“ Toute relation, toute construction graphique qui fait correspondre un point à un point peut être la base d'une méthode de transformation. Pour l'inversion proprement dite, elle conserve les angles et s'applique à la sphère, à l'espace, en un mot, aussi facilement qu'aux figures planes : ainsi toute propriété du triangle plan en donne une pour le triangle sphérique ; on peut d'ailleurs en déduire une propriété du triangle curviligne plan, formé par trois arcs de cercle. ”

“ Théorème général. On a des courbes du second degré ayant un de leurs axes sur une droite OX qui sert d'axe de rotation, les sommets des courbes sont d'ailleurs en des points quelconques de OX; on a pareillement des droites dans une situation quelconque par rapport à OX; toutes les lignes tournent autour de OX et engendrent des surfaces connues : cylindre, cône, hyperboloïde, paraboloïde ; la somme algébrique des volumes compris par ces surfaces exprime le volume d'un corps de révolution dont la méridienne est une courbe du second degré ayant OX pour axe. ”

“ Dans un cercle, l'angle sous lequel on voit, du centre, la partie de chaque tangente comprise entre deux tangentes fixes, est constant; ou bien est donné, afin d'énoncer le porisme dans le style même d'Euclide.
« Exemple du théorème complet : Dans un cercle, l'angle sous lequel on voit, du centre, la partie de chaque tangente comprise entre deux tangentes fixes est égale à la moitié de l'angle formé par les rayons qui aboutissent aux points de contact des tangentes fixes. »
Les porismes sont employés pour déterminer les lieux géométriques et pour résoudre les problèmes. ”

“ Chasles (1793-1880) reprend toutes les nouvelles découvertes, les étend par ses propres recherches ; puis il les présente d'une manière élégante et rigoureuse, en employant les transformations qu'il désigne sous le nom d'homographie et de corrélation des figures, et dont le rapport anharmonique est la base fondamentale. Sa Géométrie supérieure, le Traité des coniques et le rétablissement des porismes d'Euclide, font époque dans l'histoire de la géométrie. ”

“ Fermat (1590-1663) publie la belle méthode de maximis et minimis, en introduisant pour la première fois l'infini dans le calcul, comme Kepler l'avait introduit dans la géométrie pure ; il est sans égal dans sa théorie des nombres.
Desargues (1593-1662) étend aux coniques les propriétés du cercle qui sert de base au cône, dont il étudie les sections ; il considère les droites parallèles comme concourant à l'infini, et donne le théorème fondamental de l'involution de six points, en considérant une sécante qui coupe une conique et un quadrilatère inscrit dans cette courbe. ”

“ Lorsqu'on a recours au calcul intégral pour arriver à l'expression du volume d'un corps donné, il est assez ordinaire de placer l'origine, si c'est possible, soit au centre, soit au sommet du méridien. Ainsi, pour , la sphère, par exemple, on part de l'équation x* + yî = rt, et l'on obtient le volume du segment à deux bases, mais dont l'une passe par le centre; puis, à l'aide de transformations algébriques plus ou moins laborieuses, on traite le segment à deux bases quelconques comme somme ou différence de deux segments ayant un grand cercle pour base commune. ”

“ Si les angles d'un polygone inscrit dans un cercle sont égaux, ce polygone est régulier quand le nombre de ses côtés est impair. (J. M. E. de VUIBERT, 1905, n° 6020.)
Les côtés adjacents à un même côté sont égaux entre eux ; par suite, pour cinq côtés, par exemple : a, b, c, d, e, on aurait a = c = e ; puis en continuant à parcourir le périmètre, on aurait : e=b = d; donc...
Si le nombre des côtés a, b, c, d, e, f est pair, les côtés de rang impair a, c, e sont égaux entre eux ; il en est de même des côtés de rang pair : b — d = f ; mais rien n'indique que a égale b. ”

