David Hilbert

“ Cela fait, M. Dehn démontre le théorème suivant :
Si l’on regarde toutes les droites et tous les points (idéaux et réels) du plan, à l’exception d’une droite unique t et des points situés sur t, comme éléments d’une nouvelle Géométrie, on peut pour cette nouvelle Géométrie définir un nouveau genre de congruence de telle sorte que cette Géométrie vérifie tous les axiomes d’association, de distribution, de congruence, ainsi que l’axiome d’Euclide, la droite t dans cette Géométrie jouant le rôle de la droite de l’infini. ”

“ Nous voyons maintenant sans peine que dans notre calcul segmentaire, conformément à l’axiome II, les règles de calcul 13-16 du § 13 sont vérifiées ; par conséquent, l’ensemble de tous les différents segments forme un système numérique complexe où sont vérifiées les lois 1-11, 13-16 du § 13, c’est-à-dire toutes les règles usuelles, hormis la loi commutative de la multiplication et la théorème d'Archimède. Dans ce qui suit nous désignerons, pour abréger, un pareil système numérique sous le nom de système numérique de Desargues. ”

“ Il n’en est pas moins important de discuter les principes et les théorèmes fondamentaux de la Géométrie quand on fait abstraction de l’axiome des parallèles. Nous avons aussi exclu de notre étude la question importante de savoir s’il est possible, sans la notion du plan ni de la droite, au seul moyen des points comme éléments et en employant la notion des groupes des déplacements, ou a l’aide de la notion de distance, d’édifier la Géométrie d’une manière logique. ”

“ Ensuite se présente la question plus générale de savoir si deux rectangles égaux par soustraction et ayant un côté commun ont aussi leurs autres côtés congruents, c’est-à-dire, si un rectangle est déterminé d’une manière univoque par un de ses côtés et par son aire.
Comme une considération plus attentive le fait voir, pour répondre aux questions ainsi soulevées, l’on a besoin de la réciproque du théorème XXVII, qui s’énonce ainsi :
Théorème XXVIII. — Lorsque deux triangles égaux par soustraction ont même base, ils ont nécessairement même hauteur. ”

“ De l’hypothèse que par un point donné l’on peut mener à une droite une infinité de parallèles il s’ensuit, si l’on exclut l’axiome d’Archimède, NON PAS que la somme des angles d’un triangle est plus petite que deux droits, mais au contraire que cette somme peut être
(a) plus grande que 2 droits
(b) égale à 2 droits. Pour démontrer le cas (a) de ce théorème, M. Dehn édifie une Géométrie où l’on peut mener par un point une infinité de parallèles une droite et où, d’ailleurs, sont aussi vérifiés tous les théorèmes de la Géométrie riemannienne (elliptique) . ”

“ Or, en vertu du théorème XLIII, les fonctions et doivent être des quotients de sommes de carrés de fonctions rationnelles et, d’autre part, l’expression est, d’après ce qui précède, susceptible d’être construite au moyen de la règle et du transporteur de segments ; l’expression trouvée pour montre donc que est un quotient de sommes de carrés de fonctions que l’on sait aussi construire. Par conséquent, l’expression est également susceptible d’être construite au moyen de la règle et du transporteur de segments. ”

“ En adoptant cette convention, il est possible de ranger par ordre de grandeur les nombres de notre système numérique complexe, suivant une distribution analogue à celle que l’on emploie pour les nombres réels ; on reconnaît aisément aussi que les théorèmes qui consistent à dire que les inégalités subsistent, lorsque à chacun de leurs membres on ajoute un même nombre ou lorsqu’on y multiplie chaque membre par un même nombre > 0, sont également vérifiés dans notre système numérique complexe. ”

“ En effet, lorsque dans nos recherches mathématiques nous rencontrons un problème ou lorsque nous soupçonnons un théorème, notre esprit n’est satisfait que lorsque nous possédons la solution complète du problème et la démonstration rigoureuse du théorème, ou bien lorsque nous connaissons bien clairement la raison de l’impossibilité de la réussite et, par suite, aussi celle de la nécessité de l’insuccès. ”

