Paramètre

“ Si nous considérons z comme un paramètre, x et y comme les coordonnées d'un point dans un plan, les équations (3) représentent un certain nombre de courbes planes.
Les singularités de θ données par un système d'équations de la forme φ1 = φ2 = o
correspondront aux points d'intersection de ces courbes; celles qui seront données par un système de la forme
correspondront aux points de contact d'une de ces courbes avec une tangente parallèle à l'axe des y. ”

“ La seule différence est que nous n’avons ici que 2 degrés de liberté et que le paramètre par rapport auquel nous développons et qui joue le rôle de est ici égal à les quantités (23) sont donc des fonctions connues de et de Quant à et ce sont des termes complémentaires quelconques. ”

“ De l’explication mécanique des phénomènes physiques. — Dans tout phénomène physique, il y a un certain nombre de paramètres que l’expérience atteint directement et qu’elle permet de mesurer. Je les appellerai les paramètres q.
L’observation nous fait connaître ensuite les lois des variations de ces paramètres et ces lois peuvent généralement se mettre sous la forme d’équations différentielles qui lient entre eux les paramètres q et le temps. ”

“ Il faut, en outre, se rappeler que, si l’on remplace sous le radical, par l’abscisse relative au paramètre, ce radical exprime alors la moitié du paramètre.
9. Cela posé, soit la parabole (fig. 12 ) dont le paramètre soit égal à ; soient en outre :
. Le diamètre a pour équation :
; on aura donc, pour la courbe, à cause de ,
. faisant donc on posera (8) :
, d’où ”

“ J'ajoute qu'il en est encore de même si l'on a
a = p + iq,
p étant quelconque, et q compris entre — K' et + K', c'est-à-dire tant que le paramètre est représenté par un point compris entre deux parallèles à l'axe des abscisses, menées à la distance K' audessus et au-dessous de cet axe. Dans cet intervalle, en effet, la fonction II (a) est finie et continue, comme le montre la formule
Plaçons-nous maintenant en un point quelconque du plan en changeant a en a + 2 mi K', où m désigne un entier arbitraire. La fonction ll (a) a pour période aR et 2 i K'; le nombre p. ”

“ Exprimons les coordonnées des points de la courbe en fonction du paramètre s = s (t) ; celte formule devient f
elle a lieu presque partout; l'expression presque partout étant relative maintenant à la mesure par rapport à la variable s. Partout où elle a lieu x' (s) , y' (s) , z' (s) existent et ne sont pas toutes trois nulles, donc : si l'on excepte les points d'une courbe rectifiable. donnés par un ensemble de mesure nulle de valeurs de l'arc s. ”

“ Ce Lemme qui, comme l’on voit, n’admet qu’une solution, peut être résolu sans l’intervention du compas. Il n’exige, outre la règle, qu’un instrument à tracer des parallèles, tel qu’une équerre à angles quelconques.
LEMME 3. Étant donnés trois points du périmètre d’une parabole, et une tangente à cette courbe par l’un d’eux ; déterminer la direction commune des diamètres de la parabole ?
Solution. Soient (fig. 11) les points donnés, et soit la tangente donnée, passant par le premier ; et proposons-nous de mener, par le point de contact un diamètre de la courbe [4] . ”

“ Ainsi, par exemple, quoique les coordonnées d'une courbe soient comprises parmi les quantités qu'on nomme variables, parce qu'elles ne sont point du nombre des données; si je me propose une question à résoudre sur la courbe dont il s'agit, comme celle de lui mener une tangente, il faudra, pour établir mes raisonnements et mon calcul, que je commence par attribuer des valeurs déterminées à ces coordonnées, et que je continue à les regarder comme fixes jusqu'à la fin de mon calcul. ”

“ On se sert de mesures quarrées pour évaluer les surfaces ou déterminer les aires des terreins, 1°. parce qu’il n’y a que des surfaces qui puissent mesurer des surfaces, 2°. parce que les mesures quarrées ont toute la simplicité dont une mesure soit susceptible, lorsqu’il s’agit de trouver l’aire d’une surface.
La mesure d’une ligne est une droite prise à volonté, & qu’on considere comme unité. Voyez Ligne.
Les Géometres modernes se servent pour cela de la toise, du pié, de la perche, &c. ”

“ Dès qu’il s’agit de mesurer une surface, c’est au calcul intégral à le faire. La base d’un parallélogramme multipliée par l’élément infiniment petit de sa hauteur, fait un parallélogramme infiniment petit, qui est l’élément du parallélogramme fini, & qui est répété une infinité de fois, c’est à-dire, autant de fois qu’il y a de points dans la hauteur du parallélogramme fini. ”

