Suite arithmétique

“ Le même siècle voit, d’une part, se compléter les programmes de l’arithmétique moderne par l’invention des logarithmes, d’un autre côté, s’ouvrir, à la suite des travaux de Fermât sur Diophante, un nouveau champ, qui lui fut enlevé, au xviu e siècle, par la constitution de la Théorie des nombres. Actuellement, le nom d’arithmétique est réservé aux matières d’un enseignement élémentaire, dont il est aussi facile de se rendre compte par un programme officiel qu’il serait impossible d’en préciser le caractère véritable et d’en circonscrire l’étendue d’après des principes rationnels. ”

“ Mettez à la suite de celui des deux nombres proposés qui a le moins de décimales, un nombre de zéros suffisant pour que le nombre des décimales soit le même dans chacun (cela ne changera rien à la valeur de ce nombre (30) ) ; supprimez la virgule dans l'un et dans l'autre, et faites l'opération comme pour les nombres entiers ; il n'y aura rien à changer au quotient que vous trouverez.
Exemple.
On propose de diviser 12,52 par 4,3
en complétant le nombre des décimales. ”

“ Cas où les deux nombres sont quelconques ; on n'a pas, dans ce troisième cas, de règle qui puisse conduire sans tâtonnements au résultat; on se borne à substituer des zéros aux chiffres du diviseur qui suivent le premier, et on obtient ainsi un quotient approché qui ne peut être trop petit; on cherche sa valeur exacte par une suite d'essais. ”

“ De même on sait que la différence qui existe entre 7 et 16 est 9; parce que 7 + 9=16. On sait donc trouver la différence qui existe entre un nombre d'un seul chiffre et un nombre plus petit que 20. Or, une soustraction quelconque n'est qu'une suite de soustractions (*) Voir notre Arithmétique élémentaire.
semblables; car il est évident qu'on aura la différence totale de plusieurs nombres, en cherchant la différence de leurs unités, de leurs dizaines, de leurs centaines., et en réunissant toutes ces différences partielles. ”

“ L'arithmétique est la base des mathématiques, elle en est l'alphabet ; les opérations qui constituent toute l'arithmétique sont au nombre de quatre, que l'on nomme addition, soustraction, multiplication et division. ”

“ Plusieurs des théorèmes que l’on a coutume d’exposer dans les traités d’arithmétique, s’appuient sur ceux que nous avons présentés ; par exemple, la règle pour reconnaître si un nombre est divisible par ou tout autre nombre. ”

“ Quoique la manière d'écrire et d'énoncer les nombres entiers soit nécessairement familière à ceux qui abordent l'étude théorique de l'arithmétique, ce système de numération a une telle importance dans l'art de faire les calculs, qu'il est essentiel d'en indiquer avec soin les principes. ”

“ REMARQUE. La décomposition en facteurs premiers constitue un véritable système de numération des nombres entiers, au moyen duquel tous peuvent être exprimés, et ne peuvent l'être que d'une seule manière. Ce système, fort incommode pour les opérations les plus simples, se prête quelquefois très-facilement aux opérations plus compliquées de l'arithmétique. Nous exposerons quelques-unes de ses applications; mais il convient d'abord d'indiquer le moyen de décomposer un nombre en facteurs premiers, car, jusqu'ici, nous nous sommes bornés à en montrer la possibilité. ”

“ Quant à l'extension de la méthode, un seul homme qui ne fait pas des mathématiques son étude spéciale ne peut saisir tous les rapports d'un moyen nouveau.
Qu'on parte du point où il s'arrête, la route est nouvelle, l'exploration sera féconde; le mouvement est donné, l'impulsion sera immense. Voilà, mon ami, ce que j'avais à dire pour m'excuser de reprendre aujourd'hui des travaux suspendus pendant trois années 1
(1) Pour suivre les di verses propositions de ces lettres , le lecteur devra se pénétrer avant des principes énoncés dans l'arithmétique complémentaire ”

“ La ligne de démarcation de l’Arithmétique et de l’Algèbre provient de l’idée que l’on se fait du nombre, suivant qu’on le considère comme grandeur ou seulement comme numéro d’ordre, c’est-à-dire suivant que l’on accepte ou que l’on refuse la notion de continuité ”

“ L'Astronomie y trouve des ressources infinies ; & la Géométrie, ne peut presque s'en passer.
La commodité du calcul, & celle que donne le choix d'une Progression arithmétique quelconque, a fait préferer à toute autre, la progression décimale ; c'est-à-dire, celle ou chaque nombre est décuple de celui qui le précéde : & nous donnons à la progression arithmétique, une fuite immédiate des nombres naturels, commençant par zéro. Ainsi, 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9, &c. Et par ce moyen, le Logarithme de 1, est zéro ”