“ Des théorèmes qui dérivent des axiomes I, 1-7, je ne citerai que les deux suivants :
Théorème I. — Deux droites situées dans le même plan ont un seul point en commun ou bien n’en ont aucun ; deux plans n’ont aucun point en commun ou bien ont une droite en commun ; un plan et une droite non située dans ce plan n’ont aucun point en commun ou bien en ont un seul. ”

“ Théorème XLIII. — Désignons par une fonction entière rationnelle de dont les coefficients sont des nombres rationnels et qui ne prend jamais des valeurs négatives quand on donne à des valeurs réelles quelconques. Cela posé, est toujours représentable comme quotient de deux sommes de carrés dont toutes les bases sont des fonctions entières rationnelles de à coefficients rationnels.
Démonstration. — Désignons par le degré de la fonction assignée ; ce degré doit être évidemment toujours pair. ”

“ On sait que d’habitude on démontre que deux triangles qui ont même base et même hauteur sont aussi toujours égaux par addition ; remarquons néanmoins que cette démonstration ne peut avoir lieu sans employer l’axiome d’Archimède ; on peut, en effet, dans notre Géométrie non archimédienne (voir Chap. II, § 12) assigner sans aucune difficulté deux triangles qui ont même base et même hauteur et qui, par suite, en vertu du théorème XXVII, sont ; égaux par soustraction, mais qui cependant ne sont pas égaux par addition. ”

“ La recherche qui suit est un nouvel essai dont le but est d’établir la Géométrie sur un système simple et complet d’axiomes indépendants et de déduire de ceux-ci les principaux théorèmes géométriques, de telle sorte que le rôle des divers groupes d’axiomes et la portée des conclusions que l’on tire des axiomes individuels soient mis en pleine lumière autant qu’il est possible. ”

“ Enfin, il est encore nécessaire de faire une convention relativement à la congruence des angles. Tant qu’aucun sommet des angles qu’il s’agit de comparer n’est situé sur l’ellipse, nous dirons que deux angles sont congruents lorsqu’ils sont égaux, au sens habituel de ce mot. Dans l’autre cas, nous adopterons la convention suivante : Soient A, B, C trois points qui se succèdent dans cet ordre sur une droite de notre nouvelle Géométrie, et soient A’, B’, C’ trois autres points qui se succèdent dans cet ordre sur une autre droite de notre nouvelle Géométrie ”

“ Si nous adoptons alors relativement à la distribution des éléments ainsi qu’aux déplacements des segments et des angles des conventions tout à fait analogues à celles du § 9, nous obtiendrons une Géométrie non archimédienne, où, comme le font voir les propriétés que nous venons d’exposer du système numérique complexe , tous les axiomes sont vérifiés, hormis l’axiome d’Archimède. ”

“ Le système de tous les segments de notre Géométrie forme, conformément au § 17, un domaine de nombres où ont lieu les propriétés 1-16 exposées dans le § 13, et nous pouvons alors, au moyen de ce domaine de nombres, ainsi qu’il a été fait au § 9 ou au § 12, au moyen des systèmes numériques respectifs et , construire une Géométrie de l’espace : Nous conviendrons à cet effet qu’un système de trois segments (x, y, z) représentera un point, le rapport de quatre segments (u : ν : w : r) un plan, tandis que la droite sera définie comme intersection de deux plans ”

“ Nous reconnaissons aussi sans peine que nous pouvons encore obtenir inversement le théorème de Pascal au moyen des théorèmes XXVII et XXVIII.
De deux polygones P et Q nous dirons que P est respectivement plus grand par soustraction ou plus petit par soustraction que Q, selon que la mesure de l'aire F (P) est plus petite ou plus grande que F (Q) . D’après ce qui précède, il est clair que les notions : égal par soustraction, plus petit par soustraction, plus grand par soustraction, s’excluent mutuellement. ”

