Demi-circonférence

“ C'est donc par son rapport à une circonférence qu'un angle quelconque se mesure, et, comme
la grandeur d'un angle peut varier autant qu'on peut imaginer de points dans une demi-circonférence, la grandeur d'un angle se désigne par celle de l'arc d'une circonférence décrite d'un rayon arbitraire, le sommet de l'angle étant pris pour centre. ”

“ On vérifie facilement par l'observation directe que la partie éclairée de la lune visible de la terre est toujours limitée, comme nous venons de le dire, par une demi-circonférence et une demi-ellipse ayant pour grand axe le diamètre de la demicirconférence. ”

“ De là résulte cette construction : Je décris sur ID comme diamètre une demi-circonférence dans laquelle je prends la corde IAI égale à IA, et j'abaisse du point A' la perpendiculaire A'a sur ID. le divise ensuite la droite aD en trois parties égales, et j'élève des perpendiculaires sur ID par les points de division. Soient El et GI les intersections de ces droites et de la demi-circonférence ID; je prends sur la droite ID les longueurs IE, IG respectivement égales aux cordes IE', IG', et je mène par lés deux points E, G les parallèles EF, UH, à la base BC du trapèze. ”

“ Les modernes pensent aujourd’hui que c’est une fournaise d’un million de lieues de circonférence, qui tourne sur elle-même. De temps en temps cet astre demi-liquéfié détache de sa circonférence, dans son mouvement de rotation, à l’aide du choc d’une comete, quelques gouttes d’une matiere vitrifiée, qui s’arrondissent en planetes, et se mettent aussitôt à tourner autour de lui. ”

“ Soient A, B, G les centres et un point commun P pris sur la circonférence ABC; il faut prouver que D', E', F' sont en ligne droite.
Fig. 461.
En effet, les circonférences de rayon moitié, c'est-à-dire celles qui ont pour diamètre PA ; PB, PC, se coupent en trois points D, E, F situés en ligne droite (Théorème de Salmon, n° 766) , et ces points sont les projections du point P sur les côtés du triangle, car les angles AEP, CEP sont droits comme inscrits dans des demi-circonférences ; donc DEF est la droite de Simson. ”

“ De même, la surface de la calotte a pour mesure la circonférence d'un grand cercle multipliée par sa hauteur MC (fig. 282) .
THÉORÈME XI.
La surface de la sphère est égale à quatre grands cercles.
La surface de la sphère est engendrée par une demi-circonférence MAN tournant autour d'un diamètre MN (fig. 282) . Concevez inscrite dans la demi-circonférence MAN une ligne brisée
régulière d'un très-grand nombre de côtés ”

“ Donc le rapport d'une circonférence à son diamètre est le même pour toutes les circonférences; en d'autres termes : Le rapport de la circonférence au diamètre est un nombre constant.
Il résulte de la formule précédente que ce nombre, qu'on désigne par 1t, mesure la demi-circonférence de rayon J. On obtiendra donc sa valeur en partant d'un polygone que l'on sait inscrire, et calculant successivement les demi-périmètres des polygones que l'on déduit du premier, en doublant à chaque fois le nombre des côtés. ”

“ A chaque station, pour orienter l'instrument, on fait parcourir aux verniers une demi-circonférence, c'est-àdire qu'on amène le vernier de gauche au chiffre indiqué par le vernier de droite, à la station précédente, de telle sorte qu'on a toujours l'azimut au même vernier. ”

“ III, novembre 1816, pag. 221) , le procédé que voici, pour construire une ligne droite sensiblement égaie à la demi-circonférence d’un cercle d’un rayon donné.
Soient le diamètre du cercle (fig. 8) et son centre. Soient menés en une tangente indéfinie et un rayon parallèle à cette tangente. ”

“ Cette expression, changée de signe, donne la valeur du moment de rotation du diamètre L'L" dû à l'action de l'arc L1 L2.
Dans un appareil que j'ai décrit précédemment, un conducteur qui a la forme d'un secteur circulaire, agit sur un autre conducteur composé d'un diamètre et d'une demi-circonférence qui est mobile autour d'un axe passant par le
74 THEORIE DES PHÉNOMÈNES
centre de cette demi-circonférence et perpendiculaire à son plan. L'action qu'elle éprouve de la part du secteur est détruite par la résistance de l'axe, puisque le contour que forme le secteur est fermé ”

