Etienne Auguste Tarnier

“ La multiplication est une opération par laquelle on répète un nombre donné autant de fois qu'il y a d'unités dans un autre nombre donné.
Le nombre que l'on répète prend le nom de multiplicande; le nombre qui indique combien de fois on le répète prend le nom de multiplicateur; le résultat de l'opération s'appelle produit. Le multiplicande et le multiplicateur, qui servent à former, le produit, s'appellent facteurs du produit. ”

“ Ce que parfois on appelle nombre concret n'est autre chose que la grandeur elle-même, évaluée en ses unités. Ainsi, au lieu de dire que 1200 mètres est un nombre concret, nous dirons que 1200 mètres est une longueur évaluée en ses unités (ici le mètre) , et que 1200 est la mesure de cette longueur. C'est à ce nombre 1200 et non à la grandeur elle-même que nous appliquerons les règles de l'arithmétique. ”

“ DÉFINITIONS. On appelle fractions décimales des fractions composées de parties de l'unité de 10 en 10 fois plus petite. Les chiffres qui représentent les parties décimales s'appellent décimales ou chiffres décimaux.
Un nombre qui renferme des décimales s'appelle nombre décimal. La virgule qui sépare les décimales du chiffre des unités s'appelle virgule décimale. ”

“ Une grandeur est commensurable ou incommensurable avec l'unité, suivant qu'elle contient ou qu'elle ne contient pas un nombre exact de fois une partie aliquote de l'unité. Dans le premier cas, cette partie aliquote est ce qu'on nomme une commune mesure entre-la grandeur et l'unité ”

“ REMARQUE III. Le premier dividende partiel se compose toujours d'autant de chiffres, ou d'autant de chiffres plus un, qu'il y a de chiffres dans le diviseur, puisque, d'après notre raisonnement, la division ne peut commencer à se faire que lorsqu'on a pris sur la gauche du dividende un nombre de chiffres nécessaire pour que le nombre ainsi formé contienne le diviseur au moins une fois. Le deuxième dividende partiel se forme en écrivant la droite du premier reste le chiffre qui dans le dividende proposé, suit immédiatementle dernier chiffre du premier dividende partiel. ”

“ Puisque mesurer une grandeur signifie la rapporter à son unité, il importe, pour pénétrer dans les applications de l'arithmétique, que nous fassions connaître les unités de mesure en usage. Leur prodigieuse variété, même dans une localité, était autrefois un si grand embarras pour l'établissement de l'impôt et les transactions commerciales entre les particuliers, qu'une réforme était jugée nécessaire. ”

“ Pour convertir un nombre entier en parties d'une espèce donnée, on multiplie le nombre entier par le dénominateur qui indique l'espèce des parties, et l'on prend le produit pour numérateur de la fraction. ”

“ Remarque II. Dans la multiplication des nombres entiers, le produit est plus grand que le'multiplicande; mais si le multiplicateur est une fraction proprement dite, le produit n'est qu'une fraction du multiplicande, et par conséquent plus petit. ”

“ En supposant que
chaque règle soit de deux mètres, et qu'on distingue les cinq-centièmes de millimètre, cela fait une erreur de moins de un millième de millimètre pour chaque mètre, et, par conséquent, une erreur relative de un millionième; l'expression de la ligne totale n'aura donc'pas plus de six chiffres exacts, c'est la plus haute précision qu'on puisse espérer; il en est de même s'il s'agit d'un angle ou du poids d'un corps; pour les autres grandeurs, tellesque les températures, les densités, les chaleurs spécifques, on ne les connaît qu'avec un nombre moindre de chiffres ”

“ Ainsi, qu'au lieu d'employer peu d'ouvriers, on en fasse travailler un très-grand nombre, qu'arrivera-t-il ? Que les uns seront plus forts les autres plus faibles les uns plus habiles, les autres moins habiles; les uns plus zélés plus actifs, les autres moins alors à la faveur de ce qu'on appelle la loi des grands nombres certaines compensations s'établiront, et tout se passera comme si la proportionnalité directe ou inverse dont nous parlions ci-dessus, avait lieu réellement, du moins sans erreur sensible. ”

“ Une erreur de quelques centimes sur une somme qui contient des millions est sans importance il n'en est pas de même sur une somme de quelques francs.
Lorsqu'on mesure une longue ligne, on ne peut le faire qu'en portant successivement le long de cette ligne des lignes plus petites, par exemple des règles dont on connaît la mesure alors l'erreur imperceptible qu'on commet sur chaque règle, se répète autant de fois qu'une règle est contenue dans la longueur qu'on mesure ”

