Alexandre Vincent

“ Aussi les mêmes résultats, les mêmes porismes se retrouvent-ils en une multitude d'endroits du septième livre de Pappus considérés comme ne formant qu'un seul tout, et non pas seulement dans la partie qui appartient à Euclide. C'est certainement dans ce sens très large qu'il faut entendre l'assertion de Pappus : qu'Un grand nombre d'hypothèses différentes donnent lieu aux mêmes résultats (1) .
(r) Il m'est impossible de deviner la raison qui a pu engager M. Breton à changer le texte de ce porisme : la position d'une droite n'est pas plus difficile à concevoir que sa direction. ”

“ Pappus, préface du septième livre.
cette conclusion : que si les divers auteurs qui se sont occupés des porismes sont tous plus ou moins parvenus à en apercevoir la nature sous quelqu'une de ses faces, Schooten seul a su en pénétrer à fond la véritable essence; et, comme le dit avec raison M. Breton (1) : « On » doit regretter qu'il n'ait pas développé ses idées sur ce sujet, et » surtout qu'il n'ait pas dit comment, dans sa pensée, les porismes » tels qu'il les concevait, pouvaient servir à expliquer les passages » obscurs de Pappus et de Proclus ». ”

“ S'il l'eût fait, on ne se serait sans doute pas arrêté si longtemps à des conjectures bien ou mal fondées, qui tendaient à en exagérer les difficultés outre mesure, et à leur donner une importance dont l'imagination a contribué pour beaucoup à faire les frais. ”

“ Je ne m'attache point à l'analyse développée que Pappus donne plus loin des trois livres de Porismes composés par Euclide ; je passe aux deux passages de Proclus, dont le premier ne contient que ces quelques lignes (1) : « Quant au mot porisme, il se dit [en général] de certains » problèmes, comme le Traité Des porismes, composé par Eu» clide. ”

“ «Deux grandeurs commensurables étant don» nées, en trouver la plus grande commune mesure (2) » : toutes » les questions de ce genre tiennent, en quelque sorte, le milieu » entre les problèmes et les théorèmes. En effet, ce ne sont pas ici » des créations, quoiqu'il y ait quelque chose a trouver; et ce ne » sont pas non plus des théorèmes abstraits puisqu'il faut offrir à » la vue, représenter devant les yeux, l'objet de la question. Or, » tel est le genre des propositions nommées porismes, et traitées » par Euclide dans les livres de Problèmes qu'il a composés ”

“ « Une quantité comparée à une autre » quantité est trop grande d'une donnée, pour être à cette autre dans » une raison donnée ». J'énoncerais donc ainsi le lemme en question : » Si de deux points donnés on mène deux droites qui se coupent de » manière que le carré de l'une diminué d'un espace donné soit au » carré de l'autre dans une raison donnée, le point d'intersection est » sur une circonférence donnée. ”

“ Croîs, qui, on le sait, est quelquefois employé dans le sens de /TIVOJ. zvyxpôiaOcu TOÏS aToi%iioiç TOÛTOIÎ, c'est donc, mot à mot, user et abuser des simples éléments.
(1) La proposition consiste à Trouver le plus grand commun diviseur de deux nombres non premiers entre eux : c'est donc un problème; et le porisme consiste en ce que Tout nombre qui en divise séparément deux autres, divise aussi leur plus grand commun diviseur.
(2) La proposition est de Trouver le centre d'un cercle donné ; et le porisme, que La perpendiculaire élevée sur le milieu d'une droite passe par le centre. ”

“ Quant aux » choses cherchées, la plupart sont les mêmes que dans le premier » livre ; mais il y a de plus les suivantes : » 1° Que tel espace, ou la somme de cet espace et d'un espace » donné, est suivant la section d'espace.
» 2° Que le rectangle qui a pour côtés telle droite et telle autre » droite est suivant la section d'espace.
» 3o Que le rectangle qui a pour côtés la somme de deux droites « et la somme de deux autres droites est suivant la section d'es» pace. ”

“ Il n'est nullement question de raisonnement plus ou moins facile. La traduction de M. Breton ne fait pas non plus assez ressortir le concours nécessaire de la théoTie, Beapict., et de l'exécution pratique ou création, yivseii, théorie et pratique entre lesquelles le porisme se trouve placé comme intermédiaire. ”

“ « Ce qui manque à l'hypothèse d'un théorème local. » Dans le cas du parallélogramme, il manque, soit son sommet, soit l'inclinaison des côtés sur la base, conditions nécessaires pour faire disparaître l'indétermination. Dans le segment capable d'un angle donné, il manque de même, soit le sommet de cet angle, soit la direction d'un côté, etc.
(f) J'ai expliquer plus haut pourquoi je repoussais l'expression de lieu résolu, qui n'a pas de sens.
(f') M. Breton (3) me parait donner au mot lgxwpcqltivwv une signification inadmissible.
(g) M. Breton traduit : « Parce que Euclide. » ”

“ Il n'est pas inutile d'observer que, dans Euclide, ~nopiÇeaOxi est ordinairement employé dans le sens de construire. (V. ci-dessus, annot. [k] .)
(2) Journal de !\lath., ibid. p. ;{I) f, tiré à part, p. 93.
et le cas du parallélisme est celui où le sommet du triangle se confond avec le milieu de l'arc : c'est le cas du porisme précédent. Dans ce même cas, la flèche de l'arc est un maximum, : c'est ce que Pappus et les géomètres dont il commente les écrits désignent par l'expression fJ-OVXO;, employée pour désigner les points singuliers, les valeurs singulières. ”