“ Nous pouvons à cet effet ou bien prendre pour fondement les axiomes sur la congruence des segments et dans ce cas désigner comme « égaux » les segments congruents, ou bien, en nous basant sur les groupes d’axiomes I-III, convenir de la manière dont, au moyen de constructions appropriées (voir Chap. V, § 24) , un segment doit être porté sur une droite donnée à partir d’un point donné, en sorte que l’on obtienne un nouveau segment qui lui soit « égal ». ”

“ Ces segments x, y sont dits les coordonnées du point P. En s’appuyant sur le nouveau calcul segmentaire et en invoquant le théorème de Desargues l’on obtient la proposition suivante :
Théorème XXXIV. — Les coordonnées x, y, des points d’une droite quelconque vérifient toujours une équation segmentaire de la forme
ax + by + c = 0 ;
dans cette équation, les segments a, b sont nécessairement écrits à gauche des coordonnées x, y ; les segments a, b ne sont jamais nuls tous les deux, et c est un segment quelconque. ”

“ Des développements du Chapitre III, § 9, résulte clairement qu’ici, pour tout nombre appartenant au corps algébrique , il doit exister un point correspondant sur la droite ; mais reconnaître si à tout autre nombre réel correspond de même un point de la droite, c’est ce qu’on ne peut faire d’une manière générale, cette question dépendant de la Géométrie à laquelle on a affaire. ”

“ Pour le démontrer, construisons les segments ab, ac et a (b + c) (fig. 24) , et, par l’extrémité du segment c (voir la fig. 24 ci-dessous) ,
menons une parallèle à l’autre côté de l’angle droit. La congruence des deux triangles ombrés dans la fig. 24 et l’application du théorème de la congruence des côtes opposés d’un parallélogramme fournissent la démonstration demandée.
Si l’on désigne par b et c deux segments quelconques, il existe toujours un segment a tel que l’on ait c = ab ; ce segment a est désigné par la notation et se nomme le quotient de c par b. ”

“ Les axiomes IV, 1-3 renferment des énoncés qui n’ont trait qu’aux congruences entre segments situés sur des droites. Ils seront, par suite, dits les axiomes linéaires au groupe IV. Les axiomes IV, 4-5 renferment des énoncés qui ont trait aux congruences entre angles. L’axiome IV, 3-6 rattache la notion de congruence de segments à celle de congruence d’angles. Les axiomes IV, 3-6 renferment des énoncés qui ont trait aux éléments de la Géométrie plane et seront nommés par suite les axiomes planaires du groupe IV.
§ 7. ”

“ Quant à moi, il ne me semble pas probable que les axiomes géométriques renfermés dans la condition de la possibilité de la différentiation soient tous nécessaires.
Dans le traitement de toutes les questions de ce genre, je crois que les méthodes et les principes développés dans le précédent Ménmoire seront utiles. Comme exemple je renverrai à une étude entreprise a mon instigation par M. Dehn et qui vient de paraître [14] . Dans cette étude sont discutés les théorèmes connus de Legendre sur la somme des angles d’un triangle, que ce géomètre a démontrés au moyen de la continuité. ”

“ On voit de suite que notre affirmation revient à dire que la ligne A"B" est parallèle a AA’. Nous en reconnaissons l’exactitude en invoquant comme il suit le théorème de Desargues (théorème XXXII) :
Désignons le point d’intersection de AB" et A’A" par F, et celui de BA" et B’B" par D (fig. 41) : dans les triangles AA’F et BB’D les côtés
homologues sont parallèles. ”

“ Théorème XXIX. — Un triangle étant décomposé n’importe comment, par des droites quelconques, en un certain nombre fini de triangles , la mesure de l’aire du triangle est égale à la somme des mesures des aires de tous les triangles .
Démonstration. De la loi distributive de notre calcul segmentaire résulte immédiatement que la mesure de l’aire d’un triangle quelconque est égale à la mesure des aires des deux triangles qui proviennent du premier par une décomposition transversale quelconque. ”