“ Système de numération. 1. On appelle unité un objet quelconque.
2. Dans un assemblage d'unités, le nombre indique combien il y a de ces unités. Lorsque, par exemple, on dit qu'il y a vingt arbres dans une allée, le nombre est vingt.
Le nombre est une chose essentiellement abstraite plus tard nous en donnerons une définition générale.
5. L'Arithmétique est la science des nombres
4. ”

“ CONSÉQUENCE I. Un produit est divisible par chacun de ses facteurs, par conséquent, ce produit n'est pas un nombre premier donc un nombre premier n'est pas un produit, et par suite ne peut être décomposé en facteurs. ”

“ Lorsque le premier chiffre du dividende est moindre que le premier chiffre du diviseur, il faut transporter la virgule après le second chiffre du dividende pour qu'il contienne le diviseur et qu'il le contienne moins de dix fois: il y aura donc au quotient un chiffre de moins qu'à la partie entière du dividende; d'autre part il faudra prendre au dividende un chiffre de plus qu'au diviseur, ou trois de plus qu'au quotient, et, comme la partie entière en contient un de plus, il faudra prendre deux chiffres de plus que la partie entière ”

“ Lorsqu'on a à faire une multiplication ou une division dont le résultat ne doit être qu'approché, le mode ordinaire de calcul est souvent beaucoup trop long; que, par exemple, deux facteurs renferment chacun huit décimales, leur produit en renfermera seize; or généralement cinq ou six suffisent; souvent même, les dernières ne sont pas exactes à cause de l'inexactitude des données; dans un cas comme dans l'autre, la partie du calcul qui a donné les dernières décimales estinutile ”

“ CONSÉQUENCE II. Un nombre qui divise l'une des deux parties d'une somme sans diviser l'autre partie, ne divise pas la somme; car la seconde partie se compose d'un multiple du diviseur et d'un reste plus petit que ce diviseur; donc la somme sera aussi un multiple du diviseur plus un reste. Le nombre 30, par exemple est la somme de deux nombres 18 et 12 ”

“ Quelques auteurs appellent classes ce que nous appelons ordres ternaires.
3° Quand il s'agira d'apprécier la grandeur d'un nombre, on groupera les unités dix par dix pour faire autant de dizaines que l'on pourra s'il y a un excédant d'unités, il ne surpassera pas neuf. On groupera les dizaines dix par dix pour avoir des centaines, et un excédant de dizaines en nombre moindre que dix, et ainsi de suite, en sorte que le nombre sera décomposé en unités de différents ordres, sans qu'il y ait plus de neuf unités de chaque ordre. C'est là ce qu'on appelle compter. ”

“ On a quelquefois besoin dans la pratique d'extraire la racine carrée d'un nombre qui n'est pas connu exactement. Il y a lieu alors de chercher avec quelle approximation il faut prendre le nombre proposé pour obtenir sa racine carrée avec une approximation décimale déterminée. ”

“ REAfARQUE I. Comme un nombre entier peut être assimilé à une fraction dont le dénominateur est 1, .on peut comprendre, dans le cas général de la multiplication d'une fraction par une fraction, tous les cas où l'un des facteurs est un nombre entier ”

“ REMARQUE. Quand une division réussit, le dividende renferme tous les facteurs du diviseur.
Réciproquement, un nombre est divisible par un autre, lorsque tous les facteurs du second se trouvent parmi les facteurs du premier.
En effet, si j'admets que 360 contienne les facteurs 3, 4, 6, en rapprochant ces facteurs, je trouverai que 360 est égal à leur produit par un certain nombre; il est, par conséquent, le produit de deux facteurs, dont l'un est 3 X 4 X 6 360 est donc divisible par le produit 3X4X6. ”

“ Puisque tout facteur peut prendre la place de celui qui le suit ou le précède, tout facteur peut occuper telle place que l'on voudra, c'est-à-dire que le produit d'autant de nombres qu'on voudra ne change pas, dans quelque ordre qu'on effectue leur multiplication. ”

“ Un nombre ne peut diviser tous ces nombres qu'autant qu'il ne renferme que des facteurs de chacun d'eux; il ne pourra donc renfermer que les facteurs premiers 2 et 3. Le facteur 2 ne pourra y entrer au plus que 2 fois, sans quoi le troisième nombre ne serait pas divisible par le nombre que l'on veut former. Le facteur 3 ne pourra y entrer qu'une fois à cause du second nombre. ”

“ IX. Lorsqu'on dit qu'une grandeur est directement ou inversement proportionnelle à l'une de celles dont elle dépend on suppose que toutes les autres sont invariables. Ainsi, dire que lepoids d'une barre de fer est proportionnel à sa longueur, c'est supposer tacitement que les autres éléments, tels que la largeur et l'épaisseur qui concourent à déterminer ce poids, ne varient pas. X. Il est bon d'observer que, pour que deux grandeurs soient proportionnelles l'une à l'autre, il ne suffit pas qu'elles croissent ou décroissent en même temps ”