“ La demi-circonférence ne peut être employée dans ce cas; aussi est-ce une espèce d'anse de panier, nommée arc rampant qui forme alors le cintre.
Tracer un arc rampant composé de deux arcs de cercle.
- Tirez une droite AB égale à la largeur que doit avoir l'arcade (P. I, F. 45) ; élevez au milieu une perpendiculaire CD ; par les extrémités A, B, menez des parallèles à ,CD ; portez sur l'une, de A en E, la distance du sol à l'extrémité la plus élevée de l'arc, et sur l'autre, de B en F, la distance du sol il l'extrémité la moins
élevée. ”

“ Soit en effet divisé le diamètre d’un cercle (fig. 7) en deux segmens, proportionnels à et en sorte que ces deux segmens soient
sur ces deux segmens comme diamètres soient décrits, de part et d’autre du diamètre total deux demi-circonférences dont les longueurs seront conséquemment
leur somme sera ainsi c’est-à-dire que, quel que soit le rapport de à la courbe continue formée par les deux demi-circonférences intérieures et se terminant aux deux extrémités du diamètre est constamment égale à la demi-circonférence extérieure. ”

“ Si donc les rayons d’une suite de cercles suivent une progression arithmétique, leurs demi-circonférences suivront aussi une progression arithmétique, et conséquemment la somme de deux demi-circonférences, également distantes des extrêmes, sera une quantité constante et égale à la somme des demi-circonférences extrêmes.
2.o Les surfaces des cercles (et partant aussi celles des demi-cercles) croissent comme les quarrés de leurs rayons. ”

“ Sur une perpendiculaire élevée à l'extrémité A du diamètre, on prend AD = m, et l'on mène une droite DE à 45 degrés ; cette ligne coupe la demi-circonférence :
1° En un seul point, pour m < AB;
2" En deux points, pour m > AB, mais < r
3° En deux points, réunis géométriquement en.un seul, lorsque DE est tangente à la demi-circonférence ; alors c'est le maximum et
4" Pour toute valeur plus grande, il n'y a pas de solution.
Note. Le problème précédent est emprunté au Cours d'Algèbre élémentaire, par E. COMBETTE, p. 459 à 466. ”

“ La ligure 14 est un rapporteur formé d'une demi-circonférence divisée en 180 parties égales, je ferai mention de son emploi dans la construction des angles.
t Des Lignes considérées dans le Cercle, fig. 15.
Ces lignes sont : 1° Le diamètre AB est la plus grande ligne droite que
l'on puisse tracer dans un cercle ”

“ La Géométrie soûterreine a abandonné l’ancienne division de la circonférence en 360 parties ; elle y en a substitué une qui lui est plus commode, de la circonférence en 24 heures, & de chaque heure en 8 parties. La circonférence n’ayant par ce moyen que 192 parties, chacune de ces parties devient sensible sur un cercle qui n’auroit qu’un doigt ou qu’un doigt & demi de diametre ; la pointe de l’aiguille aimantée, si c’est une boussole, la montre plus distinctement, & cela est important dans le fond des entrailles de la terre, où l’on n’est éclairé qu’à la lueur des lumieres artificielles. ”

“ Supposez qu'il s'agisse de planter un portique demicirculaire. Ayant posé le centre et tracé le demi-cercle sur le terrain, en plaçant le graphomètre sur ce centre, vous pourrez envoyer des lignes qui couperont régulièrement cette circonférence et indiqueraient, par exemple, l'axe des colonnes ou piliers. Puisque du point A au point B vous avez 180 de- grés (fig. 20) , vous diviserez ces 180 degrés en autant de
parties que vous voudrez sur le cercle du graphomètre, et le centre de la lunette vous donnera, à grande distance, les mêmes divisions sur le portique demi-circulaire. ”

“ Nous engageons à suivre les variations de cette perte relativement à l'angle d'action des composantes, dans la discussion qui suit.
de SAR, et si nous décrivons sur S AU des demi-circonférences SKS', smJ ayant A pour centre, AF' et AF pour rayons, elles couperont respectivement chacune des parallèles en deux points (comme i et i', I et I') ; joignons maintenant le point A à deux points d'intersection quelconques (1 et i par exemple) correspondant à une même longueur des perpendiculaires projetantes ”

“ « Le Soleil fait son tour en 25 jours et demi de 24 heures, et dans.le même temps, ceux de ses points qui sont le plus éloignés de Faxe de rotation, parcourent une circonférence de 989604 lieues, -ou 38 808 lieues par jour, 29769 lieues de plus que Quito. L'imagination ne peut se représenter une telle vitesse, et cependant il existe une vitesse bien plus grande encore ; c'est celle de la lumière qui ne met que 8 minutes pour parcourir la distance du Soleil à la Terre, environ 34 000000 de lieues. »
Graduation de la circonférence.
Une portion quelconque de circonférence, se nomme arc. ”

“ Toutes les fois que deux points d'une circonférence font également distans de l'une ou l'autre des extremitez de son diametre, qui passe par les deux centres, ils font au if y également distans de l'autre circonference. ”

“ Quand le diamètre aura atteint la longueur voulue, la circonférence, aussi loin que nos regards pourront porter, se confondra pour nous avec la ligne droite, et voilà pourquoi la rondeur de la terre échappe à notre vue. ”

“ Les siècles à venir, dit Laplace, développeront ces grandes inégalités qui produiront un jour des variations au moins égales au quarantième de la circonférence, dans le mouvement séculaire de la Lune, et au treizième de la circonférence, dans celui du périgée. ”

“ Tracé de la circonférence par trois points. — Tangente. — Conditions pour que deux circonférences soient l'une extérieure ou intérieure à l'autre, pour qu'elles se touchent ou se coupent; propriété de la corde commune et de la ligne des centres.
Détermination du nombre de degrés d'un angle par celui des arcs que ses côtés déterminent sur une circonférence qu'ils rencontrent ou touchent. ”

“ Lorsqu'un angle est tracé sur le plan d'une circonférence et que ses côtés sont sécants ou tangents, on peut, pour le mesurer, ne pas décrire une circonférence de son sommet comme centre et faire usage de la première circonférence. ”

“ Un circuit fermé circulaire ne peut jamais produire de mouvement continu toujours dans le même sens, en agissant sur un conducteur mobile d’une forme quelconque qui part d’un point de l’axe élevé perpendiculairement sur le plan de ce circuit par le centre du cercle dont il forme la circonférence, et qui se termine à un autre point du même axe, lorsque le conducteur mobile ne peut se mouvoir qu’en tournant, autour de cet axe. ”

“ Le porte-voix est une application du principe de la propagation des sons en ondes circulaires.
La toupie, le sabot et le toton décrivent des circonférences lorsqu'on leur a une fois imprimé le mouvement. La terre, sur la surface de laquelle nous habitons, a un mouvement de rotation sur elle-même extrêmement rapide.
265. — La division de la circonférence en 360 degrés reçoit des applications très-importantes 'C'est sur cette division qu'est fondée la construction du rapporteur,, du graphomètre, et d'autres instruments d'arpentage ”

“ Une idée beaucoup plus ingénieuse, consiste à faire mouvoir sur une première circonférence dont la terre occupe le centre, celui d’une seconde circonférence sur laquelle se meut le centre d’une troisième circonférence, et ainsi de suite, jusqu' à la dernière circonférence que l’astre décrit uniformément. ”

“ Soit ACB (fig. 9) le diamètre autour duquel on a fait tourner un cercle pour engendrer une sphère. Considérons sur cette circonférence un point D. Dans son mouvement de rotation autour de AB, le point D restera toujours placé sur la ligne DE, perpendiculairement à AB et à la même distance du point E ; il décrira donc une circonférence de cercle dont le rayon sera DE.
Fig. ”

“ Toute droite fixe sur laquelle tourne un corps, est appelée axe de rotation, parce que le mouvement circulaire prend alors le nom de rotation. Les circonférences qu'on peut concevoir décrites par les divers points du corps, ont leur centre sur cet axe, et comme deux quelconques de ces points conservent toujours la distance où ils sont l'un de l'autre, les circonférences qu'ils parcourent ne se rencontrent jamais.
8. PROBL. : Tracer une circonférence qui soit égale à une circonférence décrite A (P. I, F. 2) . ”

“ En multipliant la valeur moyenne d’un degré par 360, nombre de degrés contenus dans une circonférence, on trouvera en toises la valeur de la circonférence entière de la Terre ; elle sera de 20 520 000 toises ou de 9 000 lieues de 25 au degré. ”

“ Partagez un angle de 125° en cinq parties égales, au moyen du rapporteur.
Longueur d'une circonférence.
756. — La longueur d'une circonférence dépend de la longueur de son diamètre AB. Si le diamètre devient deux fois, trois fois, quatre fois plus grand, la circonférence devient aussi deux fois, trois fois, quatre fois plus grande. ”