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“ Lorsqu’on a voulu exprimer ces théorèmes et ceux qui concernent les nombres, quelques signes, dont la signification ne pouvait être équivoque, ont suffi pour représenter avec précision des idées d’une exactitude parfaite. Dès leur naissance, les sciences mathématiques ont offert à l’esprit humain l’entière réalisation de ce type du vrai, objet de ses plus chères affections. ”

“ Au contraire, nous qui reconnaissons, jusque dans la pensée, de la quantité, de la puissance d’être, et une puissance d’être que l’acte de pensée n’épuise jamais, nous comprenons que la pensée ait rapport à la quantité et à l’être indéterminé, c’est-à-dire à l’étendue qui exprime l’être sous l’aspect de la quantité et de l’indétermination. ”

“ L'homme les a-t-il reçues toutes faites de quelque puissance mystérieuse? Ou quelques sages les ont-ils inventées, en assignant certaines lettres à certaines phases de la pensée, de même que les mathématiciens expriment les quantités par des signes algébriques, auxquels ils donnent une valeur arbitraire? ”

“ Si, par des progrès qui semblent encore aujourd’hui au delà de toutes espérances raisonnables, la langue des calculs devenait applicable à des questions morales, politiques, métaphysiques, ou à celles qui, tenant davantage à notre manière de sentir, composent le domaine du goût, la ressemblance des formules rendrait évident que des objets si divers ont entre eux la ressemblance que leur impriment les lois de l’être. ”

“ je réfléchis d’abord, je tâche avant tout de trouver l’idée générale de l’affaire, si je peux m’exprimer ainsi. Puis j’imagine une hypothèse raisonnable, logique, en accord avec cette idée générale. Et c’est après, seulement, que j’examine si les faits veulent bien s’adapter à mon hypothèse. ”

“ Ces principes sont dans mon essence. Je les y ai trouvés imprimés sans doute par la main du premier des êtres. Ils me forcent, en quelque sorte, de me conformer à leurs inspirations. ”

“ Elle exprime que, si l’on peut découper dans l’univers des systèmes pour lesquels le temps n’est qu’une abstraction, une relation, un nombre, l’univers lui-même est autre chose. ”

“ Quoi qu’il en soit, et indépendamment de toute opinion sur les moyens pratiques, l’égalité, la justice n’en restent pas moins toujours ce qu’elles sont, la vérité n’en est pas moins la vérité, et l’intérêt du capital illégitime en droit, absurde et monstrueux en principe, spoliateur en fait, commande l’anathème de tous les hommes de bien, la malédiction des races opprimées, et la juste indignation de quiconque porte une âme généreuse et pleine de sympathie pour tout ce qui souffre et pleure. ”

“ Il est aussi impossible d’associer le travail et le capital, que de produire sans travail et sans capital ; — aussi impossible de créer l’égalité par le pouvoir, que de supprimer le pouvoir et l’égalité, et de faire une société sans peuple et sans police. ”

“ Si vous saviez à quel point l’unité est devenue une passion profonde au cœur de l’Allemagne ! Depuis le jeune homme qui se passionne pour les abstractions orgueilleuses de la philosophie jusqu’à la jeune fille qui, d’une voix basse, répète un lied ému, tous désirent, appellent, attendent l’unité de la patrie. Dans le peuple, ce sont des légendes qui expriment le sentiment commun. ”

“ Si par absolu on entend le certain, alors certainement je crois à l’absolu et je l’affirme, puisque je crois à des idées certaines, à des idées d’une certitude absolue, telles que les vérités mathématiques, la loi de série, la succession du temps, le rapport de causalité, la notion d’équilibre, etc. Si par absolu on entend encore l’universel, je réponds encore que je suis partisan de l’absolu, puisque je crois à des idées universelles, puisque j’admets, comme l’on dit, des universaux et des catégories, auxquelles j’attribue une vérité également objective et subjective ”

“ Le nombre et la nature de nos idées absolues sont donc déterminées par le nombre et la nature de nos catégories essentielles.
Pour ce qui est de leur formation, nous croyons qu’elles naissent de notre réflexion sur le caractère de notre activité intellectuelle. Voici comment nous l’entendons. Nous constatons que toutes nos catégories essentielles : être, relation, qualité, quantité, sont limitées et dépendantes, en un mot déterminées ; vivre c’est le constater, car nous ne vivons que par le secours d’un milieu qui nous borne. ”

“ L’un et l’autre sont eux-mêmes, pour employer le style des mathématiques, des fonctions dans un plus vaste ensemble, qui est le développement complet de la conscience du monde se faisant par l’humanité. ”

“ Le monde, dit le Sage, a été fait avec nombre, poids et mesure ; tout ce qu’il contient est pesé dans la balance, c’est-à-dire soumis à l’égalité. Cherchez un fait, un seul, dont la loi ne soit pas un accord, une symétrie, une harmonie, une équation, un équilibre, en un mot l’égalité ? il existe un ordre de connaissances créé à priori, et qui, par un accord admirable, se trouve régir à la fois les phénomènes de la nature et ceux de l’humanité : ce sont les mathématiques. ”

