Polynôme

“ Ces lettres à indices ont encore l’avantage d’indiquer, de la manière la plus caractéristique, leurs relations avec les dérivées du premier terme du polynôme, puisqu’on a généralement tant il est vrai que souvent le plus léger changement dans les notations peut avoir l’influence la plus heureuse sur les méthode.
17. Remarque II. La théorie que nous venons d’exposer, contient tout ce qui est nécessaire pour le développement complet des fonctions d’un polynôme, et même, à la rigueur, pour celui d’une fonction quelconque de deux polynômes indépendans ”

“ Le développement général d’un ordre quelconque d’une fonction polynôme aux fonctions monômes distributives et commutatives, ressortit à la théorie générale du développement des fonctions en séries, dont nous allons exposer les principes. ”

“ Soit le polynôme du degré
dans lequel les coefficiens sont des quantités réelles finies quelconques, et où représente une variable. Puisque ce polynôme change de valeur, à chaque valeur qu’on attribue à ; il peut lui-même être considéré comme une variable. Représentant donc cette variable par on aura l’équation
qui établit entre les variables et une relation en vertu de laquelle chacune d’elles est déterminée par l’autre. ”

“ Division des polynômes. LEMME I. Le produit du premier terme d’un polynôme par le premier terme d’un autre polynôme est, sans réductions ni modifications quelconques, le premier terme du produit de ces deux polynômes. ”

“ Si le polynôme est terminé, et n’a qu’un nombre de termes, sera le dernier des coefficlens ; et tous les suivans ainsi que leurs valeurs correspondantes, en dérivées de seront égaux à zéro.
4. Remarque. Il est bon d’observer que l’équation (5) peut être satisfaite d’une infinité de manières, et que est entièrement indéterminé. En supposant on a
ce qui donne encore les relations (3) .
5. Proposons-nous maintenant de développer la fonction d’un polynôme quelconque, ordonné selon les puissances ascendantes de la variable, en une série qui procède selon les mêmes puissances ”

“ Le sujet que nous venons de traiter nous conduit à nous occuper de la recherche des formules qui expriment les puissances entières, et de degrés déterminés, d’un polynome quel que soit le nombre de ses termes. ”

“ Dans tous les cas, on peut répartir les polynômes en plusieurs groupes ; dans chaque groupe, le premier polynôme se réduit à une constante et chacun d’eux est la dérivée du suivant.
Pour qu’il existe invariants intégraux linéaires, il ne suffit donc pas que des exposants caractéristiques soient nuls ; il faut encore que des polynômes Ph se réduisent à des constantes (ou, ce qui revient au même, que ces polynômes se répartissent au moins en groupes) .
Quelle est alors, au point de vue qui nous occupe, la signification des équations (10) où ne se réduit pas à une constante ? ”

“ Parmi ces équations et parmi leurs combinaisons linéaires, choisissons-en une ; soit opérons de même pour toutes les autres solutions périodiques ; nous aurons alors un certain polynôme homogène et du deuxième degré par rapport aux et dont les coefficients seront des fonctions des définies seulement pour les valeurs de qui correspondent à une solution périodique. ”

“ Si le polynôme sous le signe de fonction était terminé, et composé de termes, on aurait il suffirait donc alors de rejeter, dans les formules (10) , tous les termes où il entrerait, comme facteur, une des quantités polynômiales dont l’indice serait supérieure à ; et, dans l’application de la règle du n.o précédent, on s’arrêterait, dans chaque coefficient au terme affecté de
10. Remarque II. L’inspection des termes successifs (10) du développement de l’équation (6) fait aisément découvrir la loi remarquable qui y règne. ”

“ Le polynôme qui en forme le premier membre peut toujours, comme on le sait, se décomposer en deux facteurs réels du second degré dont chacun donne, quand on l'égale à zéro, deux racines réelles ou imaginaires. Si ces racines x', x" sont réelles, il est clair qu'elles donnent aussi des quantités réelles pour y' et y", quand on les substitue dans l'équation précédemment écrite, où y n'entre qu'au premier degré; mais si elles sont imaginaires, y' et y" seront aussi imaginaires. ”

“ Toutes les fois que les termes d'un polynôme contiennent un ou plusieurs facteurs communs, il est avantageux, et parfois nécessaire, de faire cette transformation.
Règle. — 1° Chercher le groupe de facteurs communs (c'est le p.g.c.d. algébrique des termes) ”

