Décimal

“ Le plus souvent, dans l'énoncé d'un nombre décimal, au lieu d'indiquer séparément le nombre de dixièmes, le nombre de centièmes, le nombre de millièmes, etc., on énonce la fraction décimale comme un seul nombre à la suite duquel on met le nom de la dernière unité décimale. ”

“ Lorsqu'on a un nombre décimal à multiplier par une fraction , ou bien une fraction par un nombre décimal , on opère sur ce nombre décimal comme sur un entier, et au produit on rétablit les chiffres décimaux négligés. ”

“ Comment lisez-vous un nombre écrit en chiffres ? Comment écrivez-vous en chiffres un nombre donné ?
Qu'appelez - vous fraction décimale ? — Qu'est - ce qu'un dixième, un centième , un millième, etc. ? —
Donnez une idée de leur formation? — de leur numération ? — Parlez de la virgule ? — Quel est l'usage du zéro dans les nombres entiers et dans les nombres décimaux? — Comment écrivez - vous un nombre décimal? — une fraction?— Comment lisez - vous une fraction décimale écrite ? - un nombre décimal ? —
N'y a-t-il pas plusieurs manières d'énoncer la même grandeur décimale? ”

“ Définition des nombres décimaux. — 171. Différentes manières dont peut s'énoncer la valeur d'un chiffre décimal; lecture d'un nombre décimal. - 172. On peut ajouter des zéros à la droite d'un nombre décimal. - 175. Moyen de multiplier ou de diviser un nombre décimal par une puissance de 10. — 174. Une unité décimale d'un certain ordre est toujours plus grande que la somme des nombres exprimés par les chiffres qui la suivent. ”

“ Pages cernant la conversion d'une nouvelle mesure, exprimée par un nombre décimal, à l'une quelconque des unités multiples ou sous-multiples de son espèce. Le nouveau système de mesures détruit l'ancien. Les opérations élémentaires sur les nombres exprimant des mesures nouvelles sont celles prescrites pour les nombres décimaux abstraits. ”

“ RÈGLE. Pour diviser un nombre décimal par un nombre entier, on fait la division comme- à l'ordinaire, en ayant soin. de placer une virgule au quotient avant d'abaisser la première décimale du dividende. Quant à la fraction qui complète le quotient, elle est rapportée à l'unité du dernier ordre décimal.
Remarqué. On pourrait raisonner ce 1" cas de ia division en prenant le 23e des unités des différents ordres du dividende, comme on l'a fait pour les nombres entiers. ”

“ DÉFINITIONS. Une fraction décimal e périodique est une fraction décimale dans laquelle un certain nombre de chiffres-consécu- tifs se reproduisent dans le même ordre et indéfiniment. Une période, en valeur absolue, est l'ensemble des chiffres consécutifs qui se reproduisent indéfiniment.
Il y a une suite indéfinie de périodes consécutives.
Une fraction décimale périodique simple est une fraction décimale périodique dans làquelle la période commence immédiatement après la virgule. ”

“ Nombre décimal est un nombre entier réduit en parties décimales, & les parties décimales sont les parties dans lesquelles ce nombre est réduit. Pour entendre ceci, il faut savoir que pour la commodité des calculs, on partage l’unité en dix parties, chacun de ces dixièmes en dix parties qui sont des centièmes de l’unité, chaque centième en dix parties, qui sont des millièmes de l’unité, chaque millième en dix parties, & ainsi de suite à l’infini. ”

“ Il n'y a rien de si simple que les divisions nouvelles, qui sont toutes basées sur le système décimal. Très-certainement il est plus aisé et plus prompt de calculer des grammes, des hectogrammes et des kilogrammes, que des livres, des onces, des gros, etc. ”

“ Un nonabre décimal devient 100, 1000, 10000, fois .plus grand quand on avance la virgule de 2, 3, 4, places vers la DROITE.
REMARQUE. On peut avancer la virgule d'autant de places qu'on voudra, en mettant d'abord un ou plusieurs zéros à la droite du nombre décimal; de cette manière, on peut le rendre à volonté 100, 1000, 10000, fois plus grand, quel que soit le nombre pri- mitif de ses décimales.' Pour rendre, par exemple, 10000 fois plus grand le nombre 3,47, j'écris d'abord 3,4700 ”

“ Multiplier un nombre décimal par 10, 100, 1000..., c'est répéter 10, 100, 1000... fois ce nombre: c'est donc le rendre 10, 100, 1000 ... fois plus grand. Or on a vu (p. 25, n° 69) que, pour rendre un nombre décimal 10,100,1000 ... fois plus grand, il faut avancer la virgule de 1, 2, 3 ... rangs vers la droite. ”