“ Vous rencontrez d’abord les faits les plus simples, qui sont aussi les plus généraux : ce sont ceux auxquels s’attachent les mathématiques. Aux yeux de l’algébriste, la nature n’est qu’un système de grandeurs ; c’est le plus haut degré où l’abstraction puisse monter. Depuis les premiers tâtonnemens de la science mathématique au berceau jusqu’aux sublimes inventions des Descartes, des Leibnitz, des Lagrange, jusqu’aux merveilles du calcul infinitésimal et du calcul des variations, l’objet a toujours été le même : déterminer des grandeurs. ”

“ On démontre une sans se soucier de ce qu’elle dit
126. Jusqu’à présent, sauf peu d’exceptions, je me suis contenté de vous persuader (par l’intuition immédiate, par des exemples, par la vision de figures, par le souvenir de vos expériences, par la facilité d’en faire de nouvelles) de la vérité des logiques que je vous ai énoncées ; c’est-à-dire que j’ai fait de l’empirisme logique, ainsi que l’on fait de l’empirisme mathématique dans les écoles primaires. ”

“ Nous voyons donc comment toutes nos catégories, être, quantité, relation, qualité, deviennent absolues, dès que nous considérons en chacune d'elles l'ensemble des déterminations qu'elle comporte, en un mot son tout. Mais nous pouvons aller plus loin et concevoir, sans les imaginer, toutes les catégories de l'univers, y compris celles qui, n'étant pas les nôtres, ne nous sont pas connues; nous pouvons concevoir le tout de chacune, c'est-à-dire son absolu, et enfin la somme des absolus ou le Grand Tout. ”

“ PLUS HAUT Vous apprenez les principes des sciences, soit mathématiques, soit physiques, qui contiennent les lois de la nature : ce n’est pas proprement pour en connaître l’usage matériel : c’est surtout pour apprendre et vérifier que tout dans la nature est nombre, proportion, harmonie : c’est, davantage encore, pour acquérir, en considérant les nombres qui constituent les corps, une plus pleine conscience de ces autres nombres que notre âme renferme, et par lesquels elle juge ceux du dehors, comme l’ont dit Platon et Shaftesbury ”

“ On trouve deux représentations du nombre par la forme dans lesquelles est positif, savoir, qui donnent pour l’expression proposée les valeurs et comme n’est pas représentable par la forme il s’ensuit qu’il n’y a que les deux valeurs que nous venons de trouver. ”

“ Les notions mathématiques ont dans l’esprit une réalité absolue. De ces idées simples, nous concluons rigoureusement toutes les propriétés du nombre et de la forme, jusqu’aux plus fines et aux plus complexes. ”

“ Vous trouvez naturel, Messieurs, que la parole vous révèle les mathématiques, bien que vous les possédiez tout entières dans les notions primordiales d'unité, de nombre , d'étendue , de pesanteur : pourquoi vous semblerait-il étrange que la parole vous fit apercevoir aussi les notions d'unité, de nombre, d'étendue, de pesanteur, qui sont la base des mathématiques ? L'un des phénomènes n'est pas plus singulier que l'autre ”

“ Faites deviner ou remarquer les autres propriétés, sans les démontrer, c’est-à-dire sans les déduire de la propriété fondamentale. Les nouvelles propriétés sont seulement constatées et vérifiées. — 6o Terminez enfin par les constructions et les problèmes simples, se rattachant à la figure soumise à vos investigations.
On peut enseigner d’abord une algèbre modeste et, pour ainsi dire, préliminaire, où les règles découlent d’exemples particuliers et non de raisonnements généraux et abstraits. Voici les indications principales pour un enseignement dirigé dans cet esprit. ”

“ Mais, pour compléter la formule fondamentale, il suffit, en premier lieu, de placer, au début de ce vaste ensemble, la science mathématique, seul berceau nécessaire de la positivité rationnelle, aussi bien pour l’individu que pour l’espèce. ”

“ Les mathématiques elles-mêmes, bien que n’apprenant rien sur la réalité, fournissent des moules précieux pour la pensée, et nous présentent, dans la raison pure en action, le modèle de la plus parfaite logique. Mais je ne veux pas insister plus longtemps sur des choses que je ne connais pas d’une manière spéciale, et je reviens à mon idée fondamentale d’une philosophie critique. ”

“ Lorsque les études distinctes qui composent les mathématiques auront, chacune, été traitées comme un tout logique, comme le développement naturel des propositions qui leur servent de principes, l’étudiant sera à même de comprendre la science fondamentale qui unifie et systématise l’ensemble du raisonnement déductif. ”

