Trigonométrie

“ La trigonométrie fournit des formules très-simples pour calculer la surface d’un triangle, quand on connaît trois de ses parties, parmi lesquelles il y a au moins un côté.
1o Calculer la surface d’un triangle, étant donnés deux côtés et l’angle compris entre eux. ”

“ On a donc cherché à obtenir, par le calcul, les trois éléments d’un triangle dont les trois autres sont connus ; c’est ce qu’on appelle résoudre un triangle. Cette partie des mathématiques, qui apprend à résoudre un triangle, porte le nom de trigonométrie. ”

“ Toute personne familiarisée avec les rudiments de la trigonométrie, sait qu'une distance inaccessible peut être exactement déterminée, en mesurant une base, des deux extrémités de laquelle l'objet inaccessible peut être vu, et si nous possédons un bon instrument capable de mesurer les angles. ”

“ Nous devons de plus observer comme une propriété, secondaire aujourd'hui, mais capitale à l'origine, du système trigonométrique adopté, la circonstance très-remarquable que la détermination des angles par leurs lignes trigonométriques ou réciproquement, est susceptible d'une solution arithmétique, la seule qui soit directement indispensable pour la destination propre de la trigonométrie, sans avoir préalablement résolu la question algébrique correspondante. ”

“ Ainsi, pour celui qui possède la trigonométrie, la leçon sur les cinq relations fondamentales entre les six fonctions circulaires du même arc est un monde d'idées à possibilités inépuisables d'où sort toute la science, dont elle est toute pénétrée et qu'elle répand à d'autres domaines ainsi qu'à la physique en tant que les phénomènes de la nature s'expriment par les formules trigonométriques. ”

“ TRIGONOMÉTRIE RECTILIGNE.
Objet de la trigonométrie.
1. Toutes les fois que les angles d'une figure font partie des données ou des inconnues dans une question numérique, les principes que nous avons exposés dans la suite de cet ouvrage ne suffisent pas pour calculer la grandeur des lignes ou des angles qui restent à déterminer. ”

“ Archimède lui-même, quoiqu'ayant, le premier, introduit en géométrie les déterminations calculées, a plusieurs fois employé de semblables moyens. La formation de la trigonométrie n'y a pas fait même renoncer entièrement, quoiqu'elle en ait beaucoup diminué l'usage; les Grecs et les Arabes ont continué à s'en servir pour une foule de recherches, où nous regardons aujourd'hui l'emploi du calcul comme indispensable. ”

“ Fig. 10. — Triangle sphérique. Des six choses dont ce triangle sphérique se compose, les trois côtés AB, BC et CA, et les trois angles formés en A, en B et en C par les arcs de cercle qui joignent ces points, trois étant connues, on peut toujours déterminer les trois autres.
Les formules à l’aide desquelles on trouve les angles d’un triangle sphérique lorsqu’on connaît les trois côtés, les côtés quand on connaît les trois angles, et ainsi de suite, sont du ressort de ce qu’on a appelé la trigonométrie sphérique. ”

“ Si l’on fait attention à la manière dont nous avons numéroté nos formules, on reconnaîtra qu’excepté les formules dans lesquelles les angles et les côtés qui leur sont respectivement opposés figurent de la même manière, toutes les formules de la trigonométrie sphérique sont doubles, et peuvent être distribuées en deux séries de telle sorte qu’on passera d’une formule de l’une quelconque des deux séries à sa correspondante dans l’autre série, en y remplaçant simplement les côtés par les supplémens des angles et les angles par les supplémens des côtés. ”

“ Nous montrerons aussi comment on a pu les introduire dans la trigonométrie , lorsqu'on remarquera que la résolution d'un triangle rectiligne, en général, se ramène à la résolution d'un triangle rectangle. N'aurait-on pas pu former une table dans laquelle on eût les valeurs des.
angles aigus, des côtés qui comprennent l'angle droit du
triangle rectangle, en imaginant que, l'hypoténuse étant constante , l'on fasse croître l'angle c qu'elle comprend depuis un arc zéro jusqu'à ce que les droites aient pour valeur 100°, c'est-à-dire qu'elles soient parallèles? ”

“ Ainsi dans le triangle ABC, BC est le côté opposé à l'angle A et AC et AB sont les deux côtés adjacens.
DÉFINITIONS GÉNÉRALES ET TRIGONOMÉTRIE SPHÉRIQUE.
60. Le plan est une surface sur laquelle prenant deux points à volonté, et joignant ces deux points par une ligne droite, cette dernière est toute entière dans la surface.
Toute surface qui n'est ni plane ni composée de surfaces planes est une surface courbe.
61. L'intersection de deux plans est une ligne droite. ”

“ Ce Traité de Trigonométrie d'Albert Girard, qui est à la suite d'une Table des sinus, tangentes et sécantes, est très-succinct, et néanmoins contient plusieurs choses intéressantes. Dans la préface, on voit que l'auteur s'était occupé de l'Analyse géométrique des Anciens, et avait rétabli leurs Traités dont les titres nous ont été transmis par Pappus; il dit, à ce sujet, qu'après ce petit Traité de Trigonométrie, « qu'il donne comme échantillon, il mettra au jour quelque chose de plus grand. » PAGE 68, § 14.
Fermat avait écrit sur les Lieux à la surface. ”

“ La géométrie et l'algèbre fournissent souvent diverses expressions d'une même quantité. On doit évidemment, d'après ce qui vient d'être dit, choisir de préférence celle qui est le plus facilement calculable par logarithmes.
§ II. Trigonométrie.
19. On sait qu'un triangle rectiligne est complétement déterminé quand ses trois côtés sont donnés, ou bien deux côtés et un angle , ou bien encore un côté et deux angles, car on peut, dans ces divers cas, construire géométriquement le triangle. ”

“ Seulement, comme on suppose toujours ce rayon égal à 1, autrement dit, comme on le prend pour unité de longueur, les longueurs des arcs de grands cercles se trouvent par là même déterminées en apparence dans les formules de la trigonométrie sphérique. ”

“ Réduction de l'équation du second degré à la forme la plus simple, par le changement des coordonnées Des tangentes et des asymptotes.
Le coefficient d'inclinaison, sur l'axe des abscisses, de la qu'on veut appliquer à- cet objet les méthodes rigoureuses que fournit la trigonométrie, il est nécessaire de donner à la mesure des angles toute la précision possible.
1. On insistera sur la marche à suivre dans le calçul, et l'on en donnera un exemple aux élèves.
2. Tous les instruments mentionnés dans la partie du programme relative au levé des plans devront être mis entre les mains des élèves. ”

“ XXVII. Je ne m'arrêterai point aux conséquences particulières que je pourrois tirer de la solution du problême précédent; je remarquerai feulement que les vîtesses W, V, U, étant toujours proportionnelles aux trois côtés d'un triangle, la trigonométrie peut fournir les moyens de donner un grand nombre de formes différentes aux équations fondamentales (E) & (F) , & je me contenterai d'en indiquer une qui ea remