Alexandre Vincent

“ C'est donc encore un théorème local où il n'y a plus qu'a particulariser l'un des points y ou ri pour retrouver des porismes semblables aux précédents.
Dans le lemme III, le quadrilatère est considéré sous un autre aspect : c'est une droite ζαγ qui est menée par le sommet de l'angle rentrant. Cette droite coupe les deux grands côtés du quadrilatère suivant une proportion dont les développements donnent lieu au porisme (8°) du premier livre. (Voir les proportions qui précèdent la conclusion.) Le lemme IV est une extension du lemme II ”

“ La démonstration est inutile ici; mais il est important de compléter l'énoncé. Pappus a l'habitude fâcheuse de donner les figures sans explication suffisante, comme parlant a des gens qui les avaient sous les yeux et connaissaient les hypothèses d'après lesquelles elles étaient construites. C'est encore là, pour le dire en passant, une des grandes causes d'obscurité dans la rédaction de cet auteur. Je reprends l'explication de la figure et l'énoncé complet du lemme.
( Soit un triangle quelconque αβγ ; je mène par le sommet p D une droite quelconque β a (que je prolonge ainsi que le côté p i) ”

“ Ces trois circonstances sont : (A) que le point a est pris sur cx ; (B) que les distances a ç, Çvj, sont dans un rapport donné ; et enfin (C) que 0x est parallèle à a y.
Le lemme cité prend pour hypothèse les deux circonstances A et B, et il a pour consé-
quence C, c'est-à-dire le parallélisme des droites ex et αγ.
Il a pour réciproques deux autres propositions qui sont ellesmêmes des porismes, et qui résultent naturellement de ce qui vient d'être dit. Dans l'une, on prend pour hypothèse A et C, et l'on a pour conséquence B, qui est le lemme proposé. ”

“ Prenons-les d'abord tous trois sur la même droite. Soient E, F, G, ces trois points, que nous supposerons en ligne droite avec le point C (car la droite E F G doit couper ABCD en un des quatre points déjà
donnés) . Dès lors, la correspon- dance entre chacun des points A, B, D, et chacun des points E, F, G, étant nécessairement donnée, les trois droites A G, BE, DF, sont données; donc le système est donné; donc les trois points I, K, L,
sont donnés par les droites sur lesquelles ils se trouvent, ce qu'il fallait démontrer. ”

“ Et plus positivement encore, p. 83 (commencement du 2e article) : « J'ai traduit Pappus dans la supposition que chacune des propo» sitions des trois livres d'Euclide sur les porismes comportait une » certaine indétermination entraînant l'idée soit de lieu décrit ou » engendré, soit de mouvement (1) . a — Examinons ces assertions.
Outre les points A, B, C, et la droite qui les joint, deux autres droites sont données de position, ne l'oublions pas. ”

“ Ceux qui ont étudié simplicité même, l'Arithmétique de Nicomaque ou de Théon de Smyrne, les ©eo^ovoû/xsva Tii &;Pt9'fI.Y¡'I'txii, ou lu simplement l'Arithmétique de Boëce ou le Denarius Pythagoricus de Meursius, savent quelle admiration naïve causaient aux anciens les propriétés les plus simples des nombres, propriétés dont aujourd'hui la remarque nous semble une puérilité. ”

“ XXI et VIII) ; et pour le lemme IV (Propos. 130) l'Aperçu historique du même auteur (p. 35) ; vovez aussi le Traité des propriétés projectives des ifgures, par M. Poncelet,
P. S. — Il y a un malentendu dans la note (m) de M. Breton ; je n'ai pas parlé du premier énoncé du deuxième livre d'Apollonius, mais du lemme quatrième de ce livre.
Quant aux troisième et quatrième énoncés du premier livre des Lieux plans d'Apollonius, ils ont bien le même sens, sous le rapport principal, que les deux exemples de lieux plans donnés par Proclus et cités dans la note (e) de ma précédente Notice ”

“ Voici maintenant comment j'entends la question : le lecteur jugera. Il s'agit, suivant moi, de trouver combien, sur le nombre total des fl (fl I 1 points d'intersection des (n + "1) droites, il en total des n points d'intersection des (n -}- 1) droites, il en faut connaître à priori pour que le système entier soit déterminé, ou pour que l'on puisse obtenir les autres, 7roplIlOtI19'Ott. ”

“ Enfin, Pappus avertit que le mot à.va.lvi/J.tvo{ est employé par figure, xowà ■ or, employer une syllepse dans le discours n'est point summatim dicere, o~~ë~x ttyuv.
Ces observations m'ont paru utiles pour prouver qu'une traduction mot à mot (ce à quoi M. Breton tient beaucoup, non sans quelque raison) n'est pas toujours aussi facile à faire et a rendre bien conforme au sens que le suppose l'honorable géomètre ”