“ Nous réservons pour le même article la règle pour former immédiatement un terme quelconque du développement, indépendamment de ceux qui le précèdent.
9. Remarque I. On a pu remarquer, en examinant la composition des formules (10) , que le signe de fonction, ainsi que les signes de dérivation, n’affectent que la première lettre du polynôme dont il s’agit de développer la fonction. Arbogast appelle cette première lettre origine de dérivations ou premier terme de polynôme, et toutes les suivantes quantités polynômiales. ”

“ Remarquons d’abord qu’un facteur imaginaire du 2.me degré multipliant un polynôme réel le produit ne peut acquérir que deux variations ou deux permanences de plus que n’en avait et jamais une variation et une permanence. Ainsi, par exemple, dans une équation du 3.me degré, il y a toujours ou trois variations ou trois permanences, ou deux variations et une permanence, ou enfin une variation et deux permanences ; or, dans le 3.me cas, c’est la permanence qui indique la racine réelle, tandis que les variations répondent aux racines imaginaires : dans le 4.me cas c’est l’inverse. ”

“ Pour d’autres, chacune des quantités et est égale à une exponentielle multipliée par un polynôme entier en dont les coefficients sont des fonctions périodiques de Je les appellerai solutions de deuxième espèce.
Les équations (2) ne peuvent admettre que solutions linéairement indépendantes. Une solution quelconque pourra donc toujours être regardée comme une combinaison linéaire de solutions que l’on peut appeler fondamentales.
Si, sur exposants caractéristiques, sont distincts, on pourra choisir comme solutions fondamentales solutions de première espèce et solutions de seconde espèce. ”

“ Équations données :
Troisième équation : Cette équation identique, nous apprend donc que est le diviseur commun des deux polynômes proposés.
5. La recherche du facteur commun le plus élevé, entre deux polynômes proposés, conduit à la détermination des racines égales. Dans mon Arithmétique universelle (page 268) j’ai démontré le théorème général qui suit : Si l’on désigne par, le commun diviseur le plus élevé entre le polynôme et sa première dérivée ; par le commun diviseur le plus élevé entre et sa première dérivée ”

“ L’expression est un polynôme d’ordre si on le développe en série de Fourier
l’entier ne peut dépasser en valeur absolue. Si donc est plus petit que le dénominateur de on ne pourra avoir
et la valeur moyenne de notre expression sera nulle. La condition
sera donc remplie d’elle-même.
Nous avons introduit les constantes arbitraires suivantes :
et peut dépendre de
Voyons de quelle manière. Supposons que l’on considère le développement
et que dans ce développement on remplace les les les et les par leurs valeurs ; les divers termes du développement dépendront alors des constantes (14) . ”

“ Je rattacherai à ces recherches, relatives aux fonctions d'une variable, les travaux que j'ai consacrés à l'étude des séries de polynômes (32, 82) . Et en effet, il y a un fait qui joue un rôle très important dans la théorie des fonctions : c'est que les régions où une fonction quelconque peut être représentée par une série de puissances sont limitées par des cercles. On peut donc supposer qu'on pourra tirer un profit analogue de la connaissance des régions où conviennent des développements d'autre forme. ”

“ L’identité (3) ne peut donc avoir lieu que si l’on a identiquement
et
La première de ces relations nous apprend que est une intégrale des équations (1) .
253 ter.Soit
une intégrale des équations (2) ; la fonction doit être une forme, c’est-à-dire un polynôme entier et homogène par rapport aux dont les coefficients dépendent d’ailleurs des d’une façon quelconque.
Soit le degré de ce polynôme. L’expression
(où n’est autre chose que où les ont été remplacés par les différentielles ) , cette expression, dis-je, sera un invariant intégral des équations (1) . ”

“ Soit le polynôme donné
(1) on supposera que les deux facteurs cherchés sont
(2) dont le produit est
(3) exprimant donc que ce produit est identique avec le polynôme (1) , on obtiendra les équations
lesquelles seront en nombre suffisant pour déterminer les coefficiens qui sont ici les inconnues du problème.
Remarques. Comme le produit (1) ne change pas en changeant les signes de ses facteurs, il s’ensuit qu’à chaque valeur de chacun des coefficiens il doit nécessairement en répondre un autre qui n’en diffère que par le signe. ”

“ Divisons les deux facteurs par bx + ay ; nous obtiendrons
qui est l'expression cherchée.
On peut encore trouver ce résultat en s'appuyant sur le théorème suivant.
Si la valeur x = a annule un polynôme entier en a;, ce dernier est divisible par x - a; si c'est, au contraire, la valeur x = - a qui l'annule, il est divisible par a; + a. ”