“ Si, pour se servir des mots humains, quelque chose qui soit démontrée ici-bas, vous semble infinie, soyez certain d’y entrevoir une des faces de Dieu. Poursuivons. Vous vous êtes approprié une place dans l’infini du Nombre, vous l’avez accommodée à votre taille en créant, si toutefois vous pouvez créer quelque chose, l’arithmétique, base sur laquelle repose tout, même vos sociétés. De même que le Nombre, la seule chose à laquelle ont cru vos soi-disant athées, organise les créations physiques ; de même l’arithmétique, emploi du Nombre, organise le monde moral. ”

“ Le mérite des modernes, en ce qui concerne ces phénomènes, c'est de les avoir pris au sérieux et d'avoir cherché à les étendre et à en faire des applications utiles, au lieu de les ranger, comme avaient fait les anciens, au nombre des faits curieux, à la vérité, mais n'ayant ni portée scientifique, ni valeur utilisable. ”

“ La série est la loi qui nous permet de distinguer, de mesurer le fini dans l'infini, la forme dans le fond; c'est la méthode par excellence d'analyse et de synthèse, d'après les relations naturelles, les attractions ou les affinités des êtres, des faits, des objets. ”

“ Est-ce qu'on prouve quoi que ce soit en dehors des mathématiques? Mais les choses les plus crues sont les moins démontrées et les moins démontrables! Toucher, convaincre, entraîner, voilà ce qui importe. ”

“ Le dilemme de l’infini porte sur l’application de la logique de la quantité à l’ordre universel des phénomènes dans l’espace et dans le temps. Les rapports de l’unité au nombre, et des parties au tout, sont-ils applicables partout oh l’on peut regarder une existence réelle comme constituée, en extension ou en composition ? ”

“ Je forme des voeux afin qu'un jeune homme qui manifeste une aussi grande puissance de calcul, applique cette rare faculté a élever de plus en plus son intelligence et pour devenir un des ornements de la science et de son pays. ”

“ Maintenant que nous avons démontré que tout nombre premier de la forme positif ou négatif, est toujours non-résidu d’un nombre premier au moins plus petit que lui, nous allons passer à l’examen exact et général de la condition nécessaire pour qu’un nombre premier soit résidu ou non-résidu d’un autre. ”

“ Heureusement, la connaissance de la loi du progrès permet de plonger dans le passé le plus reculé et d'entrevoir l'avenir le plus éloigné. de même qu'en mathématiques, la connaissance de quelques termes d'une progression suffit pour calculer tous les termes qui précèdent et tous ceux qui suivent. ”

“ Pourquoi n’en est-il pas pour tous les êtres dont il y a des idées, comme pour les êtres mathématiques ? Voici ce que j’entends par là. On fait des êtres mathématiques des intermédiaires entre les idées et les objets sensibles, une troisième espèce d’êtres, en dehors des idées et des êtres qui tombent sous nos sens. ”

“ Nous avons, en effet, établi, en principe philosophique, que le système des études mathématiques constitue nécessairement la véritable origine spontanée de l'art général du raisonnement positif, dont l'esprit humain ne pouvait réaliser complètement le libre développement qu'à l'égard des recherches à la fois les plus générales, les plus abstraites, les plus simples, et les plus précises. ”

“ Pourquoi chercher à rire des anciens qui regardaient les nombres comme le principe universel ? L’étendue, les forces, la durée, toutes les propriétés des choses naturelles ne suivent-elles pas les lois des nombres ? Ce qui est à la fois réel et mystérieux n’est-il pas ce qui nous avance le plus dans la profondeur des secrets de la nature ? ”

“ Qu’on mesure d’après cela la puissance de raisonnements bien mieux conduits qui, sous les titres de métaphysique ou de théologie, font comparaître les mots les plus riches, les plus émouvants, les plus ambigus de tous. Contre quoi une étude exacte de la logique pure, et une réflexion attentive sur les preuves du mathématicien est la meilleure précaution. ”

“ La haute perfection relative de l'analyse mathématique, comparée à toutes les autres branches de nos connaissances positives, se conçoit avec la même facilité, quand on a bien saisi son vrai caractère général. ”

“ Si nous plaçons au début de chaque problème une convention explicite, tout ira bien, nous n’aurons plus qu’à appliquer les règles de l’arithmétique et de l’algèbre et nous irons jusqu’au bout du calcul sans que notre résultat puisse laisser place au doute ”

“ La science des nombres me paraît également fort essentielle pour tirer des conséquences justes et apprécier avec vérité la valeur positive de sa propre position , de ses besoins et de ses désirs , en les rapprochant des positions', des besoins et des désirs de tous les êtres qui nous entourent. ”

“ Il faut connaître aussi ce que c’est que perfection, dont voici une marque assez sûre, savoir que les formes ou natures qui ne sont pas susceptibles du dernier degré, ne sont pas des perfections, comme par exemple la nature du nombre ou de la figure. ”