Philippe André

“ Démontrer que si une fraction a un même nombre de chiffres à son numérateur et à son dénominateur, on peut écrire un certain nombre de fois de suite le numérateur, et autant de fois le dénominateur, la fraction qui en résulte a même valeur que la précédente. ”

“ Théorème. — Tout nombre est divisible par 11, lorsque la différence entre la somme de ses chiffres de rang impair, à partir de la droite, et la somme de les chiffres de rang pair est zéro ou un multiple de 11.
La démonstration de ce théorème peut être divisée en trois parties : 1° L'unité suivie d'un certain nombre de zéros est un multiple de 11 plus ou moins 1, selon que le nombre de zéros est pair ou impair. ”

“ Lorsque les erreurs du dividende et du diviseur sont de même sens, il n'est pas possible de connaître le sens de l'erreur du quotient; mais, en prenant toujours la somme'des erreurs relatives du dividende et du diviseur pour limite supérieure de l'erreur relative du quotient, on est certain de ne jamais être en défaut, puisque, d'après le théorème précédent, l'erreur relativedu quotient de deux nombres approchés ne dépasse jamais sensiblement la somme de leurs erreurs relatives. ”

“ Pour multiplier un nombre complexe par un nombre entier, on multiplie chaque partie du multiplicande, en commençant par les unités de la plus petite espèce, par le multiplicateur, en faisant les retenues comme dans l'addition. ”

“ L'assurance temporaire est un contrat par lequel la Compagnie, moyennant une prime unique ou annuelle, s'engage à payer une certaine somme au décès de l'assuré, si ce décès a lieu dans un espace de temps fixé par la police (1 an, 2 ans, 5 ans, etc.) Si l'assuré survit à ce nombre d'années, la Compagnie est libérée de ses engagements, et les primes payées lui demeurent aquises comme prix du risque qu'elle a couru.
Un commerçant, âgé de 35 ans, réalise chaque année de très-beaux bénéfices ; il espère que 10 ans lui suffiront pour créer le bien-être de sa famille. ”

“ Théorème II. — Si Verreur relative d'un nombre approché est moindre qu'une unité décimale donnée, on peut compter sur autant de chiffres exacts qu'il y a de zéros au dénominateur de la fraction décimale. ”

“ Pour trouver la racine carrée d'un nombre donné quelconque, entier ou fractionnaire, à un degré d'approximation marqué par une fraction ayant l'unité pour numérateur, on multiplie le nombre donné par le carré du dénominateur de cette fraction, on extrait la racine du produit à moins d'une unité près, et enfin on divise le résultat par ce même dénominateur. ”

“ On sait que, pour mesurer une grandeur, il faut chercher une commune mesure entre cette grandeur et l'unité. Par exemple, si la commune mesure est contenue 12 fois dans l'unité et 5 fois dans la grandeur à mesurer. Cette grandeur 5 égalant 5 fois le douzième de l'unité sera représentée par 12.
Or, il arrive bien souvent qu'il n'existe aucune grandeur, si petite qu'on puisse la supposer, qui soit contenue exactement dans la grandeur à mesurer et l'unité : on dit alors que la grandeur et l'unité n'ont pas de commune mesure, ou que la grandeur est incommensurable ”

“ Dans l'escompte en dehors, l'escompteur retient l'intérêt de toute la somme portée sur le billet, et donne le reste; il reçoit donc l'intérêt d'une somme plus grande que celle qu'il donne. Dans l'escompte en dedans, il garde juste l'intérêt de la somme qu'il donne. ”

“ Pour calculer l'intérêt pendant un nombre quelconque de jours, et à n'importe quel taux, il faut multiplier le capital par le nombre de jours et ensuite par le multiplicateur fixe correspondant, exprimé par une fraction ordinaire ou une fraction décimale. ”

“ Définition. — On appelle numération la partie de l'arithmétique qui apprend : 1° à former les nombres, 20 à les nommer, 3° à les écrire. Nous allons nous occuper successivement des trois parties dont se compose la numération.
12. Formation des nombres. — L'unité est un nombre (7) .
Si l'on ajoute l'unité à elle-même, on a un nouveau nombre; si à celui-ci on ajoute l'unité, on a le suivant, et ainsi de suite. Donc pour
avoir un nouveau nombre, il suffit d'ajouter l'unité à un nombre déjà obtenu. ”

