Jean-Edme Gallimard

“ Voici une façon d'opérer pour la multiplication, qui pourroit être plus accommodante aux personnes peu versées dans le calcul, que celle que l'on a toujours employée jusqu'ici, où sans faire aucune multiplication, on parvient à la même résolution. ”

“ Il ne s'agit plus maintenant, que d'appliquer ces fractions aux Regles de l'Arithmétiques. Elles y sont presque les mêmes, que celles des entiers. Premierement à l'égard de l'addition, & de la soustraction, on arrange de la même maniere, les uns fous les autres, les chiffres d'un même rapport; c'est-à-dire, les primes sous les primes ; les secondes, fous les secondes ; les tierces, fous les tierces, &c ; & l'on porte dans l'addition le nombre de dixaines, qui se trouve dans une colonne de chiffres, à la colonne subséquente, qui
lui sont autant d'unitez. ”

“ La preuve de la multiplication se fait aussi par la division du produit C, par le multiplicande A, dont le quotient est B ; mais ce n'est pas ici le lieu de la donner ainsi.
DE LA DIVISION. La Division est une opération, par laquelle on cherche, combien un nombre contient de fois un autre nombre ; par exemple, combien ce nombre 288, contient de fois 36 ? La somme à diviser se nomme, le Dividendes le nombre qui divise ; ici 36, le Diviseur ;
& le nombre 8 , qui marque combien de fois le diviseur 36 est contenu dans le dividende, se nomme le Quotient. ”

“ L'exemple qui suit en fait une méthode générale qui servira de modéle pour toutes les multiplications que l'on voudroit ainsi simplifier : 1°. C'est de poser le multiplicande, ou nombre a multiplier A, précédé d'au-tant de zéros, que le multiplicateur B, a de chiffres ; ici de 4 zéros ; ce nombre C, que l'on efface, ainsi posé produit le même effet, que si l'on avoit
multiplié A, par 10000 ”

“ Un nombre quelconque multiplié deux fois par lui-même ; ainsi, 8x8x8 512, & 73 x 73 x 73 389017, sont des nombres cubes ; & les nombres, 8, & 73, qui les ont produits, s'appellent, Racines cubiques. C'est proprement une superficie quarrée, multipliée par l'un de ses côtez égaux ; lequel est également la Racine du quarré & du cube, dont il est l'origine.
La Table qu'on voit ici contient dans son premier rang paralléle, les neuf premiers chiffres des nombres naturels : dans le second rang, leurs quarrez : & leurs cubes, dans le troisiéme rang ”

“ Cette question ne sauroit se résoudre, que par deux Regles de Trois : l'une inverse, ou supposant que 25 hommes, travaillant 9 heures par jour, ont employé 8 jours, à faire 36 toises d'ouvrage ; on demande, combien de jours employeront 15 hommes, à 8 heures de travail par jour, pour faire la même quantité d'ouvrage : où il est aisé de s'appercevoir, qu'un moindre nombre d'hommes (puisque 15 < 25) , travaillant aussi moins d'heures par jour, doivent être plus de tems à finir le même ouvrage, que les autres n'ont été. ”

“ Lorsque le numérateur, & le dénominateur d'une fraction sont des nombres quarrez, sa racine est une fraction, dont le numérateur est la racine du numérateur, & le dénominateur, la racine du dénominateur ; c'est-à-dire, que la racine quarrée de ^, est \ ; que celle de ~ est ; &c. Et lorsque ces radicaux ne sont pas des nombres entiers, & qu'ils forment de grands nombres ; tels que : où il s'agiroit d'en extraire la racine quarrée par approximation ”

“ II. PROBLÉME. Titius a prêté à Moevius 16000#, à condition qu'il lui rendroit cette somme, avec les intérêts au denier 20, en un certain nombres d'années, & de payemens égaux, d'année en année. Quels seront ces payemens égaux ?
Je nomme indéterminemment n, le nombre des années ; par la raison que la proposition est
générale, & qu'on peut faire entrer dans la condition du prêt, le nombre d'années que l'on voudra. ”

