Combinatoire

“ Lorsqu'en additionnant les unités simples de; deux nombres, nous trouvons un nombre contenant des dizaines, qu'avons-nous à faire, mes enfants? Écrivant tout d'abord sous les unités le chiffre qui exprime combien il y a d'unités simples en plus de la dizaine, ou bien y mettant un zéro s'il n'y en a pas, nous retenons la dizaine pour la mettre avec les dizaines. Nous l'ajoutons alors aux dizaines des deux nombres; ou s'il n'y en a pas d'autres, nous l'écrivons toute seule à son rang en avant des unités simples : c'est ce que nous appelons avancer la retenue. ”

“ L’examen que nous faisons de l’étendue figurée nous présentant un grand nombre de combinaisons à faire, il est nécessaire d’inventer quelque moyen qui nous rende ces combinaisons plus faciles ; & comme elles consistent principalement dans le calcul & le rapport des différentes parties dont nous imaginons que les corps géométriques sont formés, cette recherche nous conduit bientôt à l’Arithmétique ou Science des nombres. Elle n’est autre chose que l’art de trouver d’une maniere abrégée l’expression d’un rapport unique qui résulte de la comparaison de plusieurs autres. ”

“ Quoi qu’il en soit, les seules combinaisons qui ont chance de se former, ce sont celles où l’un des éléments, au moins, est l’un de ces atomes librement choisis par notre volonté. Or, c’est évidemment parmi elles que se trouve ce que j’appelais tout à l’heure la bonne combinaison. Peut-être y a-t-il là un moyen d’atténuer ce qu’il y avait de paradoxal dans l’hypothèse primitive.
Autre observation. Il n’arrive jamais que le travail inconscient nous fournisse tout fait le résultat d’un calcul un peu long, où l’on n’a qu’à appliquer des règles fixes. ”

“ Si j’ai un conseil à vous donner, c’est de ne pas perdre votre clef, et de ne pas oublier le mot.
Tout en parlant, les ouvriers s’étaient remis au travail.
— Mais le mot, la combinaison d’un coffre-fort peut se retrouver ?
— Mathématiquement, cela est possible ; mais j’aimerais mieux ne pas avoir à essayer. Pensez, monsieur, que la combinaison à trois boutons, trois lettres si vous aimez mieux, peut s’exercer sur 15,680 combinaisons. Il faudrait les essayer les unes après les autres, et cela sans en oublier une seule, sans se tromper. ”

“ Mon but est ainsi nettement délimité ; je n'aborderai donc pas les questions, plus philosophiques que mathématiques, que pose la conception de la suite des entiers. Cette notion est considérée par moi comme acquise et parfaitement claire.
ne donne jamais qu'un nombre'fini de notations. Ce nombre pourra être grand; cela dépendra du nombre des symboles, de leur choix plus ou moins heureux, de l'ingéniosité des lois de combinaisons prévues; mais il sera toujours fini. Toute numération s'appliquant à un ensemble infini de nombres est, à certains égards, fictive. ”

“ C'est ainsi que, dans notre numération, on est convenu que de dix unités d'un certain ordre , on formerait une unité d'un autre ordre. De même, deux fois deux font quatre, par exemple , n'est qu'une vérité de convention.
Les identités sont des propositions tacitement renfermées dans une définition , ou qui sont la conséquence nécessaire d'un principe convenu.
Par exemple, une quantité est la moitié de son double; le tiers de son triple ; etc. De même, tout nombre est le carré de sa racine carrée ; le cube de sa racine cubique ”

“ Dans les multiplications et les divisions, il y a, en y comprenant l'unité donnée et le résultat demandé, quatre nombres, dont un de même espèce que l'unité donnée, et l'autre de même espèce que l'inconnue ; c'est-à-dire que de ces quatre nombres, deux sont d'une espèce et les deux autres d'une autre espèce, comme dans les règles de trois simples : de sorte qu'une multiplication ou une division n'est qu'une règle de trois simple, simplifiée encore en ce que l'une des données est l'unité. ”

“ Quand, au jeu de dés, on annonce quelles combinaisons prévaudront, c’est, comme pour les passans du Pont-Neuf, une question d’arithmétique; les combinaisons qu’on ose exclure forment, dans le nombre total, si les épreuves sont nombreuses, une proportion beaucoup moindre que, parmi les Parisiens, les hommes de six pieds de haut. ”

“ Non seulement chaque chiffre exprime à sa façon une idée essentielle, mais la combinaison des chiffres, c’est-à-dire leur rang dans la série et leur place dans le nombre, se réalise conformément aux lois mêmes de la logique scientifique. En ce sens, ils constituent une véritable langue nouvelle dont les phrases, ici les nombres, sont formées selon des règles syntaxiques constantes au moyen de mots, ici les chiffres. ”

