Millième

“ Comment on n'a jamais entendu parler d'un demi-nombre ! Comment, le tiers , le quart, le dixième, le centième, le millième d'un entier ne sont pas à leur tour des nombres qui valent le tiers, le quart, le dixième , le centième , le millième , du chiffre total dont ils sont une fraction !
Mais heureusement pour Cujas nul n'ajamais mieux mérité que le Vayer de Boutigny qu'on lui appliquât le dicton italien : traduttore traditore. ”

“ Déterminer combien, dans chacun des nombres du n° 87, il y a de dizaines; — de millièmes; — de millionièmes; — de dixièmes; — de centaines; — de cent millionièmes.
89. Écrire les nombres suivants : un dixième, sept centièmes, neuf millièmes, huit dix millièmes.
90. Trente-quatre centièmes, cinq cent huit dix millièmes, soixante-dix-neuf cent millièmes.
91. Soixante-cinq millionièmes, neuf mille sept cent huit millionièmes, neuf billionièmes. ”

“ La - valeur d'un nombre, à une unité près, est le plus grand nombre entier qui y soit contenu.
La valeur d'un nombre, à un dixième près, est le plus grand nombre entier de dixièmes qui y soit contenu.
La valeur d'un nombre, à un centième près, est le plus grand nombre entier de centièmes qui y soit coutenu.
La valeur d'un nombre, à un millionième près, est le plus grand nombre entier de millionièmes qui y soient contenu, etc.
Réduire une fraction en décimales, c'est l'évaluer successivement à un dixième, à un centième, à un millième. ”

“ Une longue habitude de calculer , ayant prouvé à l'auteur qu'on pouvoit, sans aucune crainte, se dispenser de prolonger les décimales, et les rendre par conséquent mille fois plus petites, comme l'unité principale, en continuant de les subdiviser de dix en dix, pour obtenir des millièmes, des dix millièmes, cent millièmes, millionièmes, etc., il a imaginé de réduire toutes ces décimales par une seule fraction , que l'on place immédiatement après les unités de centimes ”

“ Puis, vous écrivez à la suite du nombre le mot : mètre, soit tout entier, soit en abrégé par un petit m placé en haut 3622 mètres, ou 3622m.
Mais s'il y a en outre des décimètres, des centimètres, des millimètres, que ferez-vous?
Réfléchissez, mes enfants. Ces quantités sont des fractions du mètre; ce sont des dixièmes,des centièmes, des millièmes : ce sont des fractions décimales. Or, quand on a des fractions décimales à exprimer, on écrit successivement, après
la virgule qui suit l'ordre des unités, le chiffre des dixièmes, celui des centièmes,
enfin celui des millièmes. ”

“ UNITÉS MILLE. MILLIÈMES.
MILLIONS MILLIONIÈMES.
BILLIONS. BILLIONIÈMES.
On voit par l'examen de ce tableau que les nombres décimaux se partagent par tranches comme les nombres entiers ; mais il est impossible, dans la pratique, de suivre cette division. On verra, dans les tableaux suivans, que l'unité décimale varie suivant la quantité de chiffres dont le nombre décimal est composé. Lorsqu'il est composé de quatre chiffres, l'unité est des dix-millièmes ”

“ Mais 2045 ne contient pas de dixaines de mille ; je n'aurai pas non plus de centièmes d'unités , et j'écris. 0,00.
Il faut dix mille millionièmes pour un centième ; il en faut dix fois moins, c'est-à-dire, mille, pour un millième; or, le nombre 2045 contient deux mille; j'aurai par conséquent 2 millièmes d'unités, et j'écris. 0,002.
Après avoir écrit 2000 millionièmes, que j'ai représentés par 2 millièmes, il reste à représenter 45 millionièmes. Je dis : Il faut mille millio-
nièmes pour un millième ”