“ Trois dix-millièmes est trop fort, mais il est plus près.
[ On doit multiplier les exemples de décimales : peu de choses forment autant l'esprit aux abstractions mathématiques, que les espèces de phénomènes que produisent leur emploi dans la multiplication et la division ; d'ailleurs comme, grâce au ciel, leur usage doit devenir général pour tous les emplois dans la vie civile, on ne peut trop y être accoutumé.
On pourra faire faire des additions de décimes et centimes, et d'autres fractions de la même nature ] .. ”

“ Méthodes abrégées pour la Multiplication et la Division des fractions décimales.
THÉODORE. — Je vais vous montrer des méthodes abrégées pour la multiplication et la division des fractions décimales.
HENRI. — Voilà encore une de ces récréations assez amusantes, des multiplications et des divisions de fractions décimales; cela doit être effectivement très-amusant.
THÉODORE. — Plus que vous ne croyez; c'est plus qu'amusant, c'est instructif tout à la fois.
ALPHONSE. — Nous aurions voulu de ces opérations où il y a de petits artifices curieux qui délassent de la fatigue des chiffres. ”

“ Lorsque la division donne un reste, pour compléter le quotient par des décimales, on ajoute le nombre de zéros nécessaires pour le nombre de décimales que l'on veut obtenir, et ensuite on continue l'opération comme à l'ordinaire, en ayant soin de séparer la partie entière de la partie décimale par une virgule. ”

“ R, Le mètre et le gramme admettent tous les multiples et tous les sous-multiples ; l'are n'admet qu'hecto et centi ; le stère n'admet que déca et déci; le litre les admet tous, excepté myria et milli ; et le franc n'admet que les sous, - multiples , sous les noms de décime, centime et millième.
95. D. Pourquoi le système métrique est-il appelé décimal ?
R. Le système métrique est appelé DÉCI-
MAL, parce que ses multiples expriment des nombres qui égalent dix, cent, mille, dixmille unités, et ses sous-multiples, des nombres qui sont la dixième, la centième, la millième partie de l'unité. ”

“ Une fraction décimale est une partie d'entier partagée en parties égales, de dix en dix fois plus petites, et telles que dix parties d'un ordre quelconque sont égales à une partie de l'ordre immédia- tement supérieur.
On appèle aussi fraction décimale, et mieux encore expression fractionnaire décimale , l'assemblage de plusieurs parties de rentier partagé comme il vient d'être dit. Si l'expression parlée ou écrite énonce des entiers réunis à des parties d'entier, on l'appèle nombre fractionnaire. ”

“ REMARQUE. On peut encore lire les nombres décimaux en considérant la totalité des chiffres comme neformant qu'un seul nombre, abstraction faite de la virgule, et en ajoutant à la fin le nom des parties décimales de la moindre grandeur que renferme le nombre proposé.
EXEMPLE. Le nombre décimal 79,4182 se lira: sept cent nonante-quatre mille cent quatre-vingt-deux dimillièmes.
DÉMONSTRATION. Car une dixaine vaut cent mille dimillièmes; donc les sept dixaines vaudront sept cent mille dimillièmes. De même, une unité simple vaut dix mille dimillièmes ”

“ R. Peur réduire les décimales en fractions ordinaires, il suffit de retrancher le zéro qui tient la place des unités, et la virgule, et de donner pour dénominateur au nombre des décimales, l'unité suivie d'autant de zéros qu'il y avait de chiffres décimaux. ”

“ MÉTHODE. Si les termes d'un rapport sont des nombres décimaux , on parvient à les exprimer par des nombres entiers, en effaçant la virgule, après avoir rendu le même, dans chacun des termes proposés, le nombre des décimales , s'il ne l'était pas d'abord. ”

“ MÉTHODE. Pour multiplier une fraction décimale par un
nombre entier, ou un nombre entier par une fraction décimale, on enfin deux fractions décimales l'une par l'autre , il faut opérer romme si c'étaient des nombres entiers, c'est-à-dire, sans faire attention à la virgule, et séparer ensuite, sur la droite dit produit, autant de chiffres qu'il y a de décimales. dans l'un ou l'autre des facteurs, ou dans tous les deux. ”

“ Dans ces sortes de nombres décimaux où l'on peut prendre autant de "chiffres que' l'on veut à la suite de la virgule, parce qu'ils, peuvent se prolonger ainsi indéfiniment par la .répétition d'un certain nombre de chiffres, la partie décimale se nomme fraction décimale périodique. ”

“ Ainsi le nombre décimal 63,645 892 678.
se lira : 63 unités 645 millièmes 892 millionièmes 678 billionièmes.
Remarque II. — On peut encore lire un nombre décimal comme s'il ne renfermait que des unités entières, en lui donnant le nom des décimales du dernier ordre.
Ainsi 3, 45 peut se lire 345 centièmes; car 3 unités égalant 300 centièmes, 3 unités 45 centièmes équivalent, par conséquent, à 345 centièmes.
177. Théorème 1. — Un nombre décimal ne change pas de valeur, soit qu'on écrive ou qu'on efface des zéros sur sa droite. ”