“ Une conique est le lieu des points dont les distances à un point donné et à une droite fixe sont entre elles dans un rapport constant.
La courbe est une ellipse, quand le rapport est moindre que l'unité; uno parabolq, quand il est l'unité; une hyperbole, quand il est plus grand. ”

“ Beaucoup de savants moins célèbres, sans nul doute, qu'Archimède, Apollonius, Pascal, Descartes, Newton, Desargues, Poncelet, Chasles, etc., méritent d'autant plus d'être mentionnés, qu'ils trouvent rarement place dans les dictionnaires bibliographiques. En effet, la plupart de ces ouvrages, dus à des hommes de lettres, ne veulent point oublier le moindre romancier, le moindre utopiste de quelque renom; mais ils ne se préoccupent pas au même degré de ceux qui ont voué leur existence aux laborieuses recherches mathématiques. ”

“ Lorsque la base d'une pyramide est inscriptible, toute sphère circonscrite à cette base coupe les arêtes de la pyramide en des points qui sont les sommets d'un polygone plan inscriptible.
En effet, soient A, B, G, D... les sommets du polygone de base ; A', B', G', D'... les points où les arêtes SA, SB... sont coupés par la sphère; ces points appartiennent à la circonférence de la courbe de sortie du cône qui aurait S pour sommet et le cercle circonscrit à ABGD... pour base; donc les points A', B', C'... sont les sommets d'un polygone plan inscriptible. ”

“ Les droites qui joignent entre eux deux points d'une des figures et les deux points correspondants de l'autre figure, se coupent sur une droite nommée axe d'homologie.
L'homologie est un mode de transformation de figures qui permet, par exemple, de remplacer une ellipse ou une hyperbole par un cercle, dont la première courbe pourrait être regardée comme la perspective. ”

“ Par un point quelconque D de la base d'un triangle, on mène des parallèles aux autres côtés ; la somme des rapports obtenus en divisant chaque droite ainsi menée, par le côté qui lui est parallèle, est une quantité constante. ”

“ Note. En considérant l'ellipse comme projection d'un cercle sur un plan parallèle au diamètre bissecteur du triangle isocèle, MACLAURIN prouve que le théorème est vrai pour l'ellipse ; puis il établit le théorème fondamental du n° 2098, que nous avons pu démontrer directement d'une manière très simple.
Le théorème du n° 2098 a suffi à Maclaurin pour démontrer l'importante proposition suivante : Une niasse fluide homogène tournant autour d'elle-même doit prendre la figure d'un ellipsoïde de révolution dans l'hypothèse de l'attraction en raison inverse du carré des distances. ”

“ Dans un triangle isocèle, la somme des distances d'un point quelconque de la base aux deux autres côtés est constante, de la différence des distances d'un point pris sur le prolongement et la base est aussi constante. ”

“ Si d'un point quelconque du cercle circonscrit à un triangle, on mène des droites qui fassent, dans le même sens, des angles égaux avec les côtés du triangle, les pieds de ces droites seront sur une même ligne droite. ”

“ Lieux à proposer. Lorsqu'un théorème est relatif à la détermination d'un point remarquable par rapport à une ligure donnée, on peut se proposer de chercher le lieu de ce point lorsqu'on fait varier de grandeur ou de position une ou plusieurs des données, tandis qu'un certain nombre d'autres restent invariables.
Voici quelques exemples relatifs au triangle :
Les médianes se coupent au môme point; et ce point, comme on l'établit en statique, est le centre de gravité de la surface du triangle. ”

“ Pendant ce temps, Bellavitis crée la théorie des équipollences, et Mannheim développe la Géométrie cinématique, dont Roberval avait donné une première notion par sa méthode des tangentes, et que Poinsot avait continuée par la théorie du centre instantané de rotation.
La transformation des figures, appliquée aux arts mécaniques, donne lieu à d'intéressants travaux : Peaucellier, par son Inverseur, ouvre une voie féconde, que suivent avec succès Kempe, Hart, Sylvester, Liguine, Darboux. ”

