Triangle sphérique

“ PROBLÈME VII. Déterminer l’intensité et la direction de l’attraction exercée par la surface d’un triangle sphérique bi-rectangle quelconque sur le centre de la sphère ?
Solution. En supposant que les deux côtés égaux du triangle dont il s’agit sont deux méridiens formant entre eux un angle il ne s’agira, pour résoudre le présent problème, que de supposer dans les formules du précédent ; elles deviendront ainsi
On voit par là que tend sans cesse a devenir ou que tend sans cesse à devenir à peu près, à mesure que diminue. ”

“ Toute relation, toute construction graphique qui fait correspondre un point à un point peut être la base d'une méthode de transformation. Pour l'inversion proprement dite, elle conserve les angles et s'applique à la sphère, à l'espace, en un mot, aussi facilement qu'aux figures planes : ainsi toute propriété du triangle plan en donne une pour le triangle sphérique ; on peut d'ailleurs en déduire une propriété du triangle curviligne plan, formé par trois arcs de cercle. ”

“ On a fait tourner successivement un triangle sphérique appartenant à une sphère qui a son centre à l’origine des coordonnées rectangulaires, et son rayon égal à l’unité, autour des sommets de ses trois angles ; le mouvement angulaire autour de chacun est supposé assez petit pour que le sinus de l’angle décrit soit censé se confondre avec cet angle même, et son cosinus avec l’unité. On connaît la grandeur de chacun des mouvemens angulaires ; on connaît, de plus les coordonnées primitives des sommets des trois angles du triangle sphérique ”

“ Lorsqu'un triangle sphérique a deux angles égaux, les côtés opposés sont égaux et le triangle est isocèle (2) . Lorsqu'un angle est plus grand qu'un autre, le côté opposé est plus grand (3) . Les réciproques sont vraies : dans un triangle sphérique isocèle, les angles opposés aux côtés égaux sont égaux.
10° Si l'on prolonge de l'autre côté du centre les arêtes du trièdre on forme le trièdre symétrique qui détermine sur la surface de la sphère un second triangle A'B'C' qui a ses côtés et ses angles égaux à ceux du triangle ABC, mais disposés en ordre inverse ”

“ La projection du triangle sphérique sur un plan quelconque est égale à la somme des projections des faces latérales de cette pyramide sur le même plan. Partant, la projection du triangle sphérique est la plus grande, lorsque la somme des projections des faces de la pyramide est la plus grande. Soient les faces de cette pyramide, et que leurs inclinaisons, deux à deux (prises intérieurement au solide) soient désignées par la plus grande projection du triangle sphérique est
La position du plan de plus grande projection se détermine comme il suit. ”

“ Dans tout triangle sphérique, à un plus grand côté est opposé
un plus grand angle, et réciproquement.
Considérons le trièdre central OABC. Si l'on a «>c, on a aussi la face BOG>BOA, et par suite (n" 1781) , le dièdre OA >> OC ou l'angle A>C.
Pareillement, donner l'angle A>G, c'est donner le dièdre OA>OG. On en conclut la face BOC>BOA,. d'où l'arc BG > BA...
Fig. 1249.
Donc, dans tout triangle sphérique...
1963 a. Note. Le théorème relatif à l'aire du triangle sphérique (G., n» 607) a été énoncé par ALBERT GIRARD, d'Amsterdam, en 1629; mais la démonstration n'est pas rigoureuse ”

“ Soit le centre des moyennes distances du triangle sphérique (fig. 3) , et soient les perpendiculaires abaissées du point sur les rayons ; les droites sont entre elles respectivement comme les cosinus des angles que fait la droite avec les rayons ; et la droite est le diamètre d’une sphère qui passe par les points ; ou qui est circonscrite au tétraèdre dont les sommets sont .
Or, le quarré du diamètre de la sphère circonscrite à un tétraèdre est exprimé, comme il suit, d’une manière symétrique, dans les élémens d’un de ses angles solides. ”

“ Je vais développer, sur les triangles sphériques des théorèmes correspondans à ceux que je viens d’énoncer sur les triangles rectilignes.
THÉORÈME I. Dans tout triangle sphérique rectangle, le quarré du sinus de la demi-hypothènuse est égal à la somme des produits des quarrés des sinus de chaque demi-côté par le quarré du cosinus de la moitié de l’autre. ”

“ Partager l’aire d’un triangle sphérique en trois parties...
Un point P étant pris arbitrairement dans l’intérieur d’un triangle...
Quelle est la courbe enveloppe de l’espace parcouru...
On sait que le lieu de toutes les tangentes à une courbe...
Quel est le lieu des centres de toutes les sections circulaires...
Soient pris arbitrairement, soit sur un plan...
On doit projeter au hasard sur un plan horizontal...
Tout polyèdre convexe a pour développement... ”

“ Constante ; Or, cette dernière expression est évidemment (XLIV) celle du rayon sphérique du cercle inscrit au triangle dont un des angles serait l’opposé au sommet de l’angle et les deux côtés qui le comprendraient les supplémens respectifs des côtés et donc, si avec un même angle du sommet on construit une suite de triangles sphériques de même périmètre, et qu’ensuite, pour chacun d’eux, on construise le triangle secondaire dont il vient d’être question, les cercles circonscrits aux triangles secondaires seront tous égaux ”

“ Dans le triangle sphérique, on a, sans aucune ambiguïté de signes
On déduit de là
ou bien
En prenant successivement les signes supérieurs et les signes inférieurs, se rappelant qu’en général
et faisant attention à la valeur de il viendra
Ces formules sont celles de MM. Gauss et Délambre, dont il a été question ci-dessus. ”

“ Si ensuite, dans cette formule, on suppose on retombe sur l’expression connue du rayon du cercle circonscrit à un triangle en fonction de ses trois côtés.
La plupart des résultats auxquels nous venons de parvenir sont connus depuis long-temps. Si donc nous les reproduisons ici, c’est uniquement dans la vue d’en déduire et de leur comparer ceux qui vont faire présentement le sujet de nos recherches.
§. II. Quadrilatère sphérique. Soient les côtés consécutifs d’un quadrilatère sphérique, inscrit à un cercle de la sphère ; soient les deux diagonales de ce quadrilatère ”

“ Si l’on veut avoir le même rayon en fonction des trois angles, il ne s’agira que de mettre pour le dénominateur sa valeur donnée par la formule (XX) , il viendra ainsi
(xlvi) Soient présentement le pôle et le rayon sphérique du cercle inscrit, on sait que si de ce point on conduit des arcs de grands cercles aux trois sommets, ces arcs diviseront les angles du triangle en deux parties égales. ”

“ Par un point donné dans l’intérieur d’un angle trièdre tri-rectangle, et également distant de ses trois faces, conduire un plan tellement dirigé que sa partie interceptée dans l’angle trièdre dont il s’agit soit un triangle semblable à un triangle donné ? ”

“ On tracera sur la sphère deux grands cercles faisant entre eux l'angle donné, et, à partir du sommet, on portera les côtés donnés, puis on joindra les extrémités par un arc de grand cercle.
Le triangle est toujours possible. Et, comme on peut porter de deux manières les arcs donnés sur les côtés de l'angle, on obtient deux triangles symétriques l'un de l'autre. ”

“ Puisque les médianes se coupent aux 2/3 de leur longueur (n° 447, ou G., n° 230) , les triangles AOB, BOC, COA, donnent: 2/3m+ 2f3 n > c 2⁄3 n + 2⁄3 P > a à 2hP +2/3m>k d'où 4/3 (m + n + p) > a + b + c
et, en multipliant par 3 et divisant par 4 : m + n+j9>3⁄4 (a + & + c) C. Q.F. D.
458. Théorème. Si, par le point de concours des bissectrices d'un triangle, on mène une parallèle à l'un des côtés, cette ligne égale la somme des segments déterminés sur les deux autres côtés, et compris entre les parallèles. ”

“ THÉORÈME III.
L'aire d'un triangle est égale au produit de sa base par la moitié de sa hauteur.
Soit le triangle ABC (fig. 176) . Un côté quelconque BC est la base du triangle et la perpendiculaire AD abaissée du sommet
Fig. 176.
opposé en est la hauteur. Si par les sommets A et C on mène des parallèles AE, CE, aux côtés opposés, on formera un parallélogramme ABCE. On sait que la diagonale AC divise le parallélogramme
en deux triangles égaux (29, I) ; donc l'aire du triangle ABC est la moitié de celle du parallélogramme. ”

“ La manière la plus générale de concevoir la génération de toutes les formes différentes des solides est de commencer par la figure plane la plus simple, qui est le triangle. En établissant donc une base triangulaire équilatérale et trois triangles pareils sur les trois côtés de cette base, on formera un tétraèdre régulier dont les quatre faces triangulaires sont égales ”

“ Soit décomposé ce polyèdre en pyramides ayant ses faces pour bases, et pour sommet commun un point pris arbitrairement dans son intérieur ; concevons qu’ensuite on applique au centre de gravité de l’aire de chacun des triangles qui servent de faces latérales communes à deux pyramides consécutives, et perpendiculairement au plan de ce triangle, deux forces égales et contraires, proportionnelles à l’étendue de ce même triangle ; les forces, ainsi introduites, se trouvant en équilibre deux à deux, ne pourront rien changer à l’état du système. ”

“ Or, une chose qui ne peut être moindre qu'une autre, ni l'égaler, la surpasse nécessairement. Donc, l'angle A est plus grand que l'angle B.
164. On a souvent besoin dans les arts, de faire un triangle égal à un autre. Vous allez voir qu'il n'est pas nécessaire, pour cela, de connaître toutes les parties du triangle donné.
PROBLÈME : Tracer un triangle dont on connaît seulement les trois côtés A, B, C (P. VII, F. 9) . ”

“ Je dis que, si le triangle est le plus grand, parmi tous ceux de son espèce, qui puisse être circonscrit au système des trois cercles dont les centres sont ces cercles seront, à l’inverse, les plus petits de tous ceux qui, ayant leurs rayons dans le même rapport que les leurs, puissent être inscrits au triangle de manière que chacun d’eux touche les deux autres et un côté du triangle. ”

“ Enfin si l'angle A est aigu, la somme des racines de l'équation en c est positive, car cos A est positif èlles seront donc, toutes deux positives et par suite acceptables si leur produit b% a2 est positif, c'est-à-dire-si l'on a b > a tandis que- si ce produit est négatif, c'est-à-dire si l'on a a > b, l'une' seulement sera positive et il n'y aura qu'une solution. Lorsque A étant aigu, on a a b sin A, le radical s'annule et o prend une seule valeur b cos A qui est positive..Le triangle est alors rectangle. ”

“ En se servant d'un triangle équilatéral parfait en carton et en le faisant glisser sur une règle comme une équerre, on peut toujours tracer des parallèles sous un angle de 60o, cela peut toujours servir à construire des triangles parfaits de la grandeur qu'on voudra, puisqu'il suffira de tracer sur une ligne quelconque et à ses deux extrémités deux lignes sous un angle de 60' pour avoir un triangle parfait. ”

“ Or, d’après un principe de géométrie, un triangle quelconque est entièrement « connu », quand on connaît un de ses côtés et deux de ses angles, car on peut conclure immédiatement la valeur du troisième angle et la longueur des deux autres côtés. Donc, en prenant pour base d’un nouveau triangle un côté des triangles déjà formés, et en mesurant les angles adjacents à cette base, on établira ainsi de nouveaux triangles qui seront successivement menés jusqu’à la limite de l’arc à mesurer. ”

“ Comme le triangle fait équilibre par rapport à Κ au segment, transporté au centre Θ (les distances de leurs centres de gravité au point fixe sont inversement proportionnelles à leurs aires) :
tr. ΑΖΓ/segm. ΑΒΓ = ΘΚ/ΚΧ = 3. D’autre part, le triangle ΓΑΖ est quadruple du triangle ΑΒΓ à cause de ΖΚ = ΚΑ, ΑΔ = ΔΓ ; donc finalement :
segm. ΑΒΓ/tr. ΑΒΓ = 4/3. [10] Ce qui précède ne constitue pas une démonstration (complète) [11] , mais suffit à donner à la conclusion une apparence de vérité. ”

“ C'est ainsi qu'un triangle blanc, placé sur un fond noir, nous paraît plus grand qu'il n'est, et de plus ne se présente pas avec des bords rectilignes, mais comme limité par des lignes courbes, avec des bords convexes, en un mot; un triangle noir, sur un fond blanc, nous paraîtra plus petit et avec des bords plus concaves. ”