J.-B. Bouillet

“ DES PROGRESSIONS PAR QUOTIENT OU GÉOMÉTRIQUES.
D.Qu'appelle-t-on progression géométrique?
R. Une progression géométrique est une suite de termes dont chacun est égal à celui qui le précède, multiplié par un nombre constant appelé raison de la progression. Ainsi, f-f4 : 8 : 16 : 32 : 64 : est une progression géométrique, puisqu'un terme qui en précède un autre, le contient exactement la raison de cette progression.
Cette progression est appelée croissante, parce que tous les termes augmentent suivant un terme invariable appelé raison. ”

“ D'après un énoncé déterminé, il faut faire attention à la nature de chaque nombre qui y entrer combiner ensuite les différents rapports avec celui que l'on - cherche, et établir ensuite des opérations qui puissent le déterminer. La principale chose nécessaire pour résoudre un problême quelconque, c'est de le bien posséder ou d'en bien connaître la théorie ; cependant cette connaissance ne suffit pas; car en bien saisir l'énoncé, c'est une faculté dépendante de notre intelligence et de notre esprit, qui ne s'acquiert que de l'usage, et dont nous ne pouvons donner de règles générales et fixes. ”

“ En divisant un nombre quelconque par une fraction, le quotient sera toujours plus grand que le dividende. Il est clair que, suivant que le diviseur vaut plus, moins ou autant que le dividende, le quotient vaut aussi plus, moins ou autant que ce même dividende. ”

“ Toute fraction ordinaire qui ne peut être exactement réduite en décimales, conduit à une fraction périodique.
En effet, la division ne pouvant être faite exactement une fois qu'on a un reste déjà obtenu, à côté duquel mettant un zéro, on a donc un même dividende, qui, nécessairement donne le même chiffre au quotient : ce que démontre la réduction suivante de la fraction ; en décimales, approchée du quotient à moins d'un millionième près. ”

“ Que plus il y a de parties dans une valeur, plus ces parties sont petites; et que moins il y en a, plus elles sont grandes.
On veut réduire 5 kilomètres en décimètres.
Le kilo étant mille fois plus grand que l'unité, il est clair que les 5 kilomètres doivent valoir 5000 mètres; mais puisqu'on demande ce que ces 5 kilomètres doivent
donner de décimètres, et que le décimètre est dix fois moins grand que le mètre, et dix mille fois moindre que le kilomètre, il est évident que ces 5 kilomètres doivent donner 50000 décimètres pour la valeur de 5 kilomètres. ”

“ Pour réduire un nombre fractionnaire en nombre décimal, il faut réduire les unités en fraction, et ajouter à la suite du numérateur autant de zéros qu'on veut avoir de décimales au quotient, et le diviser ensuite par le dénominateur. ”

“ Une réunion d'unités de choses dissemblables ne forme pas un nombre ; car on ne saurait comparer à une même unité, des objets de nature différente. On ne saurait, par exemple, ajouter des francs avec des toises, et dire que le nombre forme des toises plutôt que des francs, ou des francs plutôt que des toises. ”

“ R. 1° Que dans une division partielle on ne peut mettre plus de 9 à la racine ; 2° Qu'un chiffre mis à la racine carrée d'un nom b re est trop grand, lorsque le carré des chiffres de la racine est plus grand que l'ensemble des tranches sur lesquelles on a déjà opéré ;
3° Qu'un chiffre mis à la racine est trop faible, relativement au reste, qui doit toujours être moindre que le double des chiffres de la racine plus un 4° Que tout nombre terminé par un nombre impair de zéros, ou par 2, 3, 7, 8, ne peut être un carré parfait. ”

“ Quelquefois, pour résoudre des règles desociété, on se sert de la règle d'une fausse supposition, quand l'énoncé ne fournit pas les moyens d'agir d'après les définitions. Cette opération diffère de la règle de société, en ce qu'au lieu de prendre des parties proportionnelles données dans le problème, on en prend une arbitrairement à laquelle on conforme toutes les autres, ainsi que nous allons le faire voir par le problème cidessus. ”

“ EXEMPLE: Un ouvrier gagne 2f,5 par jour; combien mettra-t-il de temps pour gagner 534f,584?
2° Que le diviseur contienne plus de chiffres décimaux que le dividende ; alors on ajoute à la suite du dividende autant de zéros qu'il en faut pour compléter les décimales du diviseur, et l'on ne sépare rien au quotient: les deux facteurs sont considérés comme renfermant des unités entières. ”

“ R. La soustraction est une opération par laquelle on retranche un nombre d'un autre nombre.
D. Comment appelle-l-on le résultat de cette opération ?
R. On l'appelle reste, excès ou différence.
D. Comment se fait cette opération ?
R. Pour faire cette opération, il faut écrire le moindre nombre sous le plus grand, de manière que les unités, les dixaines et les centaines soient dans de mêmes rangs, et souligner ensuite l'opération; on retranche chaque nombre inférieur du nombre supérieur correspondant, et l'on écrit le reste au-dessous de la colonne où l'on opère, et zéro s'il ne reste rien. ”