“ De plus, lorsque l’on a à comparer les grandeurs de plusieurs fractions, il est commode qu’elles aient le même dénominateur, condition facilement réalisée si elles ont la forme décimale. Aussi arrive-t-on plus facilement à avoir l’appréciation instinctive des grandeurs relatives lorsque l’on se sert de l’échelle décimale ”

“ Si toutes les mesures avaient été divisées en parties décimales, on aurait vu, dans les dénominations de chacune, comment on en doit faire le calcul, et cette découverte eût été à la portée de tout homme intelligent. ”

“ Pour avoir la racine carrée d'un nombre entier avec un certain nombre de décimales, écrivez à la suite deux fois autant de zéros que vous voulez avoir de décimales, puis extrayez la racine à moins d'une unité, et séparez à la droite de cette racine autant de chiffres décimaux que vous vous êtes proposé d'eit avoir. ”

“ Une fraction décimale n'a pas de partie entière, par quel chiffre la remplace-t-on ?
23. Quel nom donne-t-on aux chiffres décimaux qui occupent le troisième rang à droite de la virgule ? — le premier rang ? — le quatrième rang ? — le deuxième rang ?
24. Si un ordre manque dans une fraction décimale, par quel chiffre le remplace-t-on ?
25. Comment rend-on un nombre entier 10, 100, 1000... fois plus grand ?
26. Rendez le nombre 36 cent fois plus grand et expliquez votre manière de faire.
27. Comment rend-on 10, 100, 1000.,. fois plus petit un nombre entier terminé par des zéros ? ”

“ Exemple. Dans la question 30 où il y a un nombre qui a des décimales, et l'autre qui n'en a pas, il faut, pour avoir la vraie valeur au quotient, y ajouter autant de zéros que l'autre nombre a de décimales. ”

“ Comme l'expression des quantités sourdes en parties décimales se complique d'autant plus qu'on veut approcher davantage, on substitue aux décimales, des fractions continues qui donnent, en expressions plus simples, des valeurs équivalentes, à peu de chose près. ”

“ Un zéro réduit un entier en décimes ; deux , en centièmes ; trois, en millièmes ; quatre, en dix-millièmes, etc. Ceci suffit pour connaître la valeur des fractions décimales. Un seul chiffre fractionnaire représente des décimes ; deux des centièmes ; trois, des millièmes ; quatre, des dix millièmes.
moindres que le diviseur, sans quoi le dividende contiendrait le diviseur plus de fois qu'on ne le dit au quotient.
RÉSUMÉ.
1. Additionner, c'est réunir, c'est fondre ensemble plusieurs nombres de même nature, pour en former un qui vaut, à lui seul, tous les autres séparés. ”

“ Une base fondamentale prise dans la nature ; d'après cette base naturelle , la base qui en est formée devenant à son tour la base commune de toutes les mesures néoes-r saires aux usages de l'homme dans tous ses rapports avec ses semblables, soit par elle-même , soit par ses valeurs croissantes et- décroissantes, qui ne sont qu'une émanation d'elle-même, dont la division décimale est en quelque sorte le ciment. ”

“ Elle est fort en usage dans la pratique des Mathématiques; la formation et le calcul des décimales sont
absolument les mêmes que pour les nombres ordinaires ou entiers : nous allons les faire connoître.
21.0 Pour évaluer en décimales les parties plus petites que l'unité, on conçoit que cette unité, quelle qu'elle soit, livre, toise, etc., est composée de 10 parties, comme on imagine la dizaine composée de dix unités simples, ou comme on imagine la livre composée de vingt sous. Ces nouvelles unités, par opposition aux dizaines , sont nommées dixièmes ”

“ Un franc cinq décimes.
DÉCIMÈTRE (masc.) , fraction décimale du mètre, et sa dixième partie, composée de déci et de mètre ( racine cubique du LITRE) , propre aux fractions du mètre pour évaluer les longueurs. Un bois d'un décimètre cube. Trois mètres cinq décimètres de haut.
DÉCISTÈRE ( masc. ) , fraci ion décimale du stère, et sa dixième partie, composée de déci et de stère, mesure propre pour les faGots, et son double pour les falourdes.
F FRAN (masc. ) 7 unié des monnaies de l'ETAT. Le
franc d'argent est du poids de cinq grammes d'un 1'0 d'alliage. ”

“ Numération, opérations fondamentales; caractères de divisibilité ; nombres premiers et nombres premiers entre eux ; théorie du plus grand commun diviseur entre deux ou plusieurs nombres ; décomposition d'un nombre en ses facteurs premiers, exposé des différents systèmes de numération; opérations sur les fractions ordinaires et sur les fractions décimales; conversion des fractions ordinaires en fractions décimales et réciproquement; opérations sur les nombres complexes; extraction des racines carrées et cubiques, des nombres entiers et des fractions ; système métrique. ”