“ On se propose alors de trouver le plus grand multiple du diviseur compris dans le dividende. L'excès du dividende sur ce plus grand multiple est ce qu'on appelle le reste, lequel est nécessairement plus petit que le diviseur. ”

“ La chaleur de fusion d'un corps est le nombre de calories que l'unité de poids de ce corps absorbe, par le seul fait de sa fusion, ou qu'il dégage quaud il passe de l'état liquide à l'état solide, sans que sa température change. ”

“ Lorsqu'un facteur a l'unité pour premier chiffre de gauchf, pour être certain d'avoir au produit l'approximation voulue, on prend ce facteur avec deux chiffres exacts de plus qu'on en désire obtenir au produit. ”

“ Avant d'extraire une racine, il est utile de faire passer un facteur sous le radical pour ne pas multiplier par un facteur extérieur l'erreur commise dans l'extraction de la racine. Ainsi, dans l'exemple V, les deux racines à extraire équivalent à 5^6, expression qui n'exige plus qu'une racine ; mais l'erreur commise sur g devant être répétée 5 fois, si l'on voulait obtenir 5 v^6 à moins de 0,001 près, il faudrait calculer V6 avec 4 décimales, tandis que si l'on calcule y/j 50 avec 3 décimales seulement, on aura le résultat à 0,001 près. ”

“ Théorème III. — La fraction ordinaire génératrice d'une fraction périodique mixte a pour numérateur la différence des nombres entiers que l'on obtient en transposant successivement la virgule après et avant la première période, et pour dénominateur un nombre formé d'autant de 9 qu'il y a de chiffres dans la période, suivis d'autant de * zéros qu'il y a de chiffres irréguliers. ”

“ En effet, chaque chiffre dans le second nombre représente des unités 100 fois plus grandes que dans le premier. Toutes les parties du premier nombre ont donc été rendues 100 fois plus grandes, donc le nombre lui-même a été rendu 100 fois plus grand.
Remarque. — Lorsque le nombre à multiplier ne contient pas assez de chiffres pour qu'il soit possible de faire l'application du théorème, on y supplée par des zéros. ”

“ Limite d'une quantité variable. — La limite d'une quantité variable est une quantité fixe dont la variable peut approcher indéfiniment sans jamais pouvoir l'atteindre. La différence entre la limite et la variable pourra donc être moindre que tout nombre donné, mais ne pourra jamais être nulle.
196. Théorème. — Toute fraction irréductible dont le dénominateur contient d'autres facteurs que 2 et 5, donne naissance à une fraction périodique si on la convertit en décimales. ”

“ Les arrérages ne se vendent pas ; autrement dit, avant de vendre un titre, on commence par toucher tous les termes échus; bien plus, quelques jours avant chaque époque de payement, on détache le coupon, ce qui veut dire que le plus prochain terme à échoir appartiendra encore au vendeur et non à l'acheteur. Pour celui qui consulte le cours de la Bourse, il n'y a jamais d'erreur possible, puisque pour le 3 0/0, par exemple, le cours du jour est accompagné de l'indication nette de l'époque à partir de laquelle court ou courra le droit de l'acheteur, c'est-à-dire son entrée en jouissance. ”

“ On appelle puissance d'un nombre un produit obtenu par la multiplication de plusieurs facteurs égaux à ce nombre. Ainsi 16 est la 4e puissance de 2, parce qu'il provient de 2x2x2x2. Le nombre des facteurs égaux indique le degré de la puissance.
La première puissance d'un nombre est ce nombre même : 5, par exemple, est la première puissance de 5. ”