“ Les millièmes se réduisent en carats en multipliant par 24 et coupant trois décimales.
POUR LES MONNAIES D'ARGENT.
Réduire les rapports d'essai d'argent anglais en rapports français, ou millièmes.
RÈGLE.— Prendre le nombre donné par l'essai pour numérateur, et 240 pour dénominateur, réduite en décimales de trois figures elle donnera des millièmes.
EXEMPLE. — Réduire l'argent étalon anglais en millièmes.
Réduire les millièmes en expressions d'essais anglais d'argent.
RÈGLE. - Multipliez par 240, et coupez trois figures. Ainsi 891 millièmes X 240 = 214 = 10 deniers 14 gr. ”

“ L'unité d'un nombre, étant le mètre, quel nom donne-t-on au multiple et au sous-multiple représenté par le chiffre des dizaines ? — des dixièmes ? — des centaines ? — des centièmes ? — des mille ? — des millièmes ? — des dizaines de mille ?
21. Donnez un exemple.
22. A quel rang, à droite ou à gauche de la virgule, place-t-on les hectodécimètres? — les mètres ? — les kilomètres ? ”

“ Pour écrire le nombre trois millions, cinquante mille, trente-sept centmillionièmes, on observe que ce nombre doit être composé de huit chiffres; que les dixièmes, les millièmes, les centmillièmes, les millionièmes manquent, et doivent par conséquent être remplacés par autant de zéros : ce nombre doit donc être écrit : 0,03050037, en mettant également un zéro à la place des unités entières. ”

“ Nous avons déjà dit que dix unités d'un ordre quelconque en valent une de l'ordre supérieur : que 10 centièmes égalent un dixième, que 10 millièmes égalent 1 centième, etc.; par conséquent dix unités d'un ordre, en valent cent du deuxième ordre supérieur à celui que l'on considère, mille du troisième ordre supérieur, etc.; ainsi 100 millièmes, valent 10 centièmes, 1 dixième; 100 dixmillièmes valent un centième; et, réciproquement, 1 dixième égale 10 centièmes, 100 millièmes, 1000 dixmillièmes, 1 etc. 5 or dans le nombre donné, 4,659 la fraction 659 millièmes peut se décomposer en 6 dixièmes. ”

“ Les parties de l'unité, que nous venons de décrire sont ce que l'on appelle les décimales.
25. Quant à la manière de les énoncer, elle est la même que pour les autres nombres. Après avoir énoncé les chiffres qui sont à la gauche de la virgule, on énonce les décimales de la même manière; mais on ajoute, à la fin, le nom des unités décimales de la dernière espèce; ainsi, pour énoncer ce nombre 54,572, on dirait trentequatre unités et cinq cent soixante et douze millièmes; si c'étaient des mètres, par exemple, on dirait trente-quatre mètres et cinq cent soixante et douze millièmes de mètre. ”

“ Dans le système actuel des poids et mesures établi en France, on a donné de nouveaux noms aux unités, dixaines , centaines, mille et dixaines de mille, ainsi qu'aux dixièmes, centièmes , millièmes d'unités de ce système, appelé système métrique , parce qu'il a pour base le mètre. ”

“ Aujourd'hui toutes les mesures dérivent du mètre, qui est lui-même la dix-millionième partie du quart de la* circonférence de la terres foutes les mesures croissent et décroissent de dix' en dix, et leurs noms en font connaître la valeur au moyen des mots déca, ecto, kilo, qui veulent dire dix, cent, mille, et des mots déci, centi, 'Itilli, qui signifient un dixième, un centième, un millième. ”

“ Avancer la virgule d'une place vers la droite pour passer du premier nombre au second, revient à avancer tous les chi.ffres d'une place vers la gauche, ce qui fait prendre à chaque chiffre une valeur relative dix fois plus grande les millièmes sont devenus des centièmes; les centièmes, des dixièmes, puisque toutes les parties du nombre deviennent 10 fois plus grandes, le nombre devient luimême 10 fois plus grand. ”

