“ Si, analitiquement parlant, il ne peut y avoir de minimum, lorsque l’angle donné est différent de ; c’est uniquement parce que l’analise suppose que le point cherché peut être quelconque sur le plan de l’angle donné, et qu’elle est obligée de faire entrer en considération les changemens qu’entraînent, dans les lignes des distances, leurs changemens de situation ; c’est parce qu’elle ne peut exprimer, ni que le point cherché ne doit point sortir de l’angle donné, ni que la somme des trois distances doit être prise indépendamment du signe qui peut affecter chacune d’elles. ”

“ Réciproquement, tout système de droites, parallèles, ou concourant en un même point, tracées sur un même plan, peut être considéré comme la perspective d’un système de droites originales concourant en un même point ; et il est même aisé de voir que cela peut avoir lieu d’une infinité de manières différantes. ”

“ Dans tout tronc de pyramide, à bases parallèles ou non parallèles, le point d’intersection, soit de deux côtés, soit de deux diagonales, soit enfin d’un côté et d’une diagonale de l’une des bases, et le point déterminé par l’intersection des deux lignes correspondantes de l’autre base, sont deux points d’une droite qui passe par le sommet de la pyramide [1] . ”

“ Par les mêmes moyens qu’avait employé M. Tédenat, il parvient à cette proposition, savoir : que le point cherché doit être tellement situé que la somme des cosinus des angles que formeront les droites qui le joindront aux points donnés, avec un axe quelconque situé dans leur plan, soit constamment zéro.
Les rédacteurs des Annales, en publiant la solution de M. Tédenat ont négligé de faire voir comment ce principe seul pouvait être employé à obtenir, entre les angles autour du point cherché, des équations en nombre égal à celui de ces angles ; ils croient devoir ici réparer cette omission. ”

“ Construire, en n’employant que la règle seulement, un triangle dont les côtés passent par trois points donnés et dont les sommets soient sur une courbe donnée du second degré ; problème dont la solution, pour le cas particulier du cercle, et sans interdire l’usage du compas, a occupé plusieurs illustres géomètres.
La construction qui répond à ce dernier problème devient illusoire, lorsque les trois points donnés sont en ligne droite, parce qu’alors les droites dont ils sont les pôles se coupent au même point. Si alors on suppose que la courbe est un cercle, on tombe sur le problème de Pappus. ”

“ Il est d’abord clair que le cercle donné se trouvera partagé en autant de parties qu’on aura fait de divisions dans son diamètre, c’est-à-dire, en autant de parties qu’on s’était proposé d’en faire. De plus ; chacune des deux courbes qui termineront chaque partie, se trouvant être la somme de deux demi-circonférences également distantes des extrêmes, sera égale à la demi-circonférence du cercle donné, d’où il suit que le contour total de chaque partie sera égal à la circonférence même de ce cercle. ”

“ Circonscrire à un cercle donné un polygone de m côtés, de manière que les sommets des angles du polygone soient situés sur m droites indéfinies, données de position par rapport à ce cercle ?
Solution. Par une propriété du cercle qui lui est commune avec toutes les courbes du second degré [2] ; lorsqu’un angle circonscrit à un cercle est assujetti à avoir son sommet sur une droite donnée, la corde qui joint les points de contact de ses côtés avec le cercle, se trouve par la même assujettie à passer par un certain point qui est aussi donné [3] . ”

“ À l’avenir nous appellerons axes d’un tétraèdre, les trois droites qui joindront les milieux de ses arêtes opposées ; le point où ces axes se couperont sera le centre du tétraèdre ; les trois plans conduits par les axes, pris deux à deux, seront les plans principaux et détermineront, dans le tétraèdre, les sections principales, lesquelles seront toutes trois des parallélogrammes ayant deux des axes pour leur diagonales, et ayant, pour les deux côtés d’un même angle, des parallèles aux deux arêtes opposées du tétraèdre que le plan de la section ne rencontre pas. ”

“ M. Puissant a indiqué un autre procédé pour la résolution du même problème [1] ; mais, outre que ce procédé n’est susceptible que d’une forme unique, la courbe de raccordement qu’il fournit fait nécessairement des jarets avec les deux branches de route ; ici, au contraire, elle leur est rigoureusement tangente ; et, en variant le rapport , on a la faculté de faire plus ou moins approcher cette courbe du sommet de l’angle ; ce qui peut être utile, en permettant de varier la construction suivant les accidens et les obstacles que le terrain peut présenter. ”