“ Le mètre sert à mesurer les petites surfaces.
2° L'are est l'unité de superficie ou de mesure agraire ; c'est un carré qui a 10 mètres de côté, il contient donc 100 mètres carrés: sa surface, exprimée en toises, est de 26 toises carrées et 324 millièmes de toise carrée.
3° Le stère est l'unité de volume; c'est un mètre cube, c'est-à-dire ( on appelle cube un corps terminé par six côtés égaux, tel qu'un dé à jouer) , un cube dont le côté est égal au mètre : il sert à mesurer les pierres, les bois, et en général les corps massifs; il équivaut à 29 pieds cubes et 173 millièmes de pied cube. ”

“ Un marchand de vin veut mêler du vin à 15 sous le litre avec du vin à 8 sous le litre, pour en avoir qu'il puisse vendre 12 sous le litre : on demande combien il en doit prendre de chaque sorte pour former ce mélange. ”

“ D. Que faudrait-il faire si dans un nombre proposé il manquait quelque tranche, ou si dans les différentes tranches il manquait ou des unités, ou des dixaines, ou des centaines?
R. Il faudrait suppléer aux chiffres qui manqueraient par des zéros.
Par exemple : pour écrire soixante billions, cent quatre mille, vingt unités, on observe que la tranche des millions est omise, ou qu'il n'y en a point, et qui doit être remplacée par des zéros; que dans la tranche des mille il manque les dixaines, et qu'on doit, par la même raison, remplacer par des zéros ”

“ Un ouvrier fait un certain ouvrage chez un entrepreneur où il reste 25 jours ; mais les derniers 15 jours on est obligé de lui adjoindre un ouvrier pour terminer l'ouvrage. L'ouvrage étant fait, ils reçoivent ensemble 210 francs : on demande ce que chacun a gagné en tout, et combien par jour, sachant que si le premier eût pu faire tout l'ouvrage en 25 jours, il aurait gagné 48 sous de plus par jour. ”

“ Toute proportion géométrique renferme quatre termes, dont le premier et le quatrième se nomment extrêmes , et le deuxième et le troisième se nomment moyens.
Dans toute proportion géométrique, le produit des extrêmes est égal au produit des moyens. ”

“ Deux marchands échangent leurs marchandises ; l'un a du ruban qui vaut 2 francs le mètre, et en échange il le fait valoir 5 francs; l'autre a du calicot qui vaut 2f,50 le mètre, et en échange il le fait valoir 3f,80 : on demande quel est celui qui gagne le plus.
Solution. Par la nature du problême, on voit qu'il faut d'abord savoir ce que vaudront 2f,50, prix du calicot, relativement au ruban du premier marchand. Nous dirons donc : si 2 francs, argent comptant, valent 5 francs en échange, que vaudront 2f,5o, argent comptant? 2f 5f : : 2f,50 : x = 6f,25. ”

“ Il est incontestable que la grande facilité qu'a l'élève de l'arithmétique, tant par les connaissances d'une théorie générale que par son habileté à résoudre les problêmes, aura infailliblement sur d'autres élèves qui ne la posséderont qu'imparfaitement, des avantages marqués dans la culture des études mathématiques. ”

“ R. Il y en a un qui est très-facile. Lorsque parmi les dénominateurs des fractions à réduire, il se trouve un nombre multiple des dénominateurs des fractions, il faut prendre ce nombre multiple pour dénominateur commun ; et pour compensation, multiplier le numérateur de chaque fraction par le nombre de fois que le dénominateur respectif est contenu dans le dénominateur multiple. ”

“ On peut généralement envisager trois sortes de problêmes; des problêmes déterminés, indéterminés et impossibles. Un problême est déterminé, lorsqu'un nombre satisfait exactement aux données de son énoncé, sans avoir égard à la marche suivie pour le déterminer.
Par exemple: Une personne gagne 18 fr. en 6 jours, combien gagnera-t-elle en 2 5 jours ? ”

“ Un nombre est concret ou déterminé, lorsqu'en l'énonçant on désigne l'espèce d'unités, comme vingt hommes, cinquante mètres, etc.
Un nombre est abstrait ou indéterminé, lorsqu'en l'é- nonçant on ne désigne pas l'espèce d'unités, comme douze, quinze, etc.
Remarque. Le nombre entier, le nombre fractionnaire et le nombre décimal peuvent toujours être soit déterminés , soit indéterminés, mais le nombre complexe ne peut être que déterminé; car, pour former un nombre complexe, il faut savoir de quelle nature est l'unité principale pour déterminer les unités de sous-espèces. ”

“ Pour écrire le nombre trois millions, cinquante mille, trente-sept centmillionièmes, on observe que ce nombre doit être composé de huit chiffres; que les dixièmes, les millièmes, les centmillièmes, les millionièmes manquent, et doivent par conséquent être remplacés par autant de zéros : ce nombre doit donc être écrit : 0,03050037, en mettant également un zéro à la place des unités entières. ”

