Étienne Bezout

“ Le nombre en est indifférent en lui-même, pourvu qu'on puisse mesurer les quantités qu'on a dessein de mesurer ; mais ce qu'on doit avoir principalement en vue dans ces sortes de divisions, c'est de rendre les calculs le plus commode qu'il sera possible; c'est pour cette raison qu'au lieu de partager d'abord l'unité en un grand nombre de parties, afin de pouvoir évaluer les plus petites, on ne la partage d'abord qu'en un certain nombre de parties, et qu'on subdivise celles-ci en d'autres, et ces nouvelles, encore en d'autres plus petites. ”

“ On peut, le plus souvent, pousser chaque division jusqu'à un chiffre de plus, c'est-à-dire, jusqu'à autant de chiffres qu'on en a déjà à la racine ; mais il y a quelques cas, rares à la vérité, où l'erreur sur le dernier chiffre pourroit aller jusqu'à cinq unités ; au lieu qu'en se bornant à un chiffre de moins , comme nous venons de le faire , on n'a jamais à craindre même une unité d'erreur sur le dernier chiffre. ”

“ XI. Zéro divisé par zéro donne pour quotient quel nombre on veut; car, quel que soit le nombre que l'on prenne pour quotient, ce quotient multiplié par le diviseur zéro donnera toujours pour produit le dividende zéro. ”

“ Donc, si le premier terme de la progression est l'unité, chaque autre terme sera formé de la raison même élevée à une puissance marquée par le nombre des termes qui le précèdent; car la multiplication par le premier terme qui est l'unité, n'augmente point le produit.
Pour élever un nombre à une puissance proposée, à la septième, par exemple, il faut, suivant l'idée que nous avons donnée des puissances, multiplier ce nombre par lui-même, six fois consécutives ”

“ Si la racine devoit avoir des zéros parmi ses chiffres intermédiaires, dans le cas où ces zéros seroient du nombre des chiffres qu'on détermine par la division, il peut arriver, s'ils doivent être les premiers chiffres du quotient, qu'on ne s'en aperçoive pas, parce que dans la division on ne marque pas les zéros qui doivent précéder sur la gauche du quotient : le moyen de le distinguer est de faire attention qu'on doit avoir toujours autant de chiffres au quotient qu'on en a mis à la suite du reste ”

“ Il faut concevoir à la suite du nombre proposé , deux fois autant de zéros qu'on voudra avoir de décimales à la racine; faire l'opération comme à l'ordinaire, et séparer ensuite par une virgule, sur la droite de la racine, moitié autant de décimales qu'on a mis de zéros à la suite du nombre proposé. En effet [54] , le produit de la multiplication devant avoir autant de décimales qu'il y en a dans les deux facteurs ensemble, le carré (dont les deux facteurs sont égaux) doit donc en avoir le double de ce qu'a l'un des facteurs, c'est-à-dire, le double de ce que doit avoir la racine. ”

“ Voyez si le plus grand dénominateur contient exactement tous les autres , s'il ne les contient pas tous, essayez son double, ensuite son triple, son quadmple, etc., jusqu'à ce que vous ayez trouvé un des multiples de ce plus grand dénominateur, qui contienne exactement tous les autres dénominateurs; divisez ce multiple successivement par chacun des dénominateurs, et écrivez chaque quotient auprès de la fraction dont vous avez pris le dénominateur pour diviseur ; enfin multipliez les deux termes de chaque fraction par le nombre écrit auprès. ”

“ Tant qu'on ne considère les nombres que d'une manière abstraite, c'est-à-dire sans faire attention à la nature de leurs unités, il importe peu lequel des deux nombres proposés pour la multiplication, on prenne pour multiplicande ou pour multiplicateur; par exemple, si on a 4 à multiplier par 3 , il est indifférent de multiplier 4 par 3, ou 3 par 4, le produit sera toujours 12. En effet, 3 fois 4 ne sont autre chose que le triple de 1 fois 4, et 4 fois 3 sont le triple de 4 fois 1 ”

“ Lorsque les premières décimales ne manqueront pas, il sera aussi facile d'écrire une fraction décimale qu'un nombre entier ; mais lorsque ce sera le contraire, on pourra se servir du moyen suivant : On comptera combien il faut de chiffres pour écrire le nombre proposé, et on retranchera le nombre qui indique combien il. en faut, de celui qui indique le rang auquel doit être la dernière décimale pour exprimer les unilés décimales de l'ordre demandé ; le reste indique le nombre des zéros qui doit suipre immédiatement la virgule. ”