“ Il est aisé de voir que de cette manière toutes les combinaisons possibles ont été formées entre les facteurs premiers du nombre proposé, et que par conséquent on a obtenu tous les diviseurs de ce nombre. Nous remarquons que le plus petit est l'unité, le plus grand le nombre lui-même.
92. PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR. Tout diviseur commun de plusieurs nombres donnés se compose évidemment de facteurs premiers communs aux différents nombres proposés ; en prenant tous les facteurs premiers communs, on aura le plus grand commun diviseur. ”

“ Il répartit ensuite ces combinaisons en deux classes, celle des êtres et celle des non-êtres et jusqu’à nouvel ordre cette répartition est entièrement arbitraire ; toute proposition affirmative nous apprend qu’une combinaison appartient à la classe des êtres ; toute proposition négative nous apprend qu’une certaine combinaison appartient a celle des non-êtres.
Nous voyons ensuite s’introduire, comme chez M. Russell, les conjonctions si, et, ou, c’est-à-dire l’addition et la multiplication logique. ”

“ Les combinaisons, les changemens d’ordre, & les configurations des nombres, sont des spéculations applicables en tout ou en partie, aux questions du hasard & du jeu, selon l’hypothèse, & la loi qui en fait le fondement, & il est clair qu’ici la droite ou la gauche, & le premier & le second jetton, ne m’engagent pas plus l’un que l’autre à les prendre seuls ou accompagnés : ce sont donc des circonstances étrangeres au sort des joueurs dans la question présente. ”

“ Plus le nombre dont on soustrait est grand, plus grand aussi est le reste. Ainsi, mes enfants, quand nous ajoutons un certain nombre d'unités au terme supérieur d'une soustraction, c'est autant d'unités qui resteront en plus. ”

“ On entend par parties, une ou plusieurs fractions d'un nombre que l'on appelle entier, lequel se divise ou se fractionne en plus ou moins de parties égales, comme 4/4, 6/6, 8/8 et 12/12, etc., c'est-à-dire que chacun de ces, nombres se compose seulement de 4, 6, 8 et 12 parties égales, et que par conséquent chacune ou plusieurs de ces parties réunies ensemble sont des fractions de l'entier comme 1/4, 2/6, 3/8 et 4/12.
DES NUMÉRATEUR ET DÉNOMINATEUR.
On distingue deux principaux termes dans les fractions; Le premier se nomme numérateur et le second dénominateur ”

“ Dans tout système de numération, un nombre entier se compose d'un multiple du plus petit des nombres supérieurs à la base augmenté de la somme des chiffres de rang impair à partir de la droite et le résultat diminué de la somme des chiffres de rang pair. ”

“ « Toutes les lettres ou chiffres avec parenthèses ou crochets d’une équation sont réunis en un seul groupe, c’est-à-dire qu’ils forment un polynôme. On les compose sans espace. »
xxxx J. Dumont [11] exprime la même règle : « Toutes les lettres, parenthèses, chiffres et crochets d’une formule se groupent sans espace », en faisant toutefois une exception pour les lettres grecques détachées, « au moyen d’une fine espace, des lettres italiques qui les accompagnent ».
26. Afin d’indiquer que la racine d’un nombre est à chercher, on emploie le signe
qui est désigné sous le nom de radical. ”

“ En un mot, il y a tant de combinaisons possibles, ces combinaisons sont si multiples que toute règle devrait être modifiée dans chaque cas particulier, ou exprimée d'une autre façon, que chaque cas dans la réalité est une exception à la règle. ”

“ La série des nombres naturels offre déjà un exemple d'addition, puisqu'elle est formée de l'unité ajoutée d'abord à elle-même, et ensuite au nombre précédemment formé.
45. Toute addition de nombres écrits en chiffres suppose toujours que l'on est parvenu, par un moyen ou par un autre, à savoir former une collection d'unités semblables ; et le moyen le plus ordinairement employé, ce sont les doigts ; l'habitude seule dispense de s'en servir. ”

“ Un nombre de quantités étant donné avec celui des quantités qui doit entrer dans chaque combinaison, trouver le nombre des combinaisons.
Une seule quantité, comme il est évident, n’admet point de combinaison ; deux quantités a & b donnent une combinaison ; trois quantités a, b, c, combinées deux à deux, donnent trois combinaisons a b, a c, b c ; quatre en donneroient six ab, ac, bc, ad, bd, cd ”

“ Chacun de nous est le produit d'une longue série de combinaisons, de chiffres si vous voulez, qui, sur deux colonnes, remontent jusqu'à un couple primitif. Quand le résultat ne nous semble pas correct, quand certaines organisations nous paraissent illogiques, c'est ordinairement que nous avons négligé quelques nombres... ”

“ A-B=C qui signifie un nombre quelconque A moins un autre nombre de même espèce B égale le reste C devient la formule de la soustraction ; AXB=C qui signifie un nombre A multiplié par un autre nombre B égale le produit C, devient A la formule de la multiplication ; enfin -=C qui C signifie un nombre A divisé par un nombre B égale le quotient C, devient la formule de la division. On appelle monome une quantité algébrique exprimée par un seul terme : A est un monome. ”