“ Coumot a rapproché l’extension de l’idée de multiplication aux fractions et l’extension des règles de calcul aux nombres négatifs. Ces deux généralisations permettent de rendre les relations entre les grandeurs, indépendantes de l’unité et du zéro-origine choisis.
Les nombres incommensurables donnent déjà de la généralité à l’arithmétique. Le vrai passage à l’algèbre se fait lorsqu’apparaissent les nombres négatifs, permettant de généraliser davantage les règles et les formules. ”

“ D’où viennent ces règles et ces formules ? Ce sont les définitions mêmes des opérations arithmétiques fondamentales qui nous y conduiront.
Le calcul arithmétique n’est autre chose que la combinaison de certains nombres suivant des lois déterminées. Cependant, lorsque pratiquement nous avons à faire un calcul, nous oublions, dans notre hâte d’arriver au résultat, les nombres combinés et la façon dont ils sont associés : l’édifice n’est pas plus tôt construit que nous perdons de vue l’agencement des matériaux qui nous ont permis de l’obtenir ”

“ Or, il y a le même nombre de termes de part et d'autre.
Concluons de là qu'un terme quelconque de la progression géométrique aura toujours pour correspondant, dans la progression arithmétique, un terme qui contiendra la raison de celle-ci autant de fois
que la raison de la première est facteur dans le terme quelconque dont il s'agit. ”

“ Ce qui ne peut se faire qu’en beaucoup de temps par l’arithmétique se fait en un moment par l’algèbre et l’analyse, sans que l’esprit se brouille par le changement des chiffres et par la longueur des opérations. Une opération particulière d’arithmétique ne découvre qu’une vérité, une semblable opération d’algèbre en découvre une infinité. ”

“ On appelle en général quantité tout ce qui est susceptible d'augmentation ou de diminution. L'étendue, la durée, le poids, etc., sont des quantités. Tout ce qui est quantité est de l'objet des mathématiques; mais l'arithmétique, qui fait partie de ces sciences, ne considère les quantités qu'en tant qu'elles sont exprimées en nombres.
2. L'arithmétique est donc la science des nombres : elle en considère la nature et les propriétés, et son but est de donner des moyens faciles , tant pour représenter les nombres , que pour les composer et décomposer, ce qu'on appelle calculer. ”

“ Tous les changemens que nous opérerons sur les nombres vont devenir maintenant un jeu du principe de la numération et l'introduction de tout mécanisme de calcul, ou de composition et de décomposition de nombres qui constituent au fond l'Arithmétique ; ils sont compris dans ce qui suit : 16. i.0 On peut ou placer à la droite du nombre proposé , ou à sa gauche, ou parmi les chiffres compris entre les deux extrêmes du nombre , un ou plusieurs zéros , et plus généralement un ou plusieurs chiffres (significatifs (i) ou .non) . ”

“ DE LA NUMÉRATION.
L'arithmétique est la science des nombres: elle nous apprend comment il faut calculer pour obtenir un nombre inconnu qu'on veut trouver. Calculer, c'est combiner les nombres, soit en
ajoutant l'un à l'autre, soit en retranchant l'un de l'autre. ”

“ Il ne s'agit plus maintenant, que d'appliquer ces fractions aux Regles de l'Arithmétiques. Elles y sont presque les mêmes, que celles des entiers. Premierement à l'égard de l'addition, & de la soustraction, on arrange de la même maniere, les uns fous les autres, les chiffres d'un même rapport; c'est-à-dire, les primes sous les primes ; les secondes, fous les secondes ; les tierces, fous les tierces, &c ; & l'on porte dans l'addition le nombre de dixaines, qui se trouve dans une colonne de chiffres, à la colonne subséquente, qui
lui sont autant d'unitez. ”

“ Dans les élémens des mathématiques, on rencontre ces nombres qui sont d’un emploi continuel pour tous les usages, de la vie, et qu’on abandonne bientôt dès qu’on pénètre plus avant dans l’algèbre. Après avoir étudié les diverses branches des mathématiques, on retrouve de nouveau, aux limites, pour ainsi dire, de la science, les nombres entiers et les fractions, dont certaines propriétés, fort difficiles à découvrir, constituent une sorte d’arithmétique transcendante, qu’on appelle théorie des nombres. ”

“ On pourra donc toujours ramener un rapport arithmétique à avoir zéro pour l'un de ses termes : il suffira pour cela de retrancher de chaque terme le plus petit d'entr'eux. On réduira plusieurs rapports arithmétiques au même antécédent, en ajoutant aux deux termes de chaque rapport la somme des antécédents de tous les autres rapports : on ne changera la valeur d'aucun rapport, puisqu'on ajoutera le même nombre à chacun de ses termes ; de plus chaque antécédent sera la somme de tous les antécédents primitifs. ”

