Alexandre Vincent

“ Ce n'est cependant point une théorie nouvelle que je viens présenter, mais une histoire déjà ancienne dont je voudrais tracer l'esquisse, d'après des écrits qui n'ont point encore perdu parmi nous toute autorité, je veux dire ceux d'Euclide, de Ptolémée, de Géminus, de leurs commentateurs Proclus, Marinus, etc.
Je dois commencer par rappeler les diverses manières dont l'idée de l'Angle avait été conçue par les anciens géomètres, ou, ce qui est la même chose, par les anciens philosophes : car dans l'antiquité, le titre de géomètre supposait essentiellement celui de philosophe. ”

“ En effet, les trois droites sont alors nécessairement dans un même plan : il suffit donc de poser que la somme des angles extérieurs d'un triangle rectiligne est égale à 4 droits; et il n'y a plus alors ni restriction à faire, ni objection possible.
Est-il nécessaire d'ajouter ici que toute science doit commencer par des principes que l'on ne démontre pas, puisque autrement il faudrait remonter jusqu'à l'infini? ”

“ En réfléchissant à ces tergiversations, à ces oscillations qui ne savent ni d'où partir, ni où se fixer, on peut reconnaître qu'elles ont pour cause l'absence d'idées philosophiques sur les véritables conditions que doit remplir une proposition primordiale, lemme ou postulat quelconque, pour pouvoir concourir à constituer une base légitime à la science de l'étendue. ”

“ Nous avons vu que depuis Euclide, demeuré maître souverain de l'enseignement géométrique, on n'a fait sur la théorie des angles et des parallèles, véritable fondement de la science, que tourner constamment dans le même cercle, repoussant aujourd'hui ce que l'on avait adopté hier, sauf à le reprendre demain, et sans jamais être satisfait du dernier parti auquel on s'était arrêté. ”

“ Quant à la quatrième demande prétendue, que tous les angles droits sont égaux, il fait voir que c'est un théorème, et il en donne la démonstration.
Puis il passe à la proposition suivante, donnée par Euclide comme une cinquième demande : Lorsqu'une droite, en tombant sur deux autres droites, fait d'un même côté deux angles internes dont la somme est inférieure à deux droits, les deux droites, prolongées, se rencontreront du côté où sont les angles [internes] dont la somme est inférieure à deux droits. ”

“ « Ce qui caractérise le lemmev , dit d'Alembert dans l'Encyclopédie méthodique, « c'est que la proposition qu'on y démontre n'a pas un rap« port immédiat et direct au sujet qu'on traite actuellement ; par exemple, a si, pour démontrer une proposition de mécan que, on a besoin d'une et proposition de géométrie, etc. » Ici, le rapport immédiat et direct existe bien; mais seulement on fait, en quelque sorte, un appel au sens intime pour établir le lemme. ”

“ Le postulatum d'Euclide, pour le redire encore, ne satisfait aucunement à cette dernière condition : on l'a vu de reste. Sa réciproque, savoir, que « la somme des Il angles d'un triangle quelconque est égale à deux droits », peut être considérée comme étant dans le même cas, bien qu'elle n'implique pas l'idée de l'infini, si l'on a donné de l'angle une notion convenable1. ”

“ Ce lemme est-il exempt de tout inconvénient? je ne le soutiendrai pas : en effet, il implique incontestablement l'idée de L'INFINI. Or, suivant Proclus lui-même, religieux platonicien s'il en fut, l'idée de l'infini mathématique est une idée purement négative, comme son nom l'indique d'ailleurs; et tel est l'avis bien formel de ce philosophe lorsqu'il soutient1 en s'appuyant sur un autre passage d'Aristote2, que l'imagination ne conçoit pas l'infini en luimême, et qu'elle n'arrive à s'en créer une idée telle quelle, qu'en rejetant au delà de toute grandeur assignable les limites de l'espace ”

“ Après avoir ainsi proposé le principe, présentez les objections; si votre interlocuteur est en état de les comprendre, vous ne tarderez pas à reconnaître qu'il n'a nullement la conscience du fait que vous lui aviez énoncé ; et pour peu que vous y teniez, il ne vous sera pas difficile d'obtenir un désaveu de la proposition d'abord admise. En effet, on ne peut dire que l'on comprenne véritablement le postulatum, à moins d'être en état d'expliquer pourquoi les deux droites dont il s'agit ne sont pas asymptotes. ”

“ Or, l'affirmative résulte de la proposition que le
programme officiel des études prend pour lemme fondamental de la théorie des parallèles.
Ce n'est point là pourtant le reproche que je ferais au programme, puisqu'en définitive, il faut commencer par admettre quelque chose que l'on ne démontre pas : il ne s'agit que de bien choisir. ”

“ C'est ce que nous aurons à dire « seulement lorsque l'auteur des Éléments aura besoin « de la mentionner et de la faire intervenir comme évi« dente; car alors il deviendra nécessaire de légitimer des il procédés qu'il ne saurait être permis d'exposer sans « preuve, mais que l'on doit au contraire établir sur les « démonstrations les plus inattaquables. »
Le reste du troisième livre de Proclus est employé à commenter les axiomes et les propositions qui précèdent la théorie des parallèles, c'est-à-dire la théorie des angles et les propriétés fondamentales des triangles ”

“ L'auteur de la présente dissertation se hâte d'ajouter que compris lui-même dans les termes de cette sorte de proscription, il n'a jamais prétendu au titre de géomètre dans le sens plus étendu et plus général aujourd'hui attribué à ce mot.
la science l'une des parties les plus fondamentales de la géométrie : il s'agit des PARALLÈLES 1. ”