“ DONT LA PRONONCIATION POURRAIT OCCASIONER DES MÉPRISES.
0 ; 5 dixièmes.
0; 5 0 centièmes.
0; 5 0 0 millièmes.
0; 0 0,0 0 5 cent-millièmes.
500 millièmes sont cinq cents fois la millième partie de l'unité.
5 cent-millièmes sont cinq fois la cent-millième partie de l'unité.
, 0$0 0 0,4 0 0 millionièmes.
0; 0 0,0 0 0,0 0 4 cent-millionièmes.
400 millionièmes sont quatre cents fois la millionième partie de l'unité.
4 cent-millionièmes sont quatre fois la cent-millionième partie de l'unité. ”

“ On demande le total des nombres suivants: quatre dixièmes, vingt millièmes, trois cents dix- - millièmes, un centième, deux cents millièmes, quarante-quatre millièmes, dix-huit centièmes.
30. Écrivez quatre centièmes, douze cent-millièmes, cent dix millièmes , onze centièmes, quinze millièmes , quatorze millièmes, dix sept dix-millième, et faites-en la somme.
DE LA SOUSTRACTION.
35. D. Qu'est-ce que 1; soustraction R. La soustraction est une opération par laquelle on retranche un nombre d'un autre nombre, pour connaître de combien le plus grand surpasse le plus petit. ”

“ DÉMONSTRATION. Car, chaque dixième valant 10 centièmes, les 6 dixièmes vaudront 60 centièmes, qui, étant joints aux 7 centièmes, qu'on avait déjà, donneront 67 centièmes.
IIe EXEMPLE. La fraction décimale 0, 005829. se lira: cinq mille huit cent vingt-neuf millionièmes, en observant que les décimales de Tordre le moins élevé que renferme le nombre proposé, sont des millionièmes.
DÉMONSTRATION. En effet, chaque millième valant 10 dimillièmes, les 5 millièmes vaudront 50 dimillièmes, qui, étant réunis aux 8 di- millièmes, qu'on avait déjà, formeront 58 dimillièmes. ”

“ Dans tous les cas où il se trouve un reste, on ie convertit en dixièmes, centièmes ou millièmes, pour obtenir un quotient de plus en plus approché; et si le quotient est déjà fractionnaire, ce qu'on obtient ensuite ce sont des dixièmes, des centièmes., etc., de la dernière espèce d'unité fractionnaire déjà écrite, et on les écrit à la suite des autres sans aucune distinction.
88. Pour diviser par 10, 100, 1000. un nombre entier, il suffit de séparepsur la droite un, deux, trois, quatre. chiffres décimaux par une virgule. ”

“ Ainsi, si nous avons à écrire : 4 centièmes, 5 millièmes, nous écrivons 0,045; le zéro mis au rang des dixièmes qui manquent maintient à leur rang les centièmes et les millièmes. Si nous avons 3 dixièmes, 6 millièmes, nous écrivons 0,306 avec un zéeo au rang des centièmes. ”

“ Outre les 74 unités, le nombre renferme 2 dixièmes, 5 centièmes et 3 millièmes. Or un dixième vaut dix centièmes; donc 2 dixièmes valent 2 fois dix centièmes, ou 20 centièmes; ces 20 centièmes avec, les 5 centièmes qui occupent la place des centièmes font 25 centièmes; or un centième vaut dix millièmes, donc 25 centièmes valent 25 fois 10 millièmes, ou 250 millièmes; ces 250 millièmes avec 3 millièmes font 253 millièmes. ”

“ Autre exemple. Écrire en chiffres le nombre quatre unités cinq dixièmes sept centièmes sept millièmes; on a 4,577, qu'on énoncera quatre unités cinq cent soixante-dix-sept millièmes.
167. Lorsqu'il n'y aura pas d'unités d'un certain ordre sous-décuple, on emploiera le zéro qui servira aux mêmes fins que dans les nombres entiers.
Exemple. Écrire cinq unités trois dixièmes six millièmes ou cinq unités trois cent-six millièmes. ”