“ Il en résulte nécessairement que toute droite non perpendiculaire à l'extrémité d'un rayon n'est pas tangente à la circonférence, et que toute droite qui n'est pas tangente n'est pas perpendiculaire à l'extrémité d'un rayon. ”

“ Une droite divisée en parties égales a pour projection une droite divisée en un même nombre de parties égales; et généralement, puisque les projections de deux parallèles sont proportionnelles à ces lignes, si une droite est divisée dans un rapport donné, il en sera de même de sa projection. Il suffit donc d'établir pour la circonférence les propriétés énoncées ci-dessus, pour qu'on puisse les appliquer à l'ellipse : deux diamètres conjugués de cette dernière courbe remplacent deux diamètres rectangulaires du cercle, et réciproquement. ”

“ Par un point donné sur l'axe d'un cône de révolution, on mine un plan quelconque ; la somme des inverses des deux génératrices opposées est une quantité constante, quel que soit le couple de génératrices. ”

“ Dans le cas particulier où le trièdre a ses trois angles égaux, le problème de le couper par un plan suivant un triangle donné se ramène facilement à la construction d'un quadrilatère dont on connaît les deux diagonales, un côté et les angles égaux entre eux, adjacents au côté opposé à celui qui est connu ; il suffit, en effet, de replier les faces du trièdre l'une sur l'autre. ”

“ On ne sait pas mener géométriquement une tangente BEC qui soit divisée par le point de contact en moyenne et extrême raison, mais on peut construire une figure semblable à celle que l'on demande, et trouver celle-ci à l'aide de la méthode du problème contraire.
Ainsi, on prendrait une droite quelconque BC, par exemple, divisée au point E, on porterait CE de B en D. Au point D, on élèverait une perpendiculaire que l'on couperait en A par un arc de cercle décrit du centre B avec BE pour rayon. On obtiendrait ainsi un triangle rectangle BAC semblable à la moitié du triangle isocèle demandé. ”

“ Pour être droite de Simson, une ligne donnée doit rencontrer la circonférence concentrique au cercle donné, et dont le rayon ne serait que le tiers du rayon donné ; car pour un triangle et le cercle circonscrit, l'enveloppe dos droites de Simson, pour chaque point du cercle, est une hypocycloïde à trois rebroussements, c'est-à-dire la courbe qu'engendrerait un point fixe d'une circonférence de rayon trois fois moindre, qui roulerait sans glissement, sur le cercle circonscrit et à l'intérieur de ce cercle. ”

“ Lorsque des droites issues de chaque sommet d'un tétraèdre se coupent en un même point 0 dans l'intérieur du solide, l'unité est la valeur de la somme des quotients obtenus en divisant, par la ligne entière correspondante, chaque segment compris entre le point 0 et la face de la pyramide. ”

“ Une droite AB est partagée par un point variable M, en segments additifs ou soustractifs; sur chacun des segments on construit un carré, du même côté de AB si les segments sont additifs, de part et d'autre s'ils sont soustractifs. Démontrer que la droite qui joint les centres des carrés enveloppe une parabole. (A. Boutin.)
La parabole a pour foyer le point milieu de AB ; la directrice est la parallèle à AB, menée par le sommet D de l'angle droit du triangle isocèle rectangle ADB construit sur la ligne donnée. ”

“ De tous les triangles qui ont même base et dont l'orthocentre se trouve sur une droite donnée parallèle à la base, quel est celui dont l'angle au sommet est minimum ?
Les hauteurs abaissées des sommets A et C se coupent sous un angle égal au Supplément de l'angle B ; donc l'angle au sommet est minimum quand l'angle des hauteurs est maximum; on obtient donc aussi un triangle isocèle. ”

“ La droite donnée est parallèle à une des asymptotes.
Soient A le point donné, OF, OJ les asymptotes, et FH la droite donnée.
Toute droite parallèle à une des asymptotes ne coupe une hyperbole qu'en un seul point ii distance Unie. (N,IS 258 et 2121.)
Admettons que M soit le point cherché; par A et M menons des parallèles aux asymptotes. On sait que l'équation de l'hyperbole équilatère rapportée à ses asymptotes est : xy = k2 (G., n° 678.)
Pour une hyperbole quelconque, l'équation est identique ; mais les coordonnées AC, AB, ou OR, OC, ne sont pas rectangulaires. ”