“ Tout deposant qui, soit par lui-même, soit par un intermédiaire, opère un 1er versement fait connaître ses uom,. prénoms, qualités civiles, âge, profession et domicile.
Il produit son acte de naissance; il déclare s'il entend faire l'abandon du capital versé, ou s'il veut que ce capital soit remboursé, lors de son décès, à ses ayants droit; à quelle année d'âge accomplie, à partir de la 50e année, il a l'intention d'entrer en jouissance de la rente viagère. Les rentes viagères sont inscrites au Grand-Livre de la dette publique et sont payables par trimestre. ”

“ Remarque III. — La crainte d'avoir à faire trop de tâtonnements en essayant le quotient, comme le prescrit la règle, peut conduire à placer à la racine et à essayer un chiffre trop faible : on verra qu'il est trop faible, lorsque le reste dépassera 3 fois le carré de la racine trouvée, plus 3 fois cette même racine. ”

“ Un commerçant emprunte à un banquier; comme celui-ci ne prête pas au delà de 90 jours, le commerçant est obligé de renouveler son billet de trois mois en trois mois et de payer à chaque fois l'escompte, la commission et le timbre. On demande le taux réel pour 100 par an auquel le commerçant a emprunté. On sait qu'il a souscrit un billet de 1 200 fr., d'ailleurs le taux d'escompte a été de 6 0/0 et la commission 1/3 0/0. Il y a, en outre, le timbre de 2 fr. à payer. On supposera que les sommes avancées par ce commerçant, pour renouveler le billet tous les trois mois portent intérêt à 6 0/0. ”

“ Le minimum d'une première inscription est 5 fr. de rente; mais une fois qu'on a été inscrit sur le Grand-Livre, on peut ajouter à son titre 1 fr. de rente seulement, ou détacher 1 fr. de rente d'un titre plus considérable.
Toute rente sur l'État se compose toujours d'un nombre entier de francs. ”

“ De même, l'organisation ou la division du travail, qui consiste à donner constamment au même ouvrier la même partie d'un ouvrage, enlève toute proportionnalité entre l'ouvrage et le nombre des ouvriers.
Ainsi, un seul ouvrier pourrait à peine terminer 2 cartes à jouer par jour, s'il travaillait seul, et, 30 ouvriers travaillant ensemble pourraient en fabriquer plus de 15 000 par jour, c'est-à-dire au moins 500 cartes par chaque ouvrier.
Mais alors, en prenant le nombre 30 pour unité, un nombre 2 fois, 3 fois. plus grand produirait, par jour, 2 fois, 3 fois 1 5 000 cartes. ”

“ On sépare le 1 er chiffre à droite du nombre obtenu, et on divise la partie à gauche par le double du chiffre déjà trouvé à la racine. Le quotient est le 2e chiffre de la racine, ou un chiffre trop fort.
On essaye ce chiffre en l'écrivant à la droite du double de la racine; multipliant, le nombre ainsi formé, par ce chiffre, on obtient un produit qui doit pouvoir être retranché du nombre formé par le 1er reste et la 2e tranche. Si la soustraction est possible, le chiffre essayé est bon, si elle ne l'est pas, le chiffre est trop fort; on essaye alors le chiffre inférieur d'une unité. ”

“ Quelle que soit la méthode que l'on suive pour rechercher les facteurs premiers d'un nombre, on arrivera toujours au même résultat, puisqu'un nombre n'est décomposable que d'une seule manière en ses facteurs premiers. ”

“ Immédiatement après le battage, un fermier vend la plus grande partie de sa récolte en blé pour 6583f,50, à raison de 28 fr. les 100 Kg. On demande, en hectares, ares et centiares, la surface du terrain qui a produit cette quantité de froment, sachant qu'un hectare de terre a donné 20 hl. et que l'hectolitre pèse 75 Kg.
166. 800 Kg de bois ordinaire ne produisent pas plus de chaleur que 300 Kg de houille. Dans une maison où l'on brûle 20 stères de bois par an, quelle économie pourrait-on faire en brûlant de la houille à 3f,50 les 100 Kg, au lieu de bois à 12 fr. le stère du poids de 380 Kg? ”