“ Remarque. En faisant une multiplication quelconque, il faut seulement avoir égard, par la nature de la question, de quelle espèce est le multiplicande pour y conformer le produit.
D. Comment se fait la multiplication d'un nombre composé de plusieurs chiffres par un nombre d'un seul chiffre?
R. Après avoir écrit le multiplicateur sous le multiplicande, et les avoir soulignés, on multiplie les unités
du multiplicande par le multiplicateur, et si le produit ne renferme que des unités simples, on l'écrit sous le chiffre multiplié ”

“ On emploie 40 ouvriers par jour; 20 sont payés à raison de 2f, 50, 10 a i'. go et 10 à 1 30 : on demande à combien chaque ouvrier revient par jour l'un dans l'autre.
On peut voir si cette opération est plutôt une règle de mélange qu'une règle d'alliage : à proprement parler, elle n'est ni l'une ni l'autre, mais sa solution a une analogie à la première règle de mélange.
Remarque. Si, d'un alliage quelconque on connaît la valeur totale et la valeur particulière de chaque métal, on en veut déterminer la quantité, il faut supposer qu'il n'y ait dans l'alliage qu'une sorte de métal ”

“ Un orfèvre achette un lingot dans lequel il y a 4 onces d'or et 6 onces d'argent pour 420 francs ; il en achette ensuite un autre dans lequel il y a 20 onces d'or et 9 onces d'argent pour 1974 francs. On demande combien lui coûtaient l'once d'or et l'once d'argent, sachant que l'once d'or est au même prix dans l'un que dans l'autre lingot, ainsi que l'once d'argent. ”

“ Nous dirons donc : si le capital 100 francs produit 5 francs d'intérêt par an, le capital 7500 doit donc en produire un proportionnel à 100 francs, c'est-à-dire qu'autant de fois que 7500 francs contiendront 100 francs, autant de fois aussi ce même nombre contiendra 5 francs. En résolvant l'opération par les proportions, nous aurons : 100f * 5f * * 7500f | x ”

“ Un oncle laisse par testament 66800 francs à cinq neveux âgés respectivement de 36 ans, 3o ans, 24 ans, 16 ans et 15 ans. Ils doivent se partager cette somme d'après les conditions que, si l'un a un certain nombre de fois plus d'âge que l'autre, il recevra aussi le même nombre de fois moins : on demande ce que chaque neveu recevra. ”

“ Les quatre premières proportions démontrent qu'une proportion quelconque n'est pas détruite, lorsqu'on transpose les moyens et les extrêmes; et les quatre autres proportions font voir qu'une proportion ne change pas , lorsqu'on met les extrêmes à la place des moyens, et les moyens à la place des extrêmes. ”

“ L'addition, la soustraction, la multiplication et la division des nouvelles se font comme celles des nombres décimaux.
Quelques petits problêmes seront non-seulement utiles pour cette matière d'arithmétique, mais encore pour les décimales.
PROBLÈMES ANALYTIQUES SUR LES NOUVELLES MESURES.
1er PROBLÊME.
Combien doit-on payer le mètre d'une certaine étoffe, sachant que le kilomètre coûte 25000 francs ?
Solution. Il est clair que le mètre coûtera mille fois moins que le kilomètre, puisqu'il est mille fois-moindre ”

“ Un fabricant convient avec un ouvrier de lui donner 5 francs chaque jour qu'il travaillera dans sa fabrique; mais à condition qu'il lui retiendra sur son paiement le -j- d'une journée pour chaque jour qu'il ne travaillera pas.
Au bout de 25 jours, l'ouvrier demande son compte, et il ne reçoit que 25 francs; on demande combien de jours cet ouvrier a travaillé. ”

“ R. C'est un nombre qui est composé d'unités entières et de fractions d'unité : comme 42f25, qu'on énonce en disant quarante-deux francs vingt-cinq centimes.
D. Qu'appelle-t-on chiffres décimaux ?
R. On appelle chiffres décimaux, ou décimales, les chiffres qui suivent la virgule, comme 0,f450 , qu'on énonce en disant quatre cent cinquante millièmes.
Remarque. On conçoit qu'une unité, quelle qu'elle soit, livre, toise, mètre, etc., est composée de dix unités appelées dixièmes, ces dernières en dix unités appe-
lées centièmes, comme on imagine la dixaine composée de dix unités simples. ”

“ Remarque. On peut se dispenser d'écrire o lorsqu'il ne reste rien après avoir fait la soustraction.
A la droite du chiffre 6 j'abaisse le chiffre 4i et je dis : en 6 combien de fois 2 ? Il y est 2 fois que j'écris à la droite du chiffre 3. Je multiplie 2 par 4i et je retranche le produit 8 de 14, il reste 6 que récris sous le chiffre 4. Je multiplie ensuite 2 par 2, au produit 4 j'ajoute 1 que j'ai retenu, et retranchant la somme 5 de 6, il reste 1.
A côté du reste- 16 j'abaisse le chiffre suivant 5, et je dis: en 16 combien de fois 2? Il y est 6 fois que récris au quotient. ”