“ Je dis à cet égard ; que pour extraire la racine d'un nombre cube, il faut, 1°. Chercher la racine du cube le plus approchant du nombre de la premiere tranche ; & poser cette racine, au quotient ; & son cube, C, sous cette premiere tranche ; de laquelle on le retranche. Ce qui reste, G, (1re. 2e. & 3e. Regle) , fait un nouveau dividende, pour le 2e. chiffre du quotient, qu'il s'agit de trouver. 2°. II faut prendre les 3 quarrez de ce qui a été posé au quotient, & que l'on écrit à part* ; & le multiplier par un nombre tel, que le nombre F, qui en reviendra ”

“ Un nombre quarré quelconque, qui a plusieurs chiffres en sa racine, est composé des quarrez de chacun de ces chiffres : plus deux fois le produit du premier par le second , s'il a deux chiffres en sa racine : plus deux fois le produit des deux premiers par le troisiéme, s'il a trois chiffres en sa racine : plus deux fois le produit des trois premiers chiffres, par le quatriéme, s'il a quatre chiffres en sa racine : & enfin, plus deux fois le produit des quatre premiers chiffres, par le cinquiéme, si la racine de ce nombre doit avoir cinq chiffres, &c
Par ce qui a été dit, (N°. 173.) ”

“ L'Astronomie y trouve des ressources infinies ; & la Géométrie, ne peut presque s'en passer.
La commodité du calcul, & celle que donne le choix d'une Progression arithmétique quelconque, a fait préferer à toute autre, la progression décimale ; c'est-à-dire, celle ou chaque nombre est décuple de celui qui le précéde : & nous donnons à la progression arithmétique, une fuite immédiate des nombres naturels, commençant par zéro. Ainsi, 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9, &c. Et par ce moyen, le Logarithme de 1, est zéro ”

“ Ici on ne peut multiplier l'ouvrage que fait chaque ouvrier en particulier, par le nombre des jours qu'il y employe : car 6 toises que le premier ouvrier fait en 3 jours, ne sont pas la même chose, que 3 fois 6, ou 18 toises en un jour ”

“ Si la seconde puissance doit avoir trois chiffres en sa racine : comme en la seconde Régle ; il saut faire ensorte, que cet assemblage K, donne le nombre le plus approchant qu'on ait pu trouver, du nouveau dividende G, sous lequel on le pose : puis on l'en retranche. ”

“ Ici la Division est exacte, ou le diviseur, 3d, se trouve 8 fois précisément dans le dividende, 288. Ainsi 36 x 8 = 288 ; mais où il arrive que cette précision ne se rencontre pas ; comme ; par exemple, si l'on avoit à diviser ce nombre 257, par 28, qu'il contient 9 fois, plus un reste 5 ; ainsi 28x9+ 5 = 2 57 ; alors on réduit ce reste 5, en ses parties ; si c'est 5H, en 100lb, que l'on divise de même par 28, qui s'y rencontre 3 fois, plus un reste ; c'est-à-dire, 16^\ qui ne pouvant se diviser par 28, doit être réduit en deniers, en multipliant 16^ par 12. ”

“ Qu'une toise multipliée, soit par un pied, par un pouce, ou par une ligne, n'est autre chose qu'une superficie plane ; d'une toise de long sur un pied de large ; d'une toise de long, sur un pouce de large ”

“ Ce bois se mesure de même que celui de charpente ; c'est-à-dire, qu'on mesure d'abord sa longueur, & qu'ensuite on prend sa grosseur, ou son diametre vers le milieu ; parce qu'un arbre est toujours plus menu par le haut, que par le bas ; & l'on donne la valeur de ce diamtre, à chacune des dimensions de l'équarrissage. Ainsi si le diametre étoit un pied 3 pouces; les deux dimensions de l'équarrissage, auroient chacune un pied 3 pouces : après quoi, on feroit le calcul, comme nous l'avons enseigné, ci-dessus.
EXEMPLE.
Une piece de bois a 5 toises, 3 pieds, 6 pouces de longueur ”

“ J'espere néanmoins donner, à la suite, quelqu'autres Méthodes, qui en ouvriront encore mieux la voye, après que je les aurai suffisamment méditées, pour rendre de même facile ce genre d'étude ; ce qui ne laisse pas d'avoir sa difficulté.
Cette Table sert pour la Multiplication, & pour la Division des petits nombres. Pour la Multiplication, le produit de deux nombres multipliez l'un par l'autre, est celui qui se trouve précisément vis-à-vis des deux nombres qui se multiplient ”