“ Cette facétie épicurienne a pourtant son côté sérieux : on peut dire en effet que si les animaux en général ont le sentiment de la direction, l'homme possède exclusivement peut-être la conscience de son mouvement de rotation ”

“ On a donc commencé par établir que tout ce « que nous attribuons au plan , nous l'appliquons par la « pensée à un seul et même plan. C'est pourquoi cette « addition était inutile à répéter ici. »
Après les remarques précédentes, Proclus examine la démonstration d'Euclide, laquelle consiste dans une réduction à l'absurde : cr; Si les droites ne sont pas paral- * lèles, dit-il, elles formeront un triangle dans lequel un « angle extérieur serait égal à l'angle intérieur opposé, « ce qui est impossible d'après une proposition démontrée « précédemment3 ». ”

“ « fait de l'infériorité des angles internes comparés à deux R droits, une preuve suffisante de l'inclinaison mutuelle « et de la rencontre des droites. Mais à cela Géminus a 4 très-bien répondu : « Nous apprenons, dit-il, des maîtres « mêmes de la science, à ne pas nous en rapporter aux appa« rences probables pour l'admission des preuves géométrie « ques ». Et Aristote dit aussi 1 que « c'est tout un d'exiger « des démonstrations d'un orateur, et de se contenter de pro« habilités de la part d'un géomètre ». ”

“ De plus , parmi « les lignes prolongées à l'infini, les unes n'enveloppent « pas une figure : par exemple la droite et les susdites « sections coniques ; les autres rentrent d'abord sur elles« mêmes et enveloppent un espace, puis ensuite elles se «« prolongent à l'infini. Maintenant, combinées entre elles, c ces dernières sont dites asymptotes, si, de quelque macc nière qu'on les prolonge, elles ne se rencontrent pas; te elles sont symplotes si elles finissent par se rencontrer. » ”

“ Quiconque s'ima- ginerait trouver dans les propositions déductives autre chose et plus qu'il n'a posé dans les principes primordiaux, ne ressemblerait pas mal à ces prétendus mécaniciens que nous voyons chercher dans des combinaisons quelconques de rouages le pouvoir d'accroître les forces données ou d'en créer de nouvelles. ”

“ Le quatrième livre du même commentateur est consacré aux deux autres divisions, c'est-à-dire, d'une part à la théorie des parallèles et des parallélogrammes, formant la deuxième division , et d'autre part à la troisième division, comprenant le reste du premier livre d'Euclide. ”

“ Ainsi par exemple, j'ai vu tel professeur de mathématiques, très-capable d'ailleurs, repousser le lemme relatif à la somme des angles extérieurs par la raison , disaitil , que ce lemme suppose la théorie des parallèles !
2. Voyez plus 4aut, S.
de l'oblique et de la perpendiculaire à une même droite, et dites-lui que de pareilles lignes se rencontrent toujours ”

“ Qu'il nous suffise, pour donner une idée de ces objections, de les comparer à l'un des sophismes que Zénon prétendait opposer à la théorie du mouvement, et que l'on connaissait dans les écoles sous la dénomination d'argument d'Achille et la tortueLa
1. On sait en quoi consiste l'argument d'Achille, ou d'Achille et la tortue : On suppose qu'Achille est à la poursuite d'une tortue qui a un stade d'avance sur lui, mais qui va dix fois moins vite. Pendant qu'Achille parcourra, dit-on, le stade qui le sépare de la tortue, celle-ci parcourra un dixième de stade ”

“ Que L'homme seul a peut avoir à s'occuper de la distance mutuelle de deux corps exté« rieurs. Que seul il est doué de la faculté de comparaison, de circona spection. Enfin, qu'il est doué d'une perfection visuelle corrélative a de cette perfection morale. » Cp., du même autour, la Notice sur l'Anatomie des Beaux-Arts (Rignoux, 1856, p. 15) .
indépendamment de tout enseignement scientifique préalable, l'homme a le sentiment de la rotation aussi bien que celui de la direction ”

“ Mais c'en est assez sur ce sujet, notre but principal n'ayant d'ailleurs été primitivement que de traiter une question d'histoire. Toutefois, en étudiant l'histoire, il n'est pas défendu de chercher à en tirer des enseignements. On nous pardonnera donc de nous être laissé entraîner, en quelque point, à toucher le fond d'une de ces questions que d'Alembert appelle quelque part2 Vécueil et pour ainsi dire le scandale des éléments de géométrie. ”

“ Bar., page 217.
côté font une somme égale à deux droits : sur quoi Proclus observe qu'au lieu de considérer exclusivement ces trois symptômes du parallélisme, Euclide en aurait pu considérer six, nombre total des combinaisons différentes que l'on peut faire en prenant les angles deux à deux, d'abord quant aux parallèles, suivant qu'ils sont à la fois internes ou externes, ou l'un interne et l'autre externe ”

“ I, cent. 7; et ciiil. IV, ceat. 1. - Cp. Jdag. epitome (Lugd., 1550) , page 66.
moindre connaissance des propriétés des progressions suffit pour en faire justice 1. Proclus n'en conclut pas moins, du reste avec raison, en disant que ces objections prouvent la faiblesse, àtjûéveiav, de la théorie de Ptolémée; après quoi cependant il se met en devoir de repousser les objections elles-mêmes, ce qu'il fait, je dois le dire, en combattant les sophistes à armes égales. Je laisse ces arguties qui n'ont plus pour nous aucun intérêt, et j'arrive à la conclusion définitive de Proclus. ”