“ Deux points étant donnés, déterminer l’équation la plus générale des courbes planes qui, passant par ces deux points, sont telles que l’espace mixtiligne compris entre l’arc qui s’y termine et sa corde, soit équivalent à une surface donnée ?
Solution. Soit et ces deux points, et rapportons-les à deux axes rectangulaires ou obliques ; soit alors (a, b) les coordonnées du premier, et celles du second. ”

“ On peut remarquer, en passant, que la quantité A=0 ayant pour expression :
, il en résulte que la somme des produits des côtés d’un polygone, soit par les sinus, soit par les cosinus des angles qu’ils font respectivement avec une droite tracée d’une manière quelconque sur un plan, est égale à zéro ; ce qu’on peut d’ailleurs démontrer directement d’une manière fort simple [3] . ”

“ La construction que j’ai indiquée (9) était la plus propre à conduire à la démonstration que j’avais principalement en vue ; mais, comme le problème auquel cette construction se rapporte se présente fréquemment dans le tracé des figures de géométrie, on ne sera pas fâché, je pense, d’en trouver ici une solution plus commode que, pour plus de clarté, j’appliquerai à un exemple particulier. ”

“ La difficulté tient à ce que, parmi le grand nombre des relations qui existent entre les données, on n’aperçoit pas facilement quelles sont celles qui peuvent le mieux opérer la transformation.
Le problème pourrait être énoncé de cette manière générale : Trois droites indéfinies étant tracées sur un même plan, décrire sur ce plan trois cercles de manière que chacun d’eux touche les deux autres et deux des droites données ; considéré sous ce point de vue, il peut admettre jusqu’à 32 solutions. ”

“ On prouvera encore facilement ici, comme ci-dessus, que, pour que la somme de ces perpendiculaires soit un minimum, il faut que les angles qu’elles forment autour du point soient égaux entre eux et à quatre tiers d’angle droit. ”

“ Il suit de ce qui vient d’être dit (10) que le produit de l’aire de chacune des sections principales d’un tétraèdre par la plus courte distance entre les arêtes opposées parallèles à cette section est une quantité constante, pour un même tétraèdre, quelle que soit celle des trois sections principales que l’on considère [5] . Donc celle des trois sections principales dont l’aire est la plus petite est celle dont le plan est parallèle aux arêtes opposées les plus distantes. ”

“ Si, au contraire, l’angle donné est de , les deux équations étant alors équivalentes, on n’a, entre les coordonnées et du point , qu’une simple relation exprimée soit par l’une ou par l’autre de ces deux équations, soit par une équation résultant de leur combinaison ; il y a donc, dans ce cas, une infinité de points qui résolvent le problème.
Cherchons le lieu géométrique de tous ces points ; soient, pour cela, divisées l’une par l’autre les équations ; on aura ainsi
c’est-à-dire,
telle est donc l’équation du lieu géométrique de tous les points qui résolvent alors le problème ”

“ D’Alembert et les autres géomètres qui l’ont suivi, enseignent que, lorsqu’une équation a deux racines, l’une positive et l’autre négative, la première résout la question dans le sens le plus direct et le plus immédiat que son énoncé puisse présenter, tandis que la seconde ne la résout qu’en modifiant cet énoncé, de manière à rendre additif ce qui était soustractif, et vice versa. ”

“ Ils osent croire que tous ceux qui aiment et cultivent les sciences exactes applaudiront à leur zèle et s’empresseront de seconder leurs efforts ; et que les savans même qui pourraient le mieux se passer des secours qu’un ouvrage de la nature de celui-ci est susceptible d’offrir, ne dédaigneront pas néanmoins d’accorder leur encouragement honorable à une entreprise dont le succès ne peut que contribuer encore à l’avancement de ces mêmes sciences qui, en échange de tant de méthodes précieuses et de vérités importantes dont ils les ont enrichies, leur ont procuré un si haut degré d’illustration. ”

“ On peut même affirmer qu’à l’aide d’un tel procédé, il n’est aucune proposition absurde dont on ne puisse donner une démonstration apparente, ni aucune proposition évidente dont, à l’inverse, on ne parvienne aussi, du moins en apparence, à démontrer la fausseté. ”

“ Si l’on ajoute la première équation avec la troisième, la seconde avec la quatrième et la troisième avec la sixième, il viendra
Ainsi, dans tout quadrilatère, plan ou gauche, la somme des quarrés de deux côtés opposés, plus deux fois le quarré de la droite qui joint leurs milieux, est une quantité constante et égale à deux fois la somme des quarrés des distances des sommets au point d’intersection des droites qui joignent les milieux des côtés opposés. ”