“ Le dividende vaut le diviseur multiplié par le quotient, plus le reste. Or, le diviseur commun au diviseur et au reste, divisera exactement les deux parties du dividende , donc il devra diviser de la même manière le dividende lui-même ; car , s'il en étoit autrement, on auroit, en effectuant la division , un nombre fractionnaire égal à la somme de deux nombres entiers , ce qui est absurde. Ces principes posés , passons à notre démonstration. Le dernier diviseur se divise exactement lui-même, et il divise de la même manière le dernier dividende. ”

“ S'il y a des parties décimales dans les nombres sur lesquels on veut opérer, on suivra absolument la même règle ; mais pour éviter tout embarras dans l'application de cette règle, il n'y aura qu'à rendre le nombre des chiffres décimaux le même dans chacun des deux nombres proposes; en mettant
un nombre suffisant de zéros à la suite de celui qui a le moins de décimales ”

“ X En introduisant de nouveaux facteurs, on verra facilement que le nombre des chiffres du produit de trois facteurs n'est jamais plus grand que le nombre des chiffres des trois facteurs et qu'il ne peut en différer que d'une ou de deux unités, et qu'en général le nombre des chiffres d'un produit ne peut pas surpasser le nombre de ceux de tous les facteurs, et qu'il ne peut pas être inférieur à ce nombre, diminué d'autant d'unités moins une qu'il y a de factsurs. ”

“ Le multiplicande exprime des millionièmes, qui, multipliés par des dizaines, donnent des cent-millionièmes : le premier produit exprime donc des cent-millièmes, c'est-à-dire, des unités inférieures de deux rangs à celles auxquelles on veut se borner. Des cent-millièmes multipliés par des unités donnent aussi des cent-milliemes ; le second produit exprime donc des unités de même espèce que le premier. Des dix-millièmes multipliés par des dixièmes donnent aussi des cent-millièmes, et ainsi de suite. ”

“ Tout nombre n'a pas de racine cubique , mais on peut approcher continuellement d'un nombre qui, étant cubé, approche aussi de plus en plus de reproduire ce premier nombre ; c'est ce que nous verrons après avoir appris à trouver la racine d'un cube parfait. ”

“ La première en renferme de trois espèces : le nombre entier, la fraction, et le nombre fractionnaire, tels que les définit Bezout. Le nombre abstrait et le nombre concret sont de la seconde. La troisième comprend le nombre incomplexe et le nombre complexe : le nombre incomplexe est celui qui ne renferme qu'une seule espèce d'unités, et le nombre complexe est celui qui est composé de plusieurs espèces d'unités dépendantes les unes des autres, rapportées les unes aux autres. ”

“ De tous les moyens qu'on peut employer pour réduire une fraction à une expression plus simple, le plus direct est celui de diviser les deux termes par le plus grand diviseur commun qu'ils puissent avoir (5q) : voici la règle pour trouver ce plus grand commun diviseur.
Divisez le plus grand des deux termes par le plus petit ; s'il n'y a point de reste , c'est le plus petit terme qui est le plus grand diviseur commun. ”

“ Si au taux de l'intérêt on donne 365 pour dénominateur, on aura l'intérêt de ioo fr. pour un jour; si on multiplie ensuite cette fraction par le nombre des jours pendant lesquels le capital porte intérêt, on aura l'intérêt de ioo fr. pour ce nombre de jours. On établira ensuite cette proportion : ioo fr. sont au capital prêté, comme l'intérêt de ioo fr. pour un certain nombre de jours est à l'intérêt du capital pour le même nombre de jours. La connoissance de deux des termes de cette proportion avec le premier qui est toujours connu, donnera celui qui fera le sujet du problème. ”

“ Si un zéro mis à la droite d'une fraction décimale ne change pas sa valeur, deux, trois, quatre, etc., zéros ne la changeront pas davantage.
On verra encore l'évidence de ce principe, comme il suit. Les rang" des décimales se comptent de gauche à droite, en partant de la virgule ; il en résulte que lorsqu'on met des zéros à la droite d'une fraction décimale, ces zéros ne changent pas les rangs des chiffres : le chiffre des dixièmes marque toujours des dixièmes , celui des centièmes exprime toujours des centièmes, celui des millièmes reste toujours au troisième rang , etc. ”

“ Par exemple, un nombre entier écrit dans le système duodécimal deviendra douze fois, cent quarante-quatre fois, etc. , plus grand, si l'on met un, deux, etc., zéros à sa droite. On le rendra douze fois, cent quarante-quatre fois, etc., plus petit, en supprimant un, deux, etc. , zéros sur sa droite. On ne changera pas sa valeur , en mettant un ou plusieurs zéros à sa gauche ; parce que le chiffre des unités sera toujours au rang des unités , celui des douzaines exprimera toujours des douzaines, etc. ”