“ Avant de considérer un plus grand nombre d’équations, j’observe que doit renfermer comme facteur. En effet, étant respectivement des polynômes en des degrés à chaque valeur tirée de l’équation il correspondra dans l’équation dont le premier terme disparaîtra, valeurs de qui devront également satisfaire aux équations donc , qui est un polynôme du degré par rapport à , devra être nul de lui-même lorsqu’on y fera puisque, dans le cas contraire, une équation aurait plus de racines que d’unités dans son exposant [2] . Le calcul prouve, en effet, que est divisible par [3] . ”

“ Nous allons d’abord faire voir que si le polynôme est de cette forme, les équations (1) sont satisfaites quand on y remplace par On a en effet
Or, si dans les relations (2) on fait on trouve par conséquent, quand on fera cette substitution dans l’équation précédente, les coefficients des dérivées qui entrent dans le second membre seront nuls et on aura On démontrerait d’une manière analogue que les deux dernières des équations (1) sont également satisfaites. ”

“ Recherche directe du terme général du développement d’une puissance quelconque d’un polynôme ; par M. Gergonne.
Méthode facile pour exécuter le développement des puissances des polynômes ; par M. Thomas-Lavernède. ”

“ Je n'ai pu y parvenir; j'ai seulement reconnu que l'on peut, d'une infinité de manières, exprimer ces intégrales par des séries qui convergent pour toutes les valeurs réelles de la variable. Voici comment j'ai opéré (23, 76) .
Je mets les équations différentielles sous la forme
(dx (1) ) / (X (1) ) = (dx (2) ) / (X (2) ) = ... = (dx (n) ) / (X (n) ) ,
les X (n) étant des polynômes entiers par rapport aux variables x. Cela est toujours possible. J'introcluis ensuite une variable auxiliaire s définie par l'équation
(dx (1) ) / (X (1) ) = (dx (2) ) / (X (2) ) = ... ”

“ Mais on trouve aussi quelquefois des polynômes qui, sans être des cas particuliers de l’intégrale complète, ni des facteurs communs à tous les coefficiens de dans l’équation différentielle, satisfont néanmoins aux conditions exprimées par cette dernière, quand on les égale à zéro. Nos analistes modernes les ont appelés Solutions particulières ; ils en ont expliqué l’origine, ils ont donné le moyen de les obtenir, sans résoudre l’équation différentielle proposée, et ont fait voir que les lignes qu’elles représentent sont les enveloppes de celles que représente l’intégrale complète. ”

“ Nous pouvons avec avantage adjoindre aux équations (4) et (5) d’autres équations d’une forme analogue et qui n’en sont que des transformations.
Développons et suivant les puissances de et soient
Les développements (4 bis) se déduisent d’ailleurs immédiatement des deux derniers développements (4) .
Nous voyons alors que est un polynôme entier, par rapport aux quantités
et que ce polynôme est homogène de degré si l’on regarde
Nous aurons alors les équations
équivalentes aux deux dernières équations (5) . ”

“ Car tout polynôme peut être considéré comme étant la somme des termes dont il est lormé, de sorte que la somme des polynômes n'est autre chose que la somme de tous leurs termes.
7i. SOUSTRACTION. — Concevons que deux quantités soient données, et qu'on les représente graphiquement en grandeur et en situation en prenant sur une droite x'x * une origine 0 , et portant à partir de cette origine, dans le sens indiqué par le signe de chaque quantité, les deux longueurs oa, ob. Soustraire oa de où, c'est déterminer la longueur du segment ab qu'il faut ajouter à oa pour que la somme soit égale à ob. ”

“ Soit un polynome complet du me degré composé des lettres au nombre de En supposant tous les coefficiens positif et égaux à l’unité, il devra d’abord renfermer le terme Soient ensuite l’ensemble de ses termes d’une seule dimension, l’ensemble de ses termes de deux dimensions, et ainsi de suite, l’ensemble de ses termes de dimensions, l’ensemble de ses termes de dimensions, et enfin l’ensemble de ses termes de dimensions, ce polynome sera
(1) dont il s’agit d’assigner le nombre des termes. ”

“ La racine est donc x = - 65,57865.
65. Résolution des équations du quatrième degré par la trigonométrie.
On sait qu'un polynôme du quatrième degré se décompose toujours en facteurs réels du second degré; nous allons voir que la
détermination de ces facteurs dépend d'une équation du troisième degré. ”