Progression arithmétique

“ Ici nous faisons des multiplications proprement dites, et la progression croissante géométrique est sensiblement analogue à la progression croissante arithmétique. Il sera tout aussi facile de se convaincre que la progression géométrique décroissante s'engendre par une division, comme la progression arithmétique décroissante s'engendre par une soustraction. ”

“ L'Astronomie y trouve des ressources infinies ; & la Géométrie, ne peut presque s'en passer.
La commodité du calcul, & celle que donne le choix d'une Progression arithmétique quelconque, a fait préferer à toute autre, la progression décimale ; c'est-à-dire, celle ou chaque nombre est décuple de celui qui le précéde : & nous donnons à la progression arithmétique, une fuite immédiate des nombres naturels, commençant par zéro. Ainsi, 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9, &c. Et par ce moyen, le Logarithme de 1, est zéro ”

“ On ne peut faire de question résoluble par la progression arithmétique, qui ne soit résolue d’avance par quelqu’une de ces formules.
On peut comparer deux progressions, les ajoûter, les soustraire ; & c’est quelquefois un moyen facile de résoudre certaines questions plus compliquées. Au reste il suffit d’exécuter ces opérations sur les premiers termes & sur les différences des progressions proposées ; la nouvelle progression qui en résulte représente la somme ou la différence des deux premieres. ”

“ Par exemple, si a et b désignent deux termes consécutifs d'une progression par quotient ou par différence, et que l'on insère entre a et b, trois moyens, puis ensuite cinq moyens, de manière à former les progressions a, Ai, A2, A3, b, a, Bi, B2, B3, B4, B5, b.
Si l'on insère ensuite 23 moyens (c'est-à-dire 4x6—1) on formera une progression nouvelle dans laquelle Ai, A2, A3 figureront aux rangs 6, 12 et 18, et Bi, B2, B3, B,, Bs aux rangs 4, 8, 12, 16 et 20. ”

“ On entend par progression une suite de nombres allant toujours en augmentant ou en diminuant de la même quantité. Mais, comme cette suite de nombres peut aller en augmentant par voie d'addition ou de multiplication, de même qu'elle peut aller en diminuant par voie de soustraction ou de division, il en résulte que l'on doit distinguer deux sortes de progressions ; savoir : les unes , progressions par différence, et les autres, progressions par quotient. ”

“ Prenons la différence entre les termes correspondants 8b et 5b de la progression arithmétique; il faut retrancher 5 fois b de 8 fois b; la différence 5b est aussi un terme de la progression arithmétique.
On voit que l'exposant du quotient a3 est égal au multiplicateur de la différence 3b, donc le quotient et la différence se correspondent dans les deux progressions.
Divisons généralement am par a" (m étant supposé plus grand que n) , et retranchons bXn de bXm; le quotient am-n et la dif- férence b X (m-n) se correspondent dans les deux progressions. ”

“ Quand on considère deux progressions, l'une par différence commençant par 0, l'autre par quotient commençant par l'unité, les termes de la progression par différence sont nommés les logarithmes des termes de même rang dans la progression par quotient.
REMARQUE. Le logarithme d'un nombre considéré isolément, est tout à fait arbitraire. Si l'on demande : quel est le logarithme de 3? cette question n'a aucun sens tant que l'on n'a pas choisi les progressions qui définissent le système dont on veut parler. ”

“ Lorsqu'on sait additionner les nombres qui sont en progression décuple, peut-on trouver quelque difficulté à faire l'addition des nombres qui sont en progression sous-décuple? n'est-il pas évident qu'on doit ajouter des dixièmes à des dixièmes, des centièmes à des centièmes, de la même manière qu'on ajoute des dizaines à des dizaines, des centaines à des centaines ? ”

“ La dépense des 200 ouvriers est donc de 297 par jour; et par conséquent (en divisant par 200) chaque ouvrier revient, l'un portant l'autre, à environ t f 49c par jour. Les autres questions de cette espèce sont si faciles à résoudre d'après cet exemple, que nous croyons à propos de ne pas insister sur cette matière.
Des Progressions arithmétiques.
204. La progression arithmétique est une suite de termes dont chacun surpasse celui qui le précède, ou en est surpassé, de la même quantité. ”

“ Legendre a nouvellement exposé sa démonstration dans un excellent ouvrage intitulé : Essai d’une théorie des nombres, p. 214 et suiv., mais cependant de manière à n’y rien changer d’essentiel, ensorte que cette méthode est encore sujette à toutes les objections que nous avons faites no 297. Il est vrai que le théorème (qui sert de base à une supposition) que dans toute progression arithmétique on trouvera des nombres premiers, si et n’ont pas de diviseur commun, a été exposé avec plus de détail dans cet ouvrage, p. ”

“ Soit une progression décroissante, ayant pour raison un nombre q inférieur à l'unité : fi a : b : c : d. : k : l : m Les termes
s s 1 formeront une progression croissante ayant pour raison -; car q des égalités b = aq, C = bq, d = cq , on déduit
Il résulte donc du théorème précédent, que les fractions, y, — peuvent devenir aussi grandes, et par suite, leurs dénominateurs k, l, rn, aussi petits qu'on le voudra. ”