“ Mes additions renferment la théorie des différents systèmes de numération ; quelques observations sur l'addition et la soustraction ; les principes relatifs aux changements qu'opèrent, dans un produit ou dans un quotient, ceux que l'on fait subir aux facteurs de ce produit, ou au dividende et au diviseur d'une division ; d'autres principes sur la multiplication ; quelques moyens d'abréger, dans certains cas, la multiplication et la division ”

“ Un nombre que l'on carre, est donc tout à la fois multiplicande et multiplicateur ; il est donc deux fois facteur [42] du produit ; c'est pour cela qu'on appelle aussi ce produit ou quarré la seconde puissance de ce nombre.
il ne faut d'autre art pour carrer un nombre que de le multiplier par lui-même selon les règles ordinaires de la multiplication ; mais pour extraire la racine carrée d'un nombre , c'est-à-dire, pour revenir du carré à la racine , il faut une méthode, du moins lorsque le nombre ou carré proposé a plus de deux chiffres. ”

“ Dans les extractions des racines, pour éviter toute méprise , lorsqu'il entrera des compléments arithmétiques, dans les logarithmes dont on fera usage, on aura soin d'ajouter ou d'ôter à la caractéristique autant de dizaines qu'il
est nécessaire, pour que ce dont elle sera trop forte le soit précisément d'autant de dizaines qu'il y a d'unités dans le nombre qui marque le degré de la racine; et ayant, conformément à la règle ordinaire, divisé par -le nombre qui marque le degré de la racine, la caractéristique sera trop forte précisément de 10 unités. ”

“ Pour concevoir ce principe, imaginons que nous avons un nombre renfermant des dixièmes , des centièmes et 8 millièmes , et dans lequel nous ne voulons conserver que deux décimales. Si on néglige la troisième décimale , l'erreur sera de 8 millièmes; si au contraire on ajoute 1 centième ou 10 millièmes à la seconde décimale , l'erreur ne sera plus que de 2 millièmes ; celle erreur, étant moindre que la première , doit être préférée. S'il n'y avoit que 2 millièmes, il est clair que l'erreur seroit moindre en négligeant simplement cette troisième décimale qu'en ajoutant un centième. ”

“ Pour se faire une idée nette des fractions , il faut concevoir que la quantité qu'on a prise d'abord pour unité, est elle-même composée d'un certain nombre d'unités plus petites, comme l'on conçoit, par exemple, que la livre est composée de vingt parties ou de vingt unités plus petites, qu'on appelle sous.Une ou plusieurs de ces parties forment ce qu'on appelle une fraction de l'unité. ”

“ En transportant la virgule d'un rang vers la droite, ou en mettant un zéro, on multiplie par 10, qui est deux fois plus grand que 5 ; puisqu'on a employé un multiplicateur deux fois trop grand, le produit que l'on a obtenu est aussi deux fois trop grand (note 26, 1) , il faut donc en prendre la moitié.
Par des raisonnements semblables, on verra que pour multiplier par 25, il faut transporter la virgule du multiplicande de deux rangs vers la droite, ou y ajouter deux zéros s'il est entier, et prendre ensuite le quart, parce que 25 est le quart de 100 ”

“ Dans l'exemple que j'ai donné du premier usage de la division , j'ai dit que pour avoir le prix de l'aune , il falloit diviser 648 francs par 35 aunes; il faut entendre par là que le nombre qui représente le prix de l'aune est égal au nombre d'unités abstraites qui représentent le prix total, divisé par le nombre d'unités abstraites qui représent le nombre des aunes. ”

“ Quand les nombres qu'on se propose d'ajouter n'ont qu'un seul chiffre, on n'a pas besoin de règle ; mais lorsqu'ils ont plusieurs chiffres, on trouve leur valeur totale qu'on appelle somme, en observant la règle suivante.
Ecrivez, les uns sous les autres, tous les nombres proposés; de manière que les chiffres des unités de chacun soient dans une même colonne verticale ; qu'il en soit de même des dizaines, de même des centaines, etc. ; soulignez le tout. ”

“ Ce que nous venons d'observer étant une conséquence immédiate des règles de la multiplication , n'est pas plus particulier au nombre 54 qu'à tout autre nombre composé de dizaines et d'unités; en sorte qu'on peut dire généralement que le carré de tout nombre composé de dizaines et d'unités renfermera les trois parties que nous venons d'énoncer, savoir, le carré des dizaines de ce nombre, deux fois le produit des dizaines par les unités, et le carré des unités (78) . ”