“ Dans les calculs pratiques, on regarde souvent comme inutile d'obtenir pour résultat un nombre rigoureusement exact ; il suffit ordinairement d'obtenir le nombre demandé à moins d'une unité d'un ordre donné.
Plus souvent encore, un résultat parfaitement exact est non-seulement inutile, mais complétement impossible, faute d'une précision suffisante dans les données; alors on emploie des méthodes plus expéditives pour abréger le calcul des nombres décimaux, en supprimant les chiffres qui seraient ou superflus ou inexacts. ”

“ Dans l’addition de deux nombres (car toute addition se réduit proprement à celle de deux nombres) , l’un des deux nombres représente l’excès de la somme sur l’autre nombre. Dans la multiplication l’un des deux nombres est le rapport géométrique du produit à l’autre nombre. Voyez Somme, Produit.
A l’égard du détail des opérations particulieres de l’Arithmétique, il dépend de la forme & de l’institution des signes par lesquels on désigne les nombres. Notre Arithmétique, qui n’a que dix chiffres, seroit fort différente si elle en avoit plus ou moins ”

“ Lorsqu'on supprime un ou plusieurs chiffres à la droite d'une fraction décimale, en laissant le dernier chiffre conservé invariable ou en l'augmentant d'une unité, l'erreur relative que l'on commet, est toujours moindre qu'une unité décimale d'un ordre égal au nombre des chiffres conservés, à partir du premier chiffre significatif, moins un. ”

“ Les progrès de l’Arithmétique ont été plus lents que ceux de l’Algèbre et de l’Analyse, et il est aisé de comprendre pourquoi. Le sentiment de la continuité est un guide précieux qui fait défaut à l’arithméticien ”

“ Lorsque le numérateur de la fraction qui exprime l'approximation, est égal à l'unité ; la règle se réduit alors a multiplier par le cube du dénominateur de cette fraction le nombre entier ou la fraction proposée ; à extraire la racine cubique du produit à moins d'une unité, et à diviser cette racine par le dénominateur qui marque l'approximation. ”

“ Pour multiplier les parties décimales, on observera la même règle que pour les nombres entiers, sans faire aucune attention à la virgule; mais, après avoir trouvé le produit, on en séparera sur la droite, par une virgule, autant de chiffres qu'il y a de décimales, tant dans le multiplicande que dans le multiplicateur. ”

“ L'arithmétique comprend l'art d'effectuer les opérations auxquelles les nombres donnent naissance et l'étude de leurs propriétés; mais cette seconde partie sera réduite, dans ce traité, aux propositions fondamentales qui peuvent faciliter ou abréger les opérations.
NUMÉRATION DÉCIMALE.
Définition des nombres entiers.
7. Les nombres entiers sont ceux qui expriment l'unité ou la réunion de plusieurs unités. Leur étude constitue la partie
principale de l'arithmétique, car c'est toujours sur des nombres entiers que se font, en dernière analyse, les opérations. ”

“ Si elle se fait exactement, le quotient doit toujours être un nombre impair. S'il y a un reste, le quotient et le reste doivent toujours être d'espèce différente — Conséquence — COMMENT une personne qui ne connaît aucune des règles de l'arithmétique, ni les tables d'addition et de multiplication, mais seulement les termes techniques, et par habitude, les nombres pairs et impairs, à la vue de leur expression vulgaire en chiffres, FEUT-ELLE juger, d'un coup d'œil, s'il y a CERTITUDE ou NON que la division PAR considérable qu'un ARITHMÉTICIEN du 1 "ordre vient d'effectuer est FAUSSE'? ”

“ Pour convertir un nombre entier en parties d'une espèce donnée, on multiplie le nombre entier par le dénominateur qui indique l'espèce des parties, et l'on prend le produit pour numérateur de la fraction. ”

“ C'est un très-bel exemple que Mlle Lili et M. Toto donnent là à tous les enfants de leur connaissance, qui, nous l'espérons, seront très-nom- breux.
L'addition, la soustraction, la multiplication et la division sont la base de toute l'arithmétique; il n'y a pas, à proprement parler, d'autres opérations; mais les usages à en faire sont infinis. La science du calcul n'est pas moins curieuse et intéressante qu'elle est utile. Elle s'applique à tout, et jamais on n'aura fini d'y faire des découvertes. ”

“ Nous avons, dans les chapitres précédents, appris à combiner les nombres par addition, soustraction, multiplication, division; à les élever à des puissances ; à en extraire des racines. C'est à cela que se borne l'Arithmétique. Lorsqu'on propose un problème, c'est-àdire, lorsqu'on demande de trouver une quantité inconnue qui remplisse certaines conditions, si les données (a) de ce problème sont exprimées par des nombres, il faut, pour trouver la quantité demandée, combiner ces nombres de différentes manières. L'Arithmétique enseigne les moyens de faire ces combinaisons ”