Archimède

“ Comme dans toutes les applications du procédé d’exhaustion, Archimède décompose les volumes étudiés en tranches de plus en plus nombreuses et de plus en plus minces. Mais il ne prend pas la peine de donner au procédé sa forme irréprochable : en fait, il découpe le volume, à l’aide de plans parallèles équidistants et de plus en plus rapprochés ; mais il assimile immédiatement les tranches très minces ainsi obtenues à des aires planes ; il parle comme le ferait un partisan des indivisibles. Est-ce donc qu’il est encore incapable de traduire rigoureusement son procédé d’exhaustion ? ”

“ Car il est plus facile, une fois que par cette méthode on a acquis une certaine connaissance des questions, d’en imaginer ensuite la démonstration, que si l’on recherchait celle-ci sans aucune notion préalable. Par la même raison, les théorèmes dont Eudoxe [11] a le premier découvert la démonstration, — à savoir que le cône est le tiers du cylindre, la pyramide le tiers du prisme qui ont même base et même hauteur, — il faut en rapporter une bonne part de mérite à Démocrite [12] , qui le premier a énoncé, sans démonstration, les propositions relatives à ces figures. ”

“ Il me suffira de faire remarquer, après MM. Zeuthen et Painlevé, que cette méthode consiste essentiellement : 1o à déterminer ce que nous appelons aujourd’hui le « moment » statique d’un corps (par rapport à un plan fixe ou une droite fixe) par la subdivision de ce corps au moyen d’un nombre infini de plans parallèles ; 2o à tirer ensuite de l’équation d’équilibre la connaissance du volume (ou de la surface) ou la détermination du centre de gravité [3] . Sans doute, ni le nom ni la notion même du « moment » ne se rencontrent sous la plume d’Archimède ”

“ Tout segment sphérique a son centre de gravité sur son axe en un point tel que sa distance au sommet soit à sa distance à la base, comme la hauteur du segment plus quatre fois la hauteur du segment supplémentaire est à la hauteur du segment plus deux fois la hauteur du segment supplémentaire. ”

“ La méthode d’exhaustion est au fond de ces procédés, mais ce qui en fait la fécondité, ce qui permet (à l’aide de trois quadratures distinctes seulement) de traiter une multitude de questions, c’est une notion toute moderne et qui apparaît là pour la première fois dans l’œuvre d’Archimède : la notion de moment d’une force par rapport à une droite ou à un plan. ”

“ Il faut dire toutefois que les termes d’Archimède sont plus expressifs que les nôtres : le corps formé par la rotation d’une ellipse ressemble à une sphère, et de là le nom sphéroïde ; de même le corps engendré par la rotation d’une parabole ressemble à un cône. ”

“ Cette relation étant vraie pour n’importe quelle position de la parallèle, au total] la somme des triangles du prisme partiel est à la somme des triangles du sabot comme la somme des parallèles ΜΝ est à la somme de leurs sections comprises entre ΗΕ et la courbe. La première somme n’est autre que le prisme partiel, [la seconde le sabot] , la troisième le rectangle ΗΓΔΕ, la quatrième le segment parabolique ΗΖΕ, donc :
[Le rectangle ΗΓΔΕ vaut deux fois le triangle ΗΖΕ ; le segment parabolique ΗΖΕ vaut les 4/3 de ce triangle] car ceci a été montré précédemment [6] ”

“ Comme le triangle fait équilibre par rapport à Κ au segment, transporté au centre Θ (les distances de leurs centres de gravité au point fixe sont inversement proportionnelles à leurs aires) :
tr. ΑΖΓ/segm. ΑΒΓ = ΘΚ/ΚΧ = 3. D’autre part, le triangle ΓΑΖ est quadruple du triangle ΑΒΓ à cause de ΖΚ = ΚΑ, ΑΔ = ΔΓ ; donc finalement :
segm. ΑΒΓ/tr. ΑΒΓ = 4/3. [10] Ce qui précède ne constitue pas une démonstration (complète) [11] , mais suffit à donner à la conclusion une apparence de vérité. ”

