unité est elle-même composée d'un certain nombre d'unités plus petites, comme l'on conçoit, par exemple, que l'heure est composée de soixante parties ou de soixante unités plus petites qu'on appelle minutes. ”

“ Tout changement fait dans une proportion, de manière que la somme de l'antécédent et du conséquent, ou leur différence, soit comparée à l'antécédent ou au conséquent ; de la même manière dans chaque rapport, formera toujours une proportion. ”

“ Un nombre que l'on carre, est donc tout à la fois multiplicande et multiplicateur; il est donc deux fois facteur (42) du produit ; c'est pour cela qu'on appelle aussi ce produit ou carré, la seconde puissance de ce nombre.
Il ne faut d'autre art pour carrer un nombre, que de le multiplier par lui-même selon les règles ordinaires de la multiplication ; mais pour extraire la racine carrée d'un nombre, c'est-à-dire pour revenir du carré à la racine, il faut une
méthode, du moins lorsque le nombre ou carré proposé a plus de deux chiffres. ”

“ Par un raisonnement semblable, on voit que moins on supposera de parties dans l'unité, moins il faudra de ces parties pour former une même quantité ; que par conséquent on peut, sans changer une fraction, rendre son dénominateur 2, 5, 4, etc., fois plus petit, pourvu qu'en même temps on rende son numérateur 2, 5, 4, etc., fois plus petit; et en général, une fraction ne change point de valeur quand on divise ses deux termes par un même nombre. ”

“ Dans les extractions des racines, pour éviter toute méprise, lorsqu'il entrera des compléments arithmétiques dans les logarithmes dont on fera usage, on aura soin d'ajouter ou d'ôter à la caractéristique autant de dizaines qu'il est nécessaire pour que ce dont elle sera trop forte soit précisément d'autant de dizaines qu'il y a d'unités dans le nombre qui marque le degré de la racine : et ayant, conformément à la règle ordinaire, divisé par le nombre qui marque le degré de la racine, la caractéristique sera trop forte précisément de 10 unités. ”

“ Or, il y a le même nombre de termes de part et d'autre.
Concluons de là qu'un terme quelconque de la progression géométrique aura toujours pour correspondant, dans la progression arithmétique, un terme qui contiendra la raison de celle-ci autant de fois
que la raison de la première est facteur dans le terme quelconque dont il s'agit. ”