Fraction continue

“ Il n’y a en somme qu’un seul élément, une fraction uniforme, qui ne peut être influencé que par l’accroissement du nombre, car la fraction change de valeur en proportion du nombre total auquel elle se rattache. ”

“ A moins de dérouler devant toi, ma chère Élisa, l'immense tableau de ce qui, dans l'univers connu, a reçu le nom d'unité, on ne saurait effleurer que d'une manière imparfaite la théorie des fractions: il faut, en ceci, se contenter du principe. Fort heureusement, le calcul décimal nous offre une compensation, un terme moyen fort agréable ; toute fraction possible peut se réduire en décimales ; et j'ai l'avantage de t'annoncer, pour la première fois, que les fractions anciennes n'existent plus que pour ceux qui persistent à s'en servir. ”

“ MS. Définition des fractions. — 146. Les fractions peuvent être plus grandes que l'unité. — 147. Les nombres entiers peuvent être considérés comme des fractions, et cela d'une infinité de manières. —
148. Une fraction est le quotient de la division de son numérateur par son dénominateur. ”

“ Il y a exception pour les dénominateurs 2, 3, 4; au lieu de deuxième, troisième, quatrième, on dit demi, tiers, quart.
Lorsqu'une grandeur est une fraction de l'unité, cette fraction est le nombre qui lui sert de mesure. ”

“ Dans tout ce que l’on entreprend, il faut donner les deux tiers à la raison et l’autre tiers au hasard. Augmentez la première fraction, vous serez pusillanime ; augmentez la seconde, vous serez téméraire. ”

“ Tout rapport commensurable est égal à une fraction à termes entiers. — 208. Rapports inverses; le produit de deux fractions inverses est l'unité. — 209. Si deux grandeurs sont représentées par des nombres, leur rapport est égal au quotient de la division de ces nombres. — 210. Définition des proportions. ”

“ On appelle nombre le résultat que l'on obtient en mesurant ou en comptant une grandeur. Or, lorsqu'on mesure une grandeur, il peut arriver : 1 ° qu'elle contienne son unité un nombre exact de fois; 2° qu'elle ne soit qu'une ou plusieurs parties de son unité; 3° qu'elle contienne son unité une ou plusieurs fois avec un reste. De là trois espèces de nombre : le nombre entier, la fraction et le nombre fractionnaire. ”

“ Qu'est-ce qui doit avoir lieu dans une fraction pour qu'elle soit plus grande que l'unité ?
Pour qu'elle soit égale à l'unité ?
Pour qu'elle soit plus petite que l'unité ?
11. Comment rend on une fraction 2, 3,4 fois plus grande ? — Donnez un exemple.
12. Comment rend-on une fraction 2, 3, 4 fois plus petite ? — Donnez des exemples.
13. Que devient une fraction dont on multiplie ou dout on divise à la fois les deux termes par un même nombre ? — Donnez des exemples.
14. Comment réduit-on un entier en fraction ? Prenez pour exemples 5 à réduire en huitièmes, 7 à réduire en vingtièmes, etc. ”

“ Ces nouvelles parties d'unités se nomment fractions ordinaires par opposition aux parties décimales qu'on appelle aussi fractions décimales.
71. Qu'est-ce donc qu'une fraction ?
Une fraction est une ou plusieurs parties
de l'unité divisée en un nombre quelconque de parties égales.
72. Comment représente-t-on les fractions ?
On représente les fractions par deux nombres placés l'un au-dessous de l'autre et séparés par un trait horizontal.
73. Comment appelle-t-on les deux nombres qui représentent une fraction ?
Le nombre supérieur s'appelle numérateur ”

“ Pour réduire ces fortes de fractions à une feule fraction, fans changer leur valeur l'on n'a qu'à multiplier le numérateur de l'une par le numérateur de l'autre, & le dénominateur de l'une par le dénominateur de l'autre, & le produit Vous donne une friction qui repréfente la même fomme que la fraction de fraction. ”

“ Et de l'autre part, l'utilité d'exposer, 1° les moyens à l'aide desquels on parvient à la décomposition d'un produit ou d'un nombre quelconque, en ses facteurs premiers ou non premiers ; 2°. De faire connaître qu'on peut simplifier une fraction irréductible, par le moyen des fractions continues, procédé employé parfois, aux dépens de l'exactitude, pour juger, d'une manière très approchée, de la valeur d'une fraction, qui, réduite à sa plus simple expression, reste encore sous la forme de nombres considérables et premiers entre eux. ”

“ Quand deux fractione sont égales, elles forment une proportion à laquelle ou peut appliquer toutes les propriétés des proportions arithmétiques, et en particulier celle-ci : le produit des extrêmes est égal au produit des moyens.
Enfin, lorsque plusieurs fractions sont égales, la fraction qui a pour numérateur la somme de leurs numérateurs, et pour dénominateur la somme de leurs dénominateurs, est égale à chacune des fractions proposées. ”

“ On dit qu'un nombre est entier, quand il est formé par rassemblage d'unités entières. Trois metret, cent litres.
Mais on peut partager, par la pensée ou autrement, une unité en autant de parties que l'on veut, et chaque partie est une fraction. — On peut concevoir la réunion de deux ou plusieurs fractions, et le nombre qui les exprime s'appelle aussi une fraction, ou mieux, une expression fractionnaire. Tels sont : trois quarts de mètre, vingt-deux centièmes de mètre. ”

“ REAfARQUE I. Comme un nombre entier peut être assimilé à une fraction dont le dénominateur est 1, .on peut comprendre, dans le cas général de la multiplication d'une fraction par une fraction, tous les cas où l'un des facteurs est un nombre entier ”

“ Pour se faire une idée nette des fractions , il faut concevoir que la quantité qu'on a prise d'abord pour unité, est elle-même composée d'un certain nombre d'unités plus petites, comme l'on conçoit, par exemple, que la livre est composée de vingt parties ou de vingt unités plus petites, qu'on appelle sous.Une ou plusieurs de ces parties forment ce qu'on appelle une fraction de l'unité. ”

“ Que celui qui aurait de la peine à saisir la définition des fractions se figure quelqu'un
qui, comptant des feuilles de papier (ou unités) , en découpe une en sept parties égales, par exemple, et prend à la main trois de ces parties; 5 est le numérateur , car il indique combien on a de parties , et 7 est le dénominateur , il désigne combien il faut des ces parties pour faire l'unité.
(27) . Une fraction se convertit en nombre décimal par la division (23) .
(31) .Exemples de Multiplication et de Division. ”

“ Après avoir opéré comme ci-dessus pour la preuve de la division , il est venu 32 entiers comme le dividende , et c'est la preuve.
Nous parlerons en peu de mots des fractions de fraction ; c'est une suite de fractions séparées par l'article de; comme 'A de 3/4 ; 3/8 de 5/6 de 7/9 ; etc., sont des fractions de fraction ; on opère par un moyen bien simple, c'est de les réduire à une seule fraction, en multipliant tous les numérateurs entr'eux et tous les dénominateurs entr'eux. ”

“ Si on ajoute aux deux termes de la fraction des nombres de plus en plus grands, on obtiendra une série de fractions croissantes, et qui s'approcheront de l'unité autant qu'on voudra, en restant constamment moindres que l'unité. ”

“ La multiplication et la division des fractions se ramenant à des multiplications sur des nombres entiers, les élèves doivent être exercés à supprimer les facteurs communs aux deux termes de la fraction résultante avant d'effectuer les multiplications. ”

“ Peut-on dire de quelle fraction de lui-même le plus grand est égal au plus petit ou le plus petit supérieur au plus grand ? Non assurément. Car comment préciser quel est le tiers de 10 ou le quart de 1 1 ? Et, en parlant de fi action, j’entends une fraction irréductible comme ‘/2, Vs. ”

“ Tout nombre entier pouvant être considéré comme une fraction, dont le nombre entier est le numérateur, & l’unité le dénominateur, si l’on ajoûte le même nombre de zéro au numérateur & au dénominateur, le nombre entier, considéré comme fraction, sera changé en nombre décimal sans changer de valeur. ”

“ En arithmétique, la grandeur à diviser est représentée par un nombre, et on cherche le nombre qui représente le quotient.Pour diviser une grandeur par une fraction, il suffit de la multiplier par la fraction diviseur renversée.
Soit, par exemple, à diviser par A 7 une grandeur que j'appelle A. Par définition, A est égal à quatre fois le septième du quotient. Ce septième est donc le quart de A, et par conséquent le quotient est les sept quarts de A, ou le produit de A par la fraction i. Ce qu'il fallait -démontrer. ”

“ La fraction n’existe pas non plus dans la Nature, où ce que vous nommez un fragment est une chose finie en soi ; mais n’arrive-t-il pas souvent, et vous en avez des preuves, que le centième d’une substance soit plus fort que ce que vous appelleriez l’entier ? Si la fraction n’existe pas dans l’Ordre Naturel, elle existe encore bien moins dans l’Ordre Moral, où les idées et les sentiments peuvent être variés comme les espèces de l’Ordre Végétal, mais sont toujours entiers. La théorie des fractions est donc encore une insigne complaisance de votre esprit. ”

“ Eh bien ! dès qu'il fut posé, la solution fut donnée. L'interrogateur était M. Courtial, examinateur des écoles spéciales et professeur de mathématiques à l'école industrielle de la rue de Charonne.
Or voici toute son opération;—les mathématiciens pourront en chercher les causes ; ce n'est pas dans une biographie que j'en puis faire la démonstration. —Prenez le dénominateur de la fraction, retranchez-en un : vous avez le nombre de personnes. Multipliez ce nombre par le nombre de litres pris par le premier, c'est-à-dire par 100, et vous aurez vos quantités égales prises par chacun. ”

“ Si j'ai donné quelques exemples d'addition avec fractions , mon but est de faire concevoir ce que c'est r qu'une fraction, les élèves par ce moyen s'y habituent de bonne heure , elles leur deviennent familières des le principe, et si elles se rencontrent dans toutes les opérations elles ne peuvent surprendre ni entraver le calculateur qui en a déjà connoissance. ”

“ Exprimez chacun de ces accords par la fraction qui lui est propre ; multipliez ensuite ces deux : fractions ensemble, c’est-à —.dire, numérateur par numérateur, & dénominateur par dénominateur : le nombre qui en proviendra exprimera l’accord qui résulte de la somme de deux donnés.
Exemple premier. Soient la quinte & la quarte à ajouter ensemble ; l'expression de la quinte est 2/3, celle de la quarte est 3/4 : multipliez 2/3 par 3/4 ; le produit est 6/12 ou 1/2, qui est l’expression de l’octave. On sait effectivement que l’octave est composée d’une quinte & d’une quarte. ”