“ Quand un nombre n'est pas un cube parfait, sa racine à une unité près, ou simplement sa racine, est la racine du plus grand cube contenu dans ce nombre.
Ainsi 36 étant compris entre 27 et 64, le plus grand cube qui soit contenu dans 36 est 27, dont la racine est 3. La différence entre le nombre proposé et le plus grand cube qu'il contient est ce qu'on appelle le reste; le reste est dans ce cas 36-27 ou 9.
Remarque II. — Un cube parfait peut être terminé par l'un quelconque des 9 chiffres. ”

“ Pour opérer la distillation des 100 Kg, il faut brùler 12k,5 de bois, et la main-d'œuvre est plus considérable que pour la carbonisation en meules, mais en admettant, ce qui a lieu à peu près, que cet excès de dépense pour la main-d'œuvre soit payée par les produits volatils, combien gagnerait-on en distillant 2000 stères de bois pesant chacun 350 Kg? On sait d'ailleurs que la carbonisation en meules ne donne souvent que 21 pour 100 en poids, que le mètre cube de charbon pèse 210 Kg et vaut 14 fr. ”

“ En procédant comme l'indique la règle du n° 409, on remarque que toutes les fois qu'il s'agit de calculer des intérêts pour un certain nombre de jours, on trouve une expression qui a toujours pour dénominateur le seul produit 100 X 360 ou 36000. ”

“ Preuve. — On multiplie le diviseur par le quotient et en ajoutant le reste au produit, on doit retrouver le dividende. Cette preuve est basée sur la définition de la division.
76. Usages. — On fait une division : 1° Quand on veut partager un nombre en autant de parties égales qu'il y a d'unités dans un autre; 2° Quand on connaît la valeur de plusieurs objets, celle d'un seul, et qu'on désire trouver le nombre d'objets; 3° Quand on veut connaître la valeur d'un objet, connaissant le nombre et la valeur d'un nombre d'objets semblables ; 4° Quand on veut rendre un nombre tant de fois plus petit ”

“ Un grand nombre de questions dépendent de la soustraction.
On emploie cette opération pour calculer : 1° La perte ou le bénéfice fait sur une vente; 2° Ce que l'on redoit, après avoir donné un à-compte; 3° Ce que l'on possède encore, après avoir fait une certaine dépense; 4° Ce qui reste en magasin, après avoir vendu une partie des marchandises; 50 Le temps écoulé entre deux dates ; G0 Enfin, comme l'indique la définition, on emploie la soustraction toutes les fois que la question consiste, ou peut se ramener, à chercher un reste, un excès ou une différence. ”

“ On demande à quel taux cette personne place son argent, en tenant compte, d'une part, de l'intérêt à 5 des sommes versées avant le 1er septembre, et de l'autre, de l'avantage que présente le payement de la rente par semestre.
(*) « L'ivraie d'Italie , ou ray-grass d'Italie , également propre à tous les climats de l'Europe, ne donne de bons produits que dans les sols argileux, ou de consistance moyenne, substantiels, fertiles, frais en été, ou pouvant être arrosés. Le rendement moyen en hectare est d'environ 8 000 kg. — MM. Girardin et Dubreuil. » ”

“ On comprend qu'en général 2, 3, 4. fois plus de mètres coûteront 2, 3, 4. fois plus. Le prix des mètres varie donc dans le même rapport que le nombre de ces mètres. Le nombre de mètres et leurs prix sont alors deux quantités directement proportionnelles.
Ex. II. — Le travail fait par un ouvrier est proportionnel à la durée du temps employé.
Ex. III. — Le combustible consommé par une machine est proportionnel au temps pendant lequel elle a fonctionné.
Ex. IV. — L'ouvrage fait par des ouvriers est proportionnel à leur nombre. ”

“ Pour la former, on écrit d'abord le diviseur 1 qu'on multiplie par le premier facteur 2; on écrit le produit au-dessous de ce diviseur. On trouve de même tous les autres diviseurs en multipliant, chaque fois, tous ceux que l'on a déjà par le facteur premier qui suit. On omet, d'ailleurs, d'écrire deux fois le même produit.
124. Théorème VI. — Le nombre total des diviseurs d'un nombre est égal au produit des exposants de ses facteurs premiers augmentés chacun d'une unité. ”