“ Pour construire une moyenne proportionnelle entre deux lignes droites A et B, c'est-à-dire pour obtenir une droite X telle que l'on ait la proportion A : X : : X : B, tracez une droite AB (fig. 111) , égale à A, prolongez-la de la quantité BC égale à B, décrivez sur AC, comme diamètre, une demi-circonférence , et élevez au point B, sur AC, une perpendiculaire qui rencontrera la demi-circonférence au point S. La droite BS est la moyenne proportionnelle demandée; car si on tire les droites AS et SC, l'angle ASC inscrit dans une demi-circonférence est un angle droit ”

“ C'est ainsi que l'on trouvera d'autres points de la parabole, qu'il faudra joindre par une ligne courbe, etc.
PROBLÈME VIII.
CONSTRUIRE UNE ÉCHELLE PROPRE A LEVER UN PLAN.
Quand on veut lever un plan , et le réduire de grand en petit, l'on en mesure tous les côtés en mètres et centimètres, pour les porter sur le papier d'autant de parties égales prises sur une échelle qui contienne ces parties, que l'on peut prendre pour des mètres et centimètres, et que l'on peut faire plus grandes ou plus petites, selon qu'on voudra avoir sur le papier un plan plus ou moins étendu. ”

“ Baromètre, thermomètre, endosmomètre inscripteur.
La mesure des changements de poids tient une grande place dans l'expérimentation; le physiologiste, le chimiste, le physicien recourent à chaque instant à la pesée. La balance est devenue Pour ainsi dire le symbole de l'exactitude dans les sciences, et pourtant on peut encore améliorer cet admirable instrument en le rendant capable de traduire par une courbe graphique les changements que peut subir le poids des corps sous certaines influences. ”

“ Que ce numérateur représente une minute, une heure, un jour, un siècle ; qu’il représente un kilomètre, un myriamètre, peu importe : il reste toujours vrai qu’étant donné une grandeur quelconque, pourvu qu’elle soit déterminée, si vous en prenez une fraction, cette fraction tendra à devenir nulle ou égale à zéro à mesure que vous diviserez la quantité en parties plus petites, c’est-à-dire à mesure que le nombre des parties où vous le diviserez deviendra plus grand, ou, en d’autres termes, tendra vers l’infini. ”

“ Il est facile de comprendre maintenant les avantages du système métrique : 1° les unités principales, destinées à la mesure des différentes espèces de grandeurs, dérivent toutes du mètre d'une manière simple, et le mètre lui-même est lié à la grandeur du globe terrestre; 2° l'échelle des unités qui se rapportent à une même espèce de grandeur est en harmonie avec notre système de numération ; de sorte qu'une grandeur quelconque s'exprime par un nombre décimal, et que les opérations à faire sur les quantités s'effectuent avec une grande rapidité. ”

“ En un mot, assigner la valeur d'une des coordonnées d'un point dans quelque système que ce puisse être, c'est toujours nécessairement déterminer une certaine ligne sur laquelle ce point doit être situé. ”

“ PREMIÈRE SOLUTION. — Quand la surface à mesurer est celle d'un cercle dont on connaît le rayon R, la mesure de cette surface est 7R 2, la lettre grecque ir représentant le rapport de la circonférence au diamètre. La valeur approchée de ce rapport est ~:, ou 3.1416, en se bornant à quatre décimales*, ce qui suffit dans tous les cas de la pratique. Cette valeur, très-approchée, pèche par excès.
On se contente souvent d'une valeur moins approchée, mais plus simple, qui est 22. Ce rapport pèche aussi par excès. L'erreur commise est d'environ 1/2500e de la mesure exacte. ”

“ Elle a donné naissance au Calcul des résidus que le grand géomètre applique à la détermination des intégrales définies, à l'intégration des équations linéaires et des systèmes d'équations linéaires à coefficients constants, à l'intégration des équations aux différences partielles, en satisfaisant aux conditions imposées dans les problèmes de Physique mathématique et, en Astronomie, au développement de la fonction perturbatrice. ”

“ Le poids des objets se mesure à l'aide du gramme, qui est lui-même un petit objet pesant un certain poids. Il en est toujours de même, comme vous le verrez : on mesure chaque chose en la comparant avec vnp chose semblable.
La chose à laquelle on compare celle qu'on veut mesurer, s'appelle l'unité de mesure.
Ainsi : le mètre est l'unité de mesure de la longueur des lignes; le litre est l'unité de mesure de la capacité des vases et des quantités qu'ils contiennent; le gramme est l'unité de mesure du poids des objets ; le franc l'unité de mesure de leur valeur. ”