“ On dit qu'un nombre est plus ou moins grand suivant que l'assemblage qu'il' désigne contient plus ou moins d'unités c'est pour cela que l'on regarde l'unité comme le terme de comparaison auquel on rapporte les nombres. ”

“ Le dividende est la part de bénéfice qui revient à chaque actionnaire, proportionnellement à la mise de fonds qu'il a apportée. C'est à la puissance de l'association que l'on est redevable des grands travaux industriels, tels que canaux, usines, chemins de fer, etc. ”

“ J'ai démontré que l'erreur relative d'un produit est sensiblement égale à la somme ou à la différence des erreurs relatives des facteurs or, un dividende est toujours le produit du diviseur par le quotient, par conséquent l'erreur relative d'un dividende est la somme ou la différence des erreurs relatives du diviseur et du quotient, d'où l'on conclut que l'erreur relative du quotient.est la différence ou la somme des erreurs relatives du dividende et du diviseur ”

“ VI. L'aluminium a une densité 4 fois plus faible que l'argent et coûte environ 300 fr. le kilogramme. Combien de fois, à volume égal, vaut-il moins que l'argent?
L'argent pur vaut 220 fr. le kilogr. le même volume d'aluminium pèse 4 fois moins ou de kilogr.; son prix est donc –7- = 75'; le rapport de la valeur de l'argent à celle de l'aluminium est donc = 2,93. L'aluminium est donc environ 3 fois moins cher que l'argent à volume égal. ”

“ Quand on fait ainsi rentrer un nombre dans les limites de la table, il faut toujours le garder le plus grand possible. Quand le nombre a moins de 4 chiffres, on peut trouver le logarithme en le traitant comme un nombre de 4 chiffres ou en le cherchant directement au-dessous de 1000. ”

“ On peut avoir par le'même procédé autant de décimales que l'on veut à la racine d'un nombre, lorsque cette racine ne s'extrait pas exactement; il suffit pour cela de mettre des zéros à la droite du nombre proposé, de manière à avoir au carré deux fois autant de décimales que l'on en veut à la racine. ”

“ IV. Un nonabre entier qui n'est pas le cube d'un autre nombre entier, ne peut pas être le cube d'un nombre fractionnaire exact. V. Pour qu'une fraction soit le cube d'une aittre fraction, il faut et il suffit qu'après l'avoir rendue irréductible, ses deux termes soient des cubes.
IV. REMARQUE. Faute de pouvoir extraire exactement la racine cubique d'un nombre, on l'extrait par approximation. ”

“ Un nombre n'est un multiple de 5 qu'autant qu'il est terminé par un 0 ou par un 5. 98. Divisibilité par 4, 25, 100.
100 est divisible par 4, 25 et 100; par suite, les centaines d'une nombre sont divisibles par 4, 25, 100. Or, si je décompose un nombre en deux parties, l'une formée des deux premiers chiffres, et l'autre formée de tous les autres chiffres, la dernière exprimera des centaines donc, ce sera la première partie exprimée par les deux premiers chiffres à droite qui, divisée par 4, 25, 100, donnera seule le reste de la division. ”

“ REMARQUE. Dans la pratique, on se dispense d'écrire les zéros à la droite des produits qui répondent aux chiffres des dizaines, centaines, mille, mais on a soin d'écrire le premier chiffre (significatif ou non) de chaque produit partiel sous le chiffre du produit partiel précédent qui est de même ordre que le chiffre multiplicateur, ainsi qu'on le voit ci-après ”

“ Réciproquement, si le dénominateur ne renferme pas d'autres facteurs premiers que 2 et 5, en multipliant le numérateur par une puissance de 10 d'un degré convenable, tous seront introduits au numérateur, et la division réussira. ”

“ La multiplication est un problème déterminé, parce que l'on trouve toujours le même produit, quel que soit l'ordre dans lequel on multiplie ou que l'on groupe les facteurs du produit. La division est un problème déterminé, parce que, d'après la multiplication, il n'y a pas deux nombres qui,.multipliés par le diviseur, puissent reproduire le dividende. ”

“ DÉFINITIONS. Une fraction décimal e périodique est une fraction décimale dans laquelle un certain nombre de chiffres-consécu- tifs se reproduisent dans le même ordre et indéfiniment. Une période, en valeur absolue, est l'ensemble des chiffres consécutifs qui se reproduisent indéfiniment.
Il y a une suite indéfinie de périodes consécutives.
Une fraction décimale périodique simple est une fraction décimale périodique dans làquelle la période commence immédiatement après la virgule. ”