“ Domoïde circonscrit à une sphère. — On peut se borner à considérer un liémidomoïde circonscrit à un hémisphère, puisque la voûte en arc de cloître, que l'on rencontre fréquemment dans la pratique des travaux d'architecture, se rapporte à l'hémidomoïde ; on a le'théorème suivant :
Quel que soit le polygone circonscrit à l'équateur de l'hémisphère, la surface domoïdale est à la surface sphérique dans le rapport du périmètre du polygone circonscrit à l'équateur de Vhémisphère. ”

“ Lorsque l'axe mené par le point de concours des médianes coïncide avec une des médianes , le triangle est divisé en deux parties équivalentes; pour toute autre position de l'axe, les deux parties sont inégales, le maximum de la diirérence a lieu lorsque l'axe est parallèle à l'un des côtés; cette différence égale alors le neuvième de l'aire du triangle; mais, quelle que soit la position de l'axe, les volumes engendrés par chaque partie du triangle sont équivalents. ”

“ Une équation a autant de racines qu'il y a d'unités dans le nombre qui exprime le degré de cette équation néanmoins un problème de géométrie a parfois un plus grand nombre de solutions que le degré de l'équation obtenue pour déterminer l'inconnue. ”

“ Le recours à des constructions auxiliaires, soit pour démontrer un théorème, soit pour résoudre un problème, est moins une méthode qu'un procédé dont l'emploi est réclamé par la plupart des questions à traiter. ”

“ Par exemple, lorsque le mur de tète d'un pont biais est en talus, l'arc de tête est une demi-ellipse rapportée à deux diamètres conjugués ; et il faut calculer les axes pour trouver, au moyen des tables connues, le développement de l'arc de tète. La détermination géométrique des axes est une question très intéressante, mais en réalité moins utile dans les applications : car, l'ellipse ne se déterminant que par points, il n'est guère plus difficile de déterminer les points lorsqu'on connaît en grandeur et en position deux diamètres conjugués, que lorsqu'on connaît les axes. ”

“ Lorsqu'une circonférence est circonscrite à un triangle, le produit des distances d'un point du cercle à deux côtés du triangle égale le produit des dislances du même point au troisième côté et à la tangente menée par le sommet opposé. ”

“ Remarques. 1° Chaque côté du triangle ABC est vu du point 0 sous un même angle.
2° Le théorème est encore vrai lorsque chaque triangle équilatéral tel que ABF est rabattu sur ABC, au lieu d'être placé à l'extérieur, comme dans la figure précédente.
3° Le théorème subsiste lorsqu'on construit extérieurement sur chaque côté de ABC des triangles semblables, de telle manière que chacun des angles adjacents au sommet A soit égal à l'angle C ; que chacun des angles adjacents à B soit égal à A, et chaque adjacent à C soit égal à B. (J.-M. DE BOURGET, 1879, p. 58.) ”

“ Construire un triangle, connaissant le périmètre, un angle et la hauteur abaissée du sommet de cet angle.
Formons un angle A égal à l'angle donné; déterminons l'enveloppe de la base du triangle à périmètre constant 2p (n° 124) . Pour cela, prenons AD = AE = p ; élevons les perpendiculaires DO, EÔ, et décrivons le cercle exinscrit au triangle demandé. Du sommet A, il faut décrire une autre circonférence avec h pour rayon, puis mener une tangente commune aux deux circonférences A, 0. ”

“ Deux cercles extérieurs, qui n'ont pas de point commun, se transforment en cercles égaux, lorsqu'on prend pour centre d'inversion un point du lieu dont les carrés des tangentes menées à chaque cercle sont dans le même rapport que les rayons des cercles donnés. ”