“ Parce que ce ne sont pas là des grandeurs mesurables. Qu’est-ce qu’une grandeur mesurable et, en général, qu’est-ce que mesurer ? C’est comparer une grandeur quelconque à une grandeur donnée prise pour unité. Mesurer une route, c’est comparer la longueur de la route à une unité de longueur qu’on appelle le mètre, et dire combien de fois elle comprend cette unité. ”

“ Car il peut arriver que quelquefois, suivant la diversité des proportions de B et de D, la ligne courbe sera convexe et d'autres fois concave; quelquefois encore que la tangente sera parallèle au diamètre BC; quelquefois enfin que le concours avec le diamètre se fera de l'autre côté, ce qui se détermine aisément par la méthode même, lorsqu'on nous donne la proportion des deux lignes données BA et BC, comme il est très aisé de voir et de faire comprendre. Lorsque je parle de la proportion des deux lignes données, j'entends leurs valeurs, en nombres ou sourds ou rationaux ”

“ Si l'on connaissait l'allongement maximum par mètre que l'on peut faire subir sans danger, d'une manière permanente, à un prisme de matière et de dimensions données, la détermination de la charge qu'on peut lui faire supporter de la même manière se ferait sans difficulté. ”

“ Lorsqu'on mesure plusieurs fois une même grandeur, par exemple une ligne droite de quelque étendue, avec un même instrument. en ayant soin de prendre chaque fois les mêmes précautions, d opérer, en un mot, dans des circonstances aussi semblables que possible, on obtient des résultats qui, généralement, diffèrent entre eux. On apprécie le plus ou moins de précision de ces mesures d'après la grandeur des différences qui existent entre elles. ”

“ Au milieu de la complexité des conditions dans lesquelles se produit le travail, conditions qui tiennent à la fois à la nature de la force qui agit et à celle des résistances qui lui sont opposées, il serait le plus souvent impossible de calculer la nature du mou- vement qui devra se produire. Heureusement, dans la plupart des cas, la méthode graphique fournit une solution pratique de ces difficiles problèmes. Nous montrerons les appareils inscripteurs traçant la courbe suivant laquelle a varié la force, si lente ou si rapide, si faible ou si forte que soit cette variation. ”

“ La science a fourni des méthodes simples où les données, relevées à l'aide d'instrumens ou de procédés d'une précision qui ne laisse rien à désirer, sont combinées avec le calcul de manière à pousser l'exactitude jusqu'à tel degré d'approximation que l'on voudra. Ainsi une ligne de 2,000 mètres, mesurée à la chaine et en supposant seulement une erreur de deux centimètres par chaque décamètre, présenterait une erreur de 4 mètres, tandis que par le calcul cette différence peut être réduite à un millième, un cent millième , un millionième do mètre et moins encore s'il est nécessaire. ”

“ Remarquez, mes enfants, combien ceci ressemble à une opération de mesurage : si vous vouliez tracer sur le sol une ligne ayant un certain nombre de mètres ou de décimètres, c'est de cette manière que vous devriez vous y prendre; seulement, au lieu d'une bûchette ou d'un ruban de papier, ce serait le mètre de bois, ou le mètre de ruban que vous appliqueriez plusieurs fois sur votre ligne.
QUESTIONNAIRE.
Comment peut-on marquer sur une ligne tracée une longueur égale à deux fois, trois fois, quatre fois la longueur d'une ligne donnée ? (sans employer le compas) . ”

“ Mesurer une ligne droite, c'est déterminer son rapport avec une autre ligne fixe et invariable, qu'on appelle une unité de mesure. L'unité légale de mesure pour les longueurs est le mètre ; ainsi, mesurer une ligne, c'est chercher combien elle contient de mètres et de fractions de mètre,
Les fractions du mètre qui servent à mesurer des lignes moindres que le mètre sont le décimètre, dixième partie du mètre ; le centimètre, centième partie du mètre ; le millimètre, millième partie du mètre, etc. ”

“ La surface d'un parallélogramme ou d'un rectangle s'obtient en multipliant la base par la hauteur : celle d'un carré, en multipliant le côté par lui-même.
La base et la hauteur doivent être exprimées en mesures de la même espèce , par exemple, en mètres ou décimètres: lorsqu'on veut évaluer une surface , on cherche combien de fois .elle contient un carré dont le côté a un mètre, ou bien un décimètre, etc.; la multiplication qu'on a faite indique combien la surface contient de carrés,
dont le côté est un décimètre si l'unité de ligne e0t le décimètre. ”