“ Les chiffres qui les représentent se ment chiffres décimaux; le premier chiffre à e de l'unité représente des dixièmes, le second centièmes , le troisième des millièmes, etc.
1- Pourquoi appelle-t-on les parties décimales dites, centièmes, millièmes, etc.?
On appelle dixièmes les parties contenues dix dans l'unité; les dixièmes de dixièmes se nom.
centièmes parce qu'ils sont contenus cent ans l'unité; les dixièmes de centièmes se nomL millièmes, étant contenus mille fois dans l'uni- es millièmes se divisent aussi eo dixièmes et cen- es de millièmes, etc. Voyez le tableau de numén suivant. ”

“ Placer convenablement la virgule dans les nombres suivants : 62 dixièmes; 4 758 centièmes; 9 dixièmes; 7 centièmes ; 48 millièmes. — Rép. 6,2 ; 47,58 ; 0,9 ; 0,07 ; 0,048.
2. — Ecrire les nombres suivants en prenant la centaine comme unité : 475; 35 729; 75; 4. — Rép. 4,75; 357,29; 0,75; 0,04.
3. — Ecrire les nombres suivants en prenant le dixième comme unité : 57 ; 8,5 ; 8,95 ; 0,5 ; 0,075. — Rép. 570 ; 85 ; 859,5 ; 5 ; 0,75.
4. — Quelles sont les plus hautes unités d'un nombre entier composé de 5 chiffres, de 7 chiffres, de 3 chiffres, de 8 chiffres ? (Orne.)
Rép. 1° Les diz. de mille ”

“ RÈGLE : Multipliez par A la valeur du kilog. d'or ou d'argent pur.
2* PROBL. Exprimer en carats le titre A millièmes d'un objet d'or.
RÈGLE : Multipliez 24 par A, et séparez trois chiffres sur la droite du produit : ce sont des millièmes de carats.
3e PROBL. Evaluer en millièmes le titre A carats d'un objet d'or.
RÈGLE: Divisez A par 24, poussant l'opération jusqu'à trois déci- males.
N. B. Pour appliquer ces deux dernières règles au titre des objets d'argent, substituez denier à carat, et 12 à 24.
(d) L'or est réputé pur, s'il n'a que cinq millièmes d'alliage ”

“ Ainsi dans l'exemple précédent, en observant que 1 centième vaut 10 millièmes, 1 dixième 10 centièmes et par conséquent 100 millièmes ; au lieu de dire 7 dixièmes 4 centièmes 6 millièmes, on dira plus simplement 746 millièmes.
On exprime même quelquefois la partie entière avec la plus petite unité décimale de la fraction. ”

“ Car l'erreur étant moindre que que es eux premIers 'LI. ar erreur etant mOllI fe que 2X1 soit 0,00004, la vraie racine est comprise entre 15,24745 et 15,24750; on prendra 15,2475 par excès à moins d'un demimillième.
2e Exemple. Calculer à moins d'un millimètre près le rayon du cercle dont la surface est égale à un mètre carré.
Nous avons.
Cherchons d'abord avec quelle approximation nous devons calculer l pour obtenir la racine à moins d'un millième; cette con culer - pour obtenir la racine à moins d'un millième; cette con-
dition sera remplie si l'erreur de ! ”

“ Je dis : cent-cinq unités, quatre dixièmes., deux centièmes, trois millièmes. Je puis dire aussi : cent-cinq unités, quatre-cent-vingt-trois millièmes. En effet: 4 dixièmes valent 40 centièmes, et 2 font 42 ; chaque centième vaut 10 millièmes; les 42 en valent 420, et 5 font 425 Jllillièmes. Ainsi l'énonciation revient à centcinq unités quatre cent-vingt-trois millièmes. ”

“ Les dixaines de mille devant occuper le cinquième rang, les centaines de mille le sixième, les millions le septième, il faudra cinq signes pour écrire des dixaines de mille, par exemple, 10000, 20000, 50000, 40000, 50000., 60000, 70000, 80000 , 90000 qu'on énonce dix mille, vingt mille, trente mille, quarante mille, cinquante mille, soixante mille, soixante et dix mille, quatre-vingt mille, quatre-vingt dix mille; il en faudra six pour écrire des centaines de mille et sept pour écrire des millions , ainsi 100000 signifie cent mille et 1000000, un million. ”