P.-G. Guy

“ Ces mots moitié, tiers, quart, etc. qui sont connus de tous n'ont pas été institués pour être liés au nom d'une individualité, d'une unité discontinue ou indivisible. Si l'on dit la moitié, le tiers, le quart, etc. d'une pomme, d'une orange, c'est la un langage familier qui n'est pas un non-sens; il a une valeur qu'on ne saurait contester, mais à la condition pourtant qu'il s'agira d'une pomme ou d'une orange qui est là sous nos yeux, et alors il n'aura aucune valeur scientifique, et voici pourquoi : Tous les mètres étant égaux, la moitié d'un mètre plus la moitié d'un mètre font un mètre ”

“ Mais si la retenue vraie doit être un nombre pair, et non le nombre impair qu'on a écrit : le chiffre de la somme sera bien de
l'espèce voulue pour la colonne, après que la retenue aura été rectifiée, mais sera-t-il le chiffre voulu de cette espèce ?
Si le chiffre écrit au-dessous de chaque colonne est de l'espèce voulue pour cette colonne : il est probable que l'addition est exacte, mais il n'y a aucune certitude que cela est, par la raison dite au 1" : l'arithmétique n'apprenant pas à calculer juste, mais seulement à raisonner juste. ”

“ De même : la série indéfinie de tous les nombres impairs, dans l'ordre croissant, n'est aussi autre chose que la série de tous les nombres dont chacun contient le nombre pair 2 de plus que le nombre impair précédent, à l'exception du nombre impair 1 qui n'en a pas de précédent, puisqu'il est à la fois le plus petit de tous les nombres impairs et le plus petit de tous les nombres. ”

“ Remarquez, en effet, que tandis que la division PAR est toujours possible, quand le diviseur PAR est plus petit que le dividende, sauf qu'elle .se fait exactement ou non exactement : la division ES, au contraire, même lorsque le nombre de parts égales demandé est plus petit que le dividende, s'il est abstrait, ou plus petit que le
nombre abstrait qui figure dans le dividende, s'il est concret, n'est pas toujours possible, parce qu'il y a cette condition de plus, que les parties ou parts doivent être toutes égales, condition qui la rend le plus souvent impossible. ”

“ REMARQUE importante sur la SOUSTRACTION. - Dans la soustraction: comme il n'y a que 2 nombres, il n'y a pas d'erreur possible pour un arithméticien exercé, ni quant à l'espèce du nombre reste, ni quant au nombre voulu de cette espèce : Quant à l'espèce : puisqu'elle dépend du 1er chiffre de droite de chacun des 2 nombres ; or l'esprit qui débute n'étant pas fatigué ne se trompe pas.
Quant au nombre voulu de cette espèce : il n'y a a retrancher qu'un nombre d'un seul chiffre d'un nombre d'un seul chiffre égal, plugrand, ou plus petit que lui. ”

“ J'unité est elle-même une quantité. Pour le discontinu, Yunité est une chose naturelle, puisque c'est une individualité de l'espèce même que l'on compte; aussi cette unité est-elle très-certainement la première dont l'homme se soit servi.
A l'égard du continu, au contraire, l'unité, qui n'est rien autre que la mesure, n'est pas une chose naturelle; c'est une quantité arbitraire, mais déterminée par la loi, que nous tenons à notre disposition pour mesurer ou évaluer les quantités de même nature qu'elle, que nous lui comparons. ”

“ Dans une multiplication, quelque considérable qu'elle soit, le DOUTE ne peut donc exister que pour les autres chiffres du produit.
Pour amoindrir le doute : si l'on a trouvé a - b = c, il faut diviser le nombre produit c PAR l'un des 2 facteurs de la multiplication, PAR celui a, par exemple.
Si la division se fait exactement, et donne pour quotient b fois, il y aura presque certitude que le produit c est le vrai (1) , puisque, s'il est vrai que c = b - a, c = a - b, en vertu du principe de l'intervertissement. ”

“ L'individualité qui est le point de départ ou l'unité pour compter la quantité discontinue est indivisible, c'est là son caractère essentiel; et cela est si vrai que ces mots : individu, individualité, proviennent du mot indivisible lui-même. On parlerait donc un langage barbare, on ferait un véritable outrage au sens commun ”

“ RÉPONSE. De la manière la plus facile, grâce à la connaissance qu'elle a de l'espèce à laquelle doit appartenir le résultat de la division PAR, selon l'espèce du dividende et du diviseur.
Ainsi : 1° VOIT-ELLE que le dividende est un nombre impair, et le diviseur PAR un nombre pair? Elle a la certitude absolue qu'elle est FAUSSE, si le calculateur n'a pas trouvé de reste [502, 1er ccw] , puisqu'elle sait que le produit du diviseur pair par le nombre pair ou impair du quotient est un nombre pair [487] , ce qui n'est pas l'espèce du dividende n qui est impair. ”

