“ Ainsi, lorsqu’un objet est vu sous un fort petit angle, ce qui peut également provenir de sa petitesse réelle ou de son éloignement de l’œil ou de ces deux causes à la fois, l’interposition d’un verre plan à faces parallèles entre l’œil et un tel objet, quelle qu’en puisse être d’ailleurs l’épaisseur, n’a d’autre effet apparent que de rapprocher l’image de cet objet de l’œil, d’une quantité moindre pourtant que l’épaisseur du verre, sans le déformer et sans altérer sensiblement l’angle sous lequel il est vu. ”

“ La construction du polygone (fig. 5) donne un moyen fort simple d’obtenir approximativement l’une quelconque des courbes représentées par l’équation d’en assigner les limites et d’en étudier les principales propriétés.
Si, en effet, est réel, quelle que soit la valeur donnée à on en conclura que la courbe admet des tangentes dans toutes sortes de directions ; et, dans le cas contraire, on pourra assigner la direction des tangentes extrêmes. En prenant les maxima et les minima de on déterminera celles des droites qui limitent les différentes branches de la courbe. ”

“ Cette grande indétermination du problème tient à ce qu’un corps peut être engendré d’une infinité de manières par une infinité de surfaces différentes. Ainsi, pour n’en citer qu’un exemple, si l’on a une série de surfaces toutes inscriptibles à un même cylindre, et si on les fait avancer dans l’espace suivant la droite qui, passant par chacune d’elles, se confondrait avec l’axe du cylindre, si elles lui étaient inscrites, quelque différence qu’il y ait d’ailleurs entre ces mêmes surfaces, leur mouvement engendrera également ce cylindre auquel chacune d’elles est inscriptible. ”

“ On peut, à ce qu’il nous paraît, démontrer aisément, par le seul secours de la géométrie, que ce point est le centre des moyennes distances de tous les sommets du polygone. En effet, la perpendiculaire abaissée du milieu d’un côté sur un plan quelconque est la demi-somme des perpendiculaires abaissées sur le même plan des extrémités de ce même côté ; d’où il résulte que la somme des perpendiculaires abaissées des milieux des côtés est égale à la somme des perpendiculaires abaissées des sommets. ”

“ Le théorème qui vient d’être démontré donne trois conditions pour déterminer le point du plan lorsque les trois points sont donnés ; or, comme deux d’entre elles suffisent pour déterminer ce point, il s’ensuit que chacune d’elles doit être comportée par les deux autres ; c’est-à-dire que les plans conduits par chacune des droites et par la droite qui divise l’angle des deux autres en deux parties égales, se coupent tous trois suivant une même droite, et c’est ce qu’il est facile d’ailleurs de démontrer directement pour les trois arêtes d’un angle trièdre quelconque. ”

“ Il n’en faut pas davantage pour conclure qu’à quelque loi mathématique que puissent être assujetties des droites se succédant sans interruption les unes aux autres dans l’espace, ces droites se distribuent constamment en une série continue de surfaces développables dont elles sont les élémens rectilignes. Les arêtes de rehaussement de ces surfaces développables sont, à leur tour, les élémens curvilignes d’une certaine surface, à laquelle toutes les droites du faisceau doivent être tangentes. ”

“ Les considérations qui viennent de nous occuper ne sont pas particulières à la sphère, et peuvent être étendues à une surface quelconque de révolution. Quelle que soit en effet cette surface, on peut concevoir qu’on étend, en ligne droite un de ses méridiens qui emporte avec lui les parallèles qui passent par tous ses points, et qu’on redresse ensuite ces parallèles, en les maintenant perpendiculaires à ce méridien, et en les assujettissant à être tous dans un même plan. ”

“ On peut remarquer, en effet, que l’équation étant développée et ordonnée par rapport aux trois variables le paramètre entrera dans tout ou partie des coefficiens ; et tant que, par la variation de ce paramètre, ces coefficiens ne changeront pas de signe, la surface ne changera pas de nature. Il faudra donc nécessairement, pour qu’elle passe d’une nature à une autre, que la variation de fasse changer les signes d’un ou de plusieurs de ces coefficiens, ce qui, comme l’on sait, ne pourra avoir lieu qu’autant qu’ils passeront par zéro ou par l’infini. ”

“ Soient les distances d’un point à des points fixes dans l’espace. Soient les distances du même point à des points mobiles sur des lignes fixes. Soient enfin les distances de ce point à des points mobiles sur des surfaces fixes.
Supposons que ce point soit tellement choisi dans l’espace qu’une fonction déterminée des distances soit un maximum ou un minimum ; et concevons ce même point sollicité, suivant les directions de ces distances, par des forces proportionnelles aux valeurs actuelles des dérivées partielles de prises par rapport à ces mêmes distances ”

“ Lorsqu’on se sera assuré que est une différentielle exacte, les équations (3) et (4) offriront le moyen le plus simple pour remonter à son intégrale par les quadratures seulement. Mais il nous reste à démontrer présentement que toute fonction différentielle qui satisfait identiquement aux dernières équations (3) et (4) est nécessairement par là même une différentielle exacte.
Premièrement, soit une fonction quelconque de
assujettie à la seule condition de satisfaire à l’équation
(7) dans laquelle est une quantité constante quelconque. ”