“ Le premier, qui exprime que le point, est sur l’axe des x, et le point sur l’axe des y, change la troisième équation en celle-ci,
; qui exprime que les deux points et sont en ligne droite avec le point ; ainsi, de cette manière, les points cherchés seront les intersections des deux côtés de l’angle donné avec une droite menée ; d’une manière quelconque, par le point donné. ”

“ Remarque. Il est aisé de voir que, quelle que soit la situation des points , d’un même côté de la droite indéfinie, , il y aura toujours, sur cette droite, un point qui jouira de la propriété qui vient d’être exposée.
3. LEMME II. Si, sur une circonférence donnée, il y a un point duquel menant des droites à deux points donnés hors de cette circonférence, ces droites, sans couper le cercle, fassent des angles égaux avec le rayon mené au même point ; ce point sera celui de la circonférence dont la somme des distances aux deux points donnés sera la plus petite. ”

“ Si chacun des deux angles égaux n’excède pas ; ou, ce qui revient au même, si aucune des perpendiculaires ou n’excède la moitié de ou , le point sera celui où il faudra établir le pont, et on communiquera de ce pont aux deux villes par les routes .
Si les angles égaux excèdent ; ou, ce qui revient au même, si et sont moindres que les doubles de et respectivement ; après avoir joint par une droite coupant en la direction du canal, on examinera quelle est la grandeur de l’angle . ”

“ Le problème L de l’Arithmétique universelle en offre encore un autre exemple, lorsque du moins, ainsi que le fait Newton, on prend pour inconnue la profondeur du puits. Peut-être ne serait-il pas impossible de rencontrer un problème du second degré que ses racines, toutes deux négatives, résoudraient dans un sens direct ; ou un problème que ses racines, bien que positives l’une et l’autre, ne résoudraient qu’autant qu’on en modifierait l’énoncé ”

“ Voilà donc le problème propose à la page 127 de ce volume résolu, pour le cas particulier où le plan coupant serait assujetti à passer par l’un des axes du tétraèdre, et conséquemment aussi pour le cas où l’on exigerait simplement que ce plan passât par son centre : car De tous les plans conduits par le centre d’un tétraèdre, il n’y a uniquement que ceux qui passent par quelqu’un de ses axes qui le divisent en deux parties équivalentes. ”

“ Il faut pourtant observer que comme, hors des limites et , le minimum n’a plus lieu que eu égard au changement du signe de quelqu’une des trois distances il est nécessaire que le point ne sorte pas de ces limites, si l’on veut, comme l’exige la question, que ce soit la somme de leurs valeurs absolues qui soit un minimum. ”

“ Je vais développer, sur les triangles sphériques des théorèmes correspondans à ceux que je viens d’énoncer sur les triangles rectilignes.
THÉORÈME I. Dans tout triangle sphérique rectangle, le quarré du sinus de la demi-hypothènuse est égal à la somme des produits des quarrés des sinus de chaque demi-côté par le quarré du cosinus de la moitié de l’autre. ”

“ Le plan , supposé mobile autour de l’axe , peut prendre successivement quatre positions remarquables. S’il passe par l’un ou l’autre des axes , la section est un parallélogramme ; si, au contraire, il passe par l’une ou l’autre des deux arêtes opposées , la section est un triangle. Dans tous les autres cas, la section est un quadrilatère. ”

“ Il ajoute au surplus à sa démonstration cette remarque générale que, dans tout polygone d’un nombre pair de côtés, les centres des moyennes distances des côtés alternatifs et le centre des moyennes distances de tous les sommets coïncident. ”

“ Un tronc de pyramide étant donné, sa perspective (pour une situation donnée de l’œil et du tableau) est aussi donnée ; donc (8) étant données, sur un plan, la perspective de l’une des bases d’un tronc de pyramide, et les perspectives de trois de ses arêtes latérales, la perspective du tronc se trouve entièrement déterminée, et il doit être possible d’en achever la construction. ”

“ Analise. 1.o On ne doit pas supposer qu’à chacun des points donnés il aboutisse plusieurs des droites cherchées ; car supposons seulement que, étant un de ces points, (fig. 17) deux , des droites cherchées viennent s’y terminer ; on pourrait, en général (5) , remplacer le système de ces deux droites par le système des trois droites , d’une longueur totale moindre ; en sorte que et ne rempliraient pas les conditions du problème. À la vérité, il peut bien arriver, dans des cas particuliers, que doive être nulle ”