“ À plus forte raison peut-on rendre plus petite que toute grandeur donnée la différence de chacun de ces volumes et du sabot qui est compris entre eux.
2o Je vais montrer de même (fig. 19) que si l’on trace l’arc de parabole ΗΖΕ inscrit dans le demi-cercle ΗΖΕ, on peut inscrire et circonscrire au segment parabolique ΗΖΕ deux séries de rectangles élémentaires (correspondant aux prismes élémentaires des volumes du sabot) dont la différence peut devenir plus petite que toute grandeur donnée. ”

“ Supposons (fig. 20) que nos deux cylindres aient des axes horizontaux. Menons un plan vertical perpendiculaire à l’un de ces axes (α) et passant par le centre Κ du cube, et que ce soit le plan de la
Fig. 20. figure. Il coupera le cylindre (α) selon le cercle ΑΒΓΔ, le cube et le cylindre (β) selon le carré ΦΨΩΧ. Prolongeons ΑΒ, ΑΔ jusqu’à leurs intersections Ε, Ζ avec ΧΩ et complétons le rectangle ΕΖΗΛ : ce sera une section verticale d’un prisme rectangulaire, qui a même hauteur que le cube et pour base un carré de côté double. ”

“ Je laisse à de plus compétents le soin d’apprécier quel accroissement la découverte de M. Heiberg apporte à notre connaissance de l’histoire de la Géométrie antique et du génie d’Archimède. Je leur laisse aussi la tâche particulièrement délicate de caractériser la valeur de cette « méthode » dont Archimède est si fier, et qu’il n’a pas cru devoir garder pour lui. ”

“ Ce souci de dégager ses démonstrations de toute considération mécanique apparaît déjà dans son Traité sur la quadrature de la parabole, où il ne se satisfait que d’une démonstration strictement mathématique. ”

“ Chacun de ces plans produira : 1o dans le demi-cylindre qui a une base égale à ΟΠΡ et une hauteur égale à l’axe une section en forme de rectangle, dont un côté égale ΚΣ (ou ΤΖ) et l’autre égale l’axe ; 2o dans le prisme triangulaire ΘΗΜ une autre section rectangulaire, dont un côté égale ΛΧ (ou ΥΦ) et l’autre égale l’axe. ”

“ Tout hémisphère a pour centre de gravité un point situé sur son axe et dont les distances au sommet et à la base sont dans le rapport de 5 à 3.
Soit une sphère et un plan passant par son centre qui la coupe suivant le cercle ΑΒΓΔ (fig. 8) . ”

“ Remarquons encore que des plans parallèles divisent un corps en un nombre infini de volumes élémentaires de hauteur infiniment petite. Ces volumes élémentaires, Archimède les assimile crûment à des plans (comme ailleurs il assimile des surfaces élémentaires à des droites) , et, d’une relation d’équilibre entre deux sections planes homologues de figures de même hauteur, placées d’une façon convenable, il conclut à l’équilibre des volumes de ces figures elles-mêmes, considérées comme la somme de ces sections. ”

“ R étant le rayon du cercle de base, 2h l’arête du cube, l’équidomoïde à base carrée, composé de 8 onglets ayant R pour rayon de base et h pour hauteur, a pour volume 8 × 2/3 R2h ou, puisque R = h, 16/3 h3. Le cube ayant pour volume (2h) 3 = 8h3, l’équidomoïde vaut bien les deux tiers du cube. On démontre facilement que, si B est la base [section médiane] , Η la hauteur de tout équidomoïde régulier, son volume a pour expression 2/3 BH. ”

“ Puisque hémisph. + cône (en place) équilibrent par rapport à Α le cône (en Θ) , le centre de gravité Ω du système « hémisph. + cône » doit satisfaire à l’égalité :
hémisph. + cône/cône = ΑΘ/ΑΩ, et, comme hémisph. ”

“ Divisons (fig. 18) le diamètre ΗΕ en un nombre quelconque de parties égales ; par chacun des points de division, menons des parallèles ΜΝ, Μ1Ν1... à ΚΖ et par ces droites des plans perpendiculaires au plan de base Κ. Ces plans divisent le prisme partiel ΗΓΓ′ΕΔΔ′ en une série de prismes élémentaires ayant même hauteur = ΜΜ1 et pour bases des triangles rectangles égaux = ΜΝΝ′ (voir fig. 16) . ”