“ On voit, en vertu de cette dernière équation, que, si l’on prend le produit des équations (1) membre à membre, les sinus disparaîtront des deux membres de l’équation résultante ; il est d’ailleurs visible que les côtés du polygone en disparaîtront aussi ; de sorte qu’il ne restera plus, de part et d’autre, que les produits de segmens dont il s’agissait précisément de démontrer l’égalité.
THÉORÈME I. Soit, dans l’espace, un polygone rectiligne fermé quelconque, plan ou gauche, de côtés, et une droite indéfinie, aussi quelconque. ”

“ Ainsi, par exemple, l’effet de la réfraction atmosphérique sur les rayons de lumière émanés d’une même étoile fixe peut être remplacé par l’action sur ces mêmes rayons d’un miroir de forme invariable mais mobile, qui sera évidemment une surface de révolution autour de la droite qui joindra l’étoile au centre de la terre, et dont l’axe fera une révolution en vingt-quatre heures autour de l’axe du monde. ”

“ L’équation de la courbe cherchée sera donc le résultat de l’élimination de et entre ces trois-là.
Au lieu de ramener le problème à éliminer deux quantités entre trois équations, on peut facilement le réduire à en éliminer une seule entre deux. Remarquons pour cela que l’équation (2) , en considérant et comme deux constantes liées par l’équation (1) , et conséquemment équivalentes à une seule, est l’équation primitive complète de toutes les droites auxquelles la courbe cherchée doit être tangente. ”

“ On sait que dans l’équation
le produit des racines est d’où il suit qu’en divisant par l’une d’elles, on doit obtenir l’autre pour quotient ; puis donc qu’en divisant par l’une d’elles, mise sous forme de fraction continue périodique, on obtient pour quotient cette fraction continue périodique, il s’ensuit de nouveau, comme nous l’avons déjà remarqué ci-dessus, que, sans sa forme unique, cette fraction exprime pourtant les deux racines de l’équation du second degré de laquelle elle est dérivée. ”

“ Je me propose aujourd’hui de corroborer encore mon opinion sur ce point, en prouvant, par de nouveaux exemples, tout ce qu’on peut retirer de cette géométrie qui, bien que restreinte dans ses moyens, n’en est pas, pour cela, moins féconde en résultats importans, et qui jouit en outre du grand avantage d’être à la portée des commençans comme de toutes les autres classes de géomètres ; avantage que n’ont pas au même degré les diverses méthodes dont les modernes ont enrichi la science de l’étendue. ”

“ Soit décomposée la surface cherchée en élémens infiniment petits, par des droites partant du sommet du cône ; soient les points où deux droites consécutives rencontrent la circonférence de sa base et ceux où les deux mêmes droites rencontrent le contour de la section ; le quadrilatère sera la différentielle de la surface de sorte qu’il ne s’agira que d’en intégrer l’expression depuis jusqu’à pour obtenir la moitié de la surface cherchée. ”

“ Généralement, si l’on a l’équation du second degré
où nous supposons et entiers positifs, on en tirera d’abord
et, par suite,
développement qui finira toujours par devenir convergent, quand bien même serait plus grand que mais dont la convergence sera d’ailleurs d’autant plus rapide que et seront de plus grands nombres et qu’en même temps la fraction sera plus petite. ”

“ Les problèmes les plus remarquables de la géométrie plane devraient aussi s’y trouver résolus. La détermination des triangles, des quadrilatères et des autres polygones, au moyen de certaines conditions, le problème du cercle tangent à trois autres, celui du triangle ou du polygone inscrit ou circonscrit dont les côtés passent par des points donnés ou dont les sommets sont sur des droites données, et tous les autres problèmes qui servent de cortège à ceux-là. ”

“ Nous avons fait voir (Annales, tom. XIII, pag. 333-343) que l’équation en y considérant comme une constante arbitraire, représente un système de lignes dont chacune rencontre toutes celles que représente l’équation en un point pour lequel la tangente fait avec l’axe des un angle déterminé par la valeur particulière que l’on suppose à et la considération de cette sorte de transversales nous a conduit directement à la détermination des règles à suivre pour obtenir les solutions particulières des équations différentielles du premier ordre. ”

“ Tout pentagone inscrit au cercle peut être considéré comme un hexagone inscrit dans lequel un des côtés, d’une longueur nulle, est dirigé suivant la tangente à l’un quelconque des sommets du pentagone. ”

“ On peut conclure de là que la masse d’un pareil système est invariable, et que sa surface est toujours formée des mêmes molécules, quelle que puisse être d’ailleurs sa forme primitive. Si donc le fluide est contenu dans un vase de figure quelconque, les molécules qui, pour un instant donné, sont contiguës aux parois du vase, n’ont pu auparavant et ne pourront ensuite que glisser contre ces parois. ”

“ Soit une équation différentielle entre deux variables, et que nous désignerons par et soit son intégrale complète, renfermant et et une constante arbitraire les solutions particulières de l’équation représenteront, comme l’on sait, les diverses enveloppes des lignes, en nombre infini, représentées par l’équation générale et que nous supposons rapportées à deux axes rectangulaires. ”

“ Soit le demi-grand axe de l’orbite d’une planète, ou, ce qui revient au même, sa distance moyenne au soleil, et soit son temps périodique, c’est-à-dire, la durée de sa révolution sydérale ; par la troisième loi de Képler, sera une quantité constante, quelle que soit la planète qu’on aura choisie ”