“ Ains 5000-hommes x 2 10000 hommes, & 5500 hommes x 3 16500 hommes ; ce qui ne dérange point la proportion ; d'autant que ce que 10000 hommes consomment en un mois, ou 5000 hommes, en 2 mois, sont une même chose : pareillement ce que consomment 16500 hommes, en un mois, ou 5500 hommes, en 3 mois. La question ains réduite à trois termes ; je multiplie le premier, par le second ; divisant le produit, parle troisiéme terme. En cettte sorte, j'ai onces, ou c'est-à-dire, que ce plus grand nombre d'hommes n'a plus pour sa ration, que 9 onces — de pain, par jour, au lieu de 15 onces. ”

“ Divisant le nombre 120, des permutations que ces 5 grandeurs donneroient, étant prises 5 à 5 ; si elles étoient toutes inégaies : le quotient 30, est le nombre de permutations que donneroient a. a. b. b. c, prises 5 à 5. Divisant de même, par 4, le nombre 720, de permutations que donneroient six grandeurs inégales, prises 6 à 6 ; le quotient 180, est le nombre de permutations que donneroient ces six grandeurs a. a. b. b. c. d, prises 6 à 6. En voici la raison : puisque a. a. b. b, ne donnent que six permutations ; étant prises 4 à 4 ; & que dans chacune, la cinquiéme grandeur c, peut être 1re. ”

“ On joindroit à ce nombre 57, le second nombre, 6, comme représentant celui des six diviseurs simples, qu'il a fallu retrancher à l'égard des combinaisons, par la raison qu'une grandeur ne se combine pas elle-même.
Ici les mêmes grandeurs ne peuvent se repéte dans une même combinaison : mais il est des combinaisons d'une autre espece, & dont on peut faire l'application aux jeux de hazard ; par exemple, aux jeux de dez, où les mêmes nombres se repétent autant de sois, qu'on fait entrer de dez dans le jeu. ”

“ La quantité supérieure ; ici 3, & 5, se nomme, Numérateur , en ce qu'elle marque combien la fraction contient de parties de l'unité, & la quantité inférieure, 4, & 8, se nomme, Dénominateur ; parce qu'elle nous fait voir, en combien de parties l'Entier est divisé. Le Numérateur est toujours plus petit, que le Dénominateur ; par la raison, que s'il lui étoit égal ; par exemple, la fraction formeroit un entier ”

“ Dans une proportion géométrique, le produit N des extrêmes est toujours égal au produit des moyens ; & ce produit des moyens devant être consideré, comme un dividende, duquel lun des termes du produit des extrêmes, est le diviseur, & lautre, le quotient; puisqu'étant multipliez l'un par l'autre, ils donnent le dividende ”

“ Enfin, que le premier terme multiplié 2 fois par lui-même, & par le cinquiéme, ou, le second multiplié 2 fois par lui-même, & par le sixiéme, est une quatriéme puissance, dont le terme qui suit le premier, à l'égard du cinquiéme, ou le second à l'égard du sixiéme, est la racine. ”

“ Il faut, 1°. chercher dans les premiers nombres, à gauche, ceux qui sont capables de contenir le diviseur ; non dans 643 qui est <658 ; mais dans 6438 ; & trouvant, par la multiplication interieure que je fais, de 658, par quelqu'autre nombre ; que 6438 peut contenir 9 fois ce diviseur ; puisqu'il 658 x 9 = 5922 ; je pose 9 au quotient, & la différence 516, qui se trouve entre 5922, & 6438, au-dessus de ce premier dividende ; en disant, par forme de soustraction, 1°. Qui de 8, en ôte 2, reste 6 : 2°. Qui de 3, en ôte 2, reste 1 : 3°. ”

“ Comme il est question de vérifier son calcul, afin de voir si l'on ne s'est point trompé ; ce qui s'appelle, en faire la preuve, il est expédient, lorsqu'on opere, de poser à chaque fois au-dessous de la somme que donne la colonne suivante, le nombre de dixaines que l'on retient ”

“ Cette façon d'opérer, qui est d'usage, est extrêmement longue & embarrassante. Celle qui suit, va vous donner la même précision, avec un modique travail. (Voy. les 2 Ex, du N°. 63,) . Elle consiste à multiplier nombre par nombre, lettre par lettre, chacun des termes de A, par chacun des termes de B : pour ensuite redonner aux lettres les valeurs numériques, 1°. de T2, de P2, de d2, de L2 : c'est-à-dire, de toises quarrées, de pieds quarrez, de pouces quarrez, de lignes quarrées ”

“ Si les mises étoient composées de livres, sols, & deniers : il faudroit réduire chacune d'elles, en deniers. Leur assemblage seroit la mise totale, en deniers, qui seroit de même, le premier terme de la proportion, & chaque mise particuliere, le troisiéme terme. Il n'y a rien à changer au second terme, qui fait le gain total. Le quatriéme terme donnera de même les gains particuliers.
Si l'on vouloit savoir pour quelle partie de la livre chacun des associez est intéressé; comme cela se pratique parmi les financiers, qui traitent avec le Roi ”

“ Pour paver une autre Cour, large de 40T 3 P, & longue de 50T 2P 8d ; Combien faudra-t-il de pierres larges d'un pied, & longues d'un pied 4 pouces.
Pour réduire la question à trois termes ; ainsi qu'il convient à la Regle ; je multiplie les deux dimensions de la premiere cour, l'une par l'autre ; pareillement l'une par l'autre, les deux dimensions de la seconde cour. En cette sorte, j'ai 1562T 3P ; 60000 ; 2043T. Et réduisant ces deux nombres de toises, en pieds ; à cause de la fraction 3P : j'ai pour le premier, & le troisiéme
terme ”

“ IV. EXEMPLE. Un Maçon a pris un Manoeuvre pour 40 jours, à condition qu'il lui donneroit 20ss, les jours qu'il travailleroit ; & qu'au contraire les jours qu'il ne travailleroit pas, il rendroit 8ss au Maçon : & au bout de 40 jours, ayant compté ensemble, le Manoeuvre a reçu . On demande combien de jours il a travaillé ?
Je nomme x, le nombre inconnu des jours, que le manoeuvre a travaillé : à raison de 20^, par jour ; c'est 20x : & —y, le nombre inconnu des ours, qu'il n'a pas travaillé : pour raison de quoi, il doit perdre autant de sois 8^, qu'il a manqué de jours ”

“ Observant de mettre 1, qui ne divise point, sous le premier nombre 8, du quotient, qui est un nombre entier ; ainsi - ; & un zéro, sous chacun des nombres qui le suivent. Par la raison que tout ce qui vient après cet en¬
tîer, sont des fractions, qui se suivent en raison sou-décuple. ”

“ Il est certain que si toute cette quantité d'aunes étoit répétée 23 fois de fuite, & qu'on en fit l'addition, la somme qui en reviendroit seroit au juste le prix de tout cet aunage ; mais cette façon d'opérer étant longue, & embarrassante, & pouvant l'être sans mesure, lorsque le prix de la chose seroit un fort grand nombre ; on a recours à d'autres résolutions bien plus abrégées : c'est de multiplier cette quantité A, qu'on nomme le multiplicande, ici 3715, par 23, qu'on nomme le multiplicateur, savoir, 1°. ”

“ Dans celui du trictrac, où l'on n'admet que deux dez, toutes les combinaisons qui. se trouvent dans ces deux dez, sont au. nombre de 36 ; mais qui se réduit à 21, après qu'on en a
retranché tous les nombres coëfficiens que donne
la Regle +2cd+2ce +2cf+d2+2de+2df+e2+2ef+f2, qui sont autant de nombre 2, qui précédent chaque produit de deux lettres distinctes, les unes des autres, parmi lesquelles on trouve que les mêmes points peuvent se repéter 2 fois ; puisqu'ils sont dans chaque dez. Ces six grandeurs, a. b. c. d. e. f, représentent ces six nombres, 1. 2. 3. 4. 5. qui sont dans chaque dez. ”