“ Raisonner juste c'est faire de la logique, tandis que calculer juste, c'est appliquer, sans erreur, les règles propres aux calculs, acte pour lequel un esprit fatigué par une longue opération peut trouver parfois la mémoire infidèle, car la raison est toujours présente et la mémoire non. ”

“ Les mathématiciens classiques ne vous pardonneront jamais votre titre d'arithmétique savante, sans maître, et aussi d'y avoir répandu tant de lumière qu'elle est devenue la science du sens commun. Il n'a pas prévu que je n'aurais non plus aucun appui, même auprès de celui qui a charge d'intelligences, puisqu'il est ministre de l'instruction publique pour veiller au progrès. ”

“ Il va d'ailleurs sans dire que, dans la pratique des calculs, chacun est juge du degré de confiance qu'il doit avoir dans la division PAR qu'il vient d'effectuer; aussi arrive-t-il souvent que lorsque le résultat est de l'espèce voulue, et qu'en multipliant le nombre qu'exprime le chiffre de droite du diviseur par le nombre qu'exprime le chiffre de droite du quotient, et ajoutant au produit celui qu'exprime le chiffre de droite du reste, s'il est de plusieurs chiffres, on retrouve le chiffre de droite du dividende, on ne fait pas d'autre opération. ”

“ DÉMONSTRATION. En eflet : si, d'un nombre donné a, pair ou impair, on retranche un nombre donné b plus petit que lui, on trouve pour reste un certain nombre c Donc : si à ce nombre c, on ajoute ensuite le nombre b, on doit retrouver pour somme le même nombre a; c'est là une notion du sens commun, puisqu'en ajoutant au reste le nombre qu'on a retranché, on rétablit évidemment le grand nombre tel qu'il était. Chacun peut vérifier ce fait sur des nombres concrets naturels, sur des nombres de marrons, par exemple. ”

“ Quand ce grand esprit, le seul homme d'État français qui connut et aimât avec passion les sciences mathématiques, s'est donné la peine, à l'âge de 72 ans et malgré ses grands travaux, de lire 900 pages traitant de la science fondamentale qu'il connaissait sous une autre forme, c'est un grand encouragement donné à la jeunesse dont la saine raison est sourde à la doctrine classique, et pour qui l'arithmétique raisonnée n'est plus désormais un LIVRE FERMÉ ; or, si on n'est passé maître dans cette 1" science, on ne peut comprendre celles auxquelles elle sert d'appui. ”

“ Il est évident que si nous anéantissons l'idée d'espèce, sans anéantir l'idée d'être, par qui elle se manifeste, il ne restera plus pour notre esprit qu'une individualité ou être profondément abstrait, c'est-à-dire cela-même dont nous disons un, en tant que quantité. ”

“ Eh bien, ce livre vous donne justement raison en ce sens que c'est l'interprétation classique qui est inintelligible et non la science elle-même qui, étant une langue logique, se développe uniquement à l'aide des notions du sens commun et est aussi claire que la langue que vous parlez. J'ai donc la certitude que les jeunes gens qui ont votre pétulance sont très-aptes à comprendre la nouvelle interprétation que vous venez de mépriser. ”

“ Quand on pense que les AUTEURS CLASSIQUES enseignent tous des preuves des opérations, bien qu'ils reconnaissent eux-mêmes que ces prétendues preuves ne prouvent rien d'une manière absolue, on couviendra que le fait dont je parle et qu'aucun d'eux n'a jamais aperçur puisque la THÉORIE des nombres pairs et impairs n'a jamais été faite, est là preuve manifeste qu'ils se copient les uns les autres depuis des siècles ”

“ II. La quantité se manifeste a nous d'abord par les êtres ou objets de la nature, et ensuite par les longueurs ou distances, les poids, les intervalles de temps, etc. Ainsi : un homme, deux hommes, trois hommes, etc., sont des quantités d'hommes, de même que un mètre, deux mètres, trois mètres, etc., sont des quantités ou longueurs. ”

“ Le quart de 15 mètres qui est aussi un non-sens, si on veut entendre le quart du nombre concret 15 mètres, puisque ce nombre
concret n'a point de quart, a, au contraire, un SENS, lorsqu'on entend le quart de la longueur que le nombre concret 15 mètres exprime, ce qui est le point de vue habituel de l'esprit, puisque les nombres concrets à unité continue ont été institués pour exprimer la quantité continue, et que toute quantité continue, de quelque manière qu'elle soit exprimée, PEUT toujours se diviser, par la pensée, en autant de parties égales que l'on veut ”

“ Le mot un tout seul porte donc sur l'être sans espèce, c'est-à-dire sur Yêtre sans aucune de ses manières d'être dont nous venons de faire abstraction, parce que nous le considérons uniquement comme quantité. Or, puisqu'il en est ainsi, celle individualité que nous traçons sur'le papier: 1, et qui n'a pour notre esprit ni longueur, ni largeur, ni couleur; qui, en un mot, est privée de toute manière d'être, sera dite un, en tant que quantité; et comme cette quantité a besoin d'être distinguée de celle qui se manifeste par toute indicidualité naturelle, on l'appelle le nombre un ”