“ On joindroit à ce nombre 57, le second nombre, 6, comme représentant celui des six diviseurs simples, qu'il a fallu retrancher à l'égard des combinaisons, par la raison qu'une grandeur ne se combine pas elle-même.
Ici les mêmes grandeurs ne peuvent se repéte dans une même combinaison : mais il est des combinaisons d'une autre espece, & dont on peut faire l'application aux jeux de hazard ; par exemple, aux jeux de dez, où les mêmes nombres se repétent autant de sois, qu'on fait entrer de dez dans le jeu. ”

“ La série indéfinie de tous les nombres pairs, dans l'ordre croissant, n'est autre chose que la série de tous les nombres dont chacun contient le nombre pair 2 de plus que le nombre pair précédent, à l'exception de celui 2 qui n'a pas de nombre pair précédent, puisqu'il est le plus petit de tous les nombres pairs. ”

“ Si on passe ensuite aux opérations de l’esprit, exécutées à la fois par plusieurs hommes, après en avoir analysé la marche, la théorie des combinaisons peut s’appliquer à la forme, et le calcul, à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix, à l’examen des avantages et des inconvénients des divers modes d’élire, à la probabilité qui en résulte pour la bonté du choix. ”

“ La forme générale des lettres sera
étant des indices qui peuvent prendre chacun les valeurs .
On voit aussi, par la manière dont nous avons procédé, que, dans le groupe , toutes les substitutions seront de la forme
puisque chaque indice correspond à un système de lettres conjointes.
Si n’est pas un nombre premier, on raisonnera sur le groupe de permutations de l’un quelconque des systèmes de lettres conjointes, comme sur le groupe , en remplaçant chaque indice par un certain nombre de nouveaux indices, et l’on trouvera , et ainsi de suite ; d’où enfin , étant un nombre premier. ”

“ Enfin, si le nombre exprime des entiers et des parties d'entier, on l'appelle nombre fractionnaire. Deux heures et demie, quinze litres et trois dixièmes.
6. On dit qu un nombre est complexe, quand il exprime différentes espèces d'unités qui pourraient être ramenées à une seule ; par exemple, quand on dit : ce vase pèse deux hectogrammes et huit grammes, on pourrait simplifier l'expression en disant : deux cent huit grammes ;. alors lu nombre devient incomplexe, parce qu'il n'exprime qu'une seule espèce d'unités. ”

“ Le nombre qui détermine le mode de groupement s'appelle base du système de numération ; un nombre quelconque peut servir de base ; le système dont la base est dix est devenu d'un usage universel parmi les hommes ”

“ La série
α1, α2, ..., αν, ... est une série infinie quelconque de nombres ordinaux qui remplissent la condition (20) ; nous l’appellerons une série fondamentale de nombres ordinaux ; la relation qui l’unit à β peut s’exprimer de la manière suivante :
1o β est > αν, pour toutes valeurs de ν, car l’ensemble (G1, G2, ..., Gν) , dont le nombre ordinal est αν, est un segment de l’ensemble G qui a le nombre ordinal β.
2o Si β′ est un nombre ordinal quelconque < β, on a toujours, à partir d’une certaine valeur de ν,
αν > β′ car si β′ est < β, il y a dans l’ensemble G un segment B′ de type β′. ”

“ Qu’est-ce qui nous empêche dès lors d’appliquer à cette synthèse une méthode analogue à celle de l’algèbre ? Partant des propositions les plus simples, nous en étudierons a priori les combinaisons en faisant abstraction de leur contenu ; nous comparerons ces combinaisons, nous apprendrons à reconnaître dans quels cas elles sont équivalentes, dans quels cas elles sont compatibles [19] ou incompatibles, nous les transformerons les unes dans les autres. ”

“ Pour l’épreuve de mathématiques je vins plus tôt qu’à l’ordinaire. J’étais très bien préparé, mais deux questions d’algèbre, que j’avais cachées à mon maître, m’étaient tout à fait inconnues. Il s’agissait, je m’en souviens comme si c’était aujourd’hui, de la théorie des combinaisons et du binôme de Newton. ”

“ Nous avons, dans les chapitres précédents, appris à combiner les nombres par addition, soustraction, multiplication, division; à les élever à des puissances ; à en extraire des racines. C'est à cela que se borne l'Arithmétique. Lorsqu'on propose un problème, c'est-àdire, lorsqu'on demande de trouver une quantité inconnue qui remplisse certaines conditions, si les données (a) de ce problème sont exprimées par des nombres, il faut, pour trouver la quantité demandée, combiner ces nombres de différentes manières. L'Arithmétique enseigne les moyens de faire ces combinaisons ”