“ Ce solide est appelé par Hugo équidomoïde à base — ou plutôt à section médiane — carrée ; il construit de même, en envisageant, au lieu d’un cube, un prisme triangulaire, pentagonal etc., des équidomoïdes réguliers à « base » triangulaire, pentagonale, etc. ”

“ Semblablement le centre de gravité du système des rectangles ΛΧ, ΥΦ sera situé à la rencontre α de ΞΠ avec la droite qui joint les milieux de ΛΧ, ΥΦ.
Le triangle rectangle ΗΛΧ semblable à ΗΞΘ étant isocèle, on a ΛΧ = ΗΛ = ΣΡ. On a donc successivement :
rect. ΣΚ + rect. ΖΤ/rect. ΛΧ + rect. ΥΦ = ΣΚ/ΣΡ = ΣΚ2/ΣΡ.ΣΚ = ΣΡ.ΣΟ/ΣΡ.ΣΚ = ΣΟ/ΣΚ = ΣΡ + 2 ΣΘ/ΣΚ = ΛΧ + 2 ΧΣ/ΣΚ = 1/2 ΛΧ + ΧΣ/1/2 ΣΚ. Or 1/2 ΣΚ = βΘ ”

“ Il va sans dire que l’énoncé pourrait aussi être restitué ainsi : tout segment « plus petit qu’un hémisphère ». Cf. Sphère et Cylindre, I, 42 et 43. ↑ Car, dans le triangle rectangle ΑΚΓ, on a ΑΚ2 = ΑΠ.ΑΓ. Divisant les deux membres par ΑΠ2, il vient bien (1) . ↑ En effet, si l’on emploie les notations abrégées R (rayon de la sphère) et h (hauteur du segment) , on a d’abord :
6 ΗΓ + 2 ΑΗ = 6 (2 R − h) + 2 h = 12 R − 4 h ; or, ΗΞ = ΗΓ + ΓΞ = (2 R − h) + R = 3 R − h, c’est-à-dire le quart de l’expression ci-dessus.
De même : 4 ΗΓ + ΗΑ = 4 (2 R − h) + 4 h = 8 R − 3 h ”

“ Cette traduction était presque terminée lorsqu’un géomètre danois bien connu, H. G. Zeuthen, — l’historien des sections coniques dans l’Antiquité, — a fait paraître, dans la Bibliotheca Mathematica de Teubner (27 juin 1907) , une traduction allemande du même document, suivie d’un commentaire très intéressant. Quoique cette publication soit plus accessible aux mathématiciens que l’édition grecque originale, je n’ai pas cru devoir pour cela renoncer à mon entreprise. D’abord parce que tous les savants français qui s’intéressent à l’histoire des Mathématiques ne savent pas l’allemand ”

“ Considérons maintenant séparément (fig. 15) le carré ΜΗΝΨ perpendiculaire à l’axe, [le cercle ΞΟΠΡ, les diamètres rectangulaires ΡΟ, ΞΗ. Tirons] ΘΜ, ΘΗ et, par ces droites, menons des plans (verticaux) perpendiculaires au plan du demi-cercle ΟΠΡ
Fig. 15. et prolongeons-les au-dessus et au-dessous de ce plan. ”

“ Ο partage ΜΞ comme Ξ partage ΑΓ.
En particulier, Δ étant milieu de la corde ΑΓ, le sommet Β du diamètre conjugué sera le milieu de ΔΕ (démonstration de la proposition ΕΒ = ΒΔ, plus simple que celle d’Apollonius) . [Démonstration communiquée par R. Prévost.]
Archimède, dans la Quadrature de la parabole (§ 4 et 5) , obtient cette relation (ΑΓ/ΑΞ = ΜΞ/ΟΞ) par un calcul un peu plus long. Il écrit le rapport du carré des ordonnées aux abscisses en les rapportant à la tangente en Β et au diamètre conjugué. Soit Οπρ la parallèle à la base du segment : ΒΔ/Βπ = ΑΔ2/Οπ2 = ΔΓ2/ΞΔ2 ”

“ ΧΗ = ΩΗ + ΧΩ = h/3 + h2/12 (R + h′) = h/3 [1 + h/4 (R + h′) ] , et par conséquent :
ΑΧ/ΧΗ = 8 R + 8 h′ − h/4 R + 4 h′ + h = 12 h′ + 3 h/6 h′ + 3 h = 4 h′ + h/2 h′ + h, ce qui est l’expression cherchée. ”

“ L’égalité (3) peut d’ailleurs être démontrée assez simplement en considérant l’ellipse comme la projection orthogonale d’un cercle (théorème de Stevin) . Soient 2a, 2b les axes de l’ellipse, y, y′ deux ordonnées quelconques correspondantes du cercle et de l’ellipse. ”

“ La considération des infiniment petits et leur sommation ne sont qu’un des procédés de cette méthode. ↑ Eudoxe de Cnide, célèbre astronome et géomètre (408-355 av. J.-C.) , élève d’Archytas et de Platon. Nous savions déjà par Archimède (I, 4 ; II, 296, Heiberg) qu’Eudoxe avait le premier scientifiquement établi les théorèmes en question, en se fondant sur le postulat (aussi employé par Euclide et Archimède, Sphère et cylindre, init.) que toute grandeur donnée peut être multipliée un nombre suffisant de fois pour dépasser une autre grandeur donnée. ”

“ Sa curiosité éveillée, il demanda communication du palimpseste, qui, entre temps, avait été transporté à Constantinople dans un prieuré du Phanar (le métochion du cloître du Saint-Sépulcre de Jérusalem) dépendant du Patriarcat œcuménique. ”

“ ΜΞΞ′ = ΜΝ2/ΜΞ2 = R2/R2 − y2 = R/R − x = ΜΝ/ΜΛ.
↑ Théorème I. On peut aussi traduire (en lisant ἐν τοῖς πρότερον ἐκδεδομένοις) « dans un ouvrage précédent », à savoir dans Quadr. parab., II, p. 251 et suiv. ↑ Les mots qui suivent (s’ils sont bien déchiffrés) signifieraient : « Comme le prisme est au prisme, ainsi le cercle ΕΖΗ est... », ce qui n’offre point de sens. Il serait exact, mais sans intérêt, de dire que le prisme est au carré qui lui sert de base comme le cylindre est au cercle ΕΖΗ. ↑ Cf. ”

“ J.-C.) , célèbre polygraphe — grammairien, géographe, chronologiste, mathématicien, philosophe, poète didactique — prit le premier le titre de « philologue » et fut surnommé « Bêta » (deuxième lettre de l’alphabet grec) , parce qu’il était le second dans toutes les branches spéciales de la connaissance. ”

“ On a donc :
D’autre part (à cause des triangles semblables) , on a :
Par conséquent, en combinant (1) et (2) :
ΒΔ2/ΞΣ2 = ΒΔ2/ΒΔ.ΠΣ, d’où résulte que :
ΞΣ2 = ΒΔ.ΠΣ.
ΞΣ est donc moyen proportionnel entre ΒΔ et ΠΣ, et l’on a (en divisant les deux membres par ΠΣ2) :
ΒΔ/ΠΣ = ΞΣ2/ΠΣ2. ”

“ « cordes parallèles à la tangente au sommet de la courbe ». ↑ « Le carré de l’ordonnée est proportionnel à l’abscisse ». C’est l’équation fondamentale de la parabole, qui se démontre par les moyens élémentaires (cf. Rouché : Géométrie, no 1025) . ”

“ Notre lemme peut être appliqué (et l’était sans doute dans le texte intégral des derniers théorèmes) pour passer de la constatation de l’équilibre des sections AA1A2... CC1C2... déterminées par des plans équidistants dans un volume V et dans un volume auxiliaire W, à l’équilibre de ces volumes eux-mêmes. ”

“ On voit que, sur ce point, je ne suis pas entièrement d’accord avec M. Painlevé. ↑ Archimède paraît n’avoir en vue ici (et ceci confirme l’opinion exprimée dans la note précédente) que la démonstration purement géométrique qui forme la deuxième partie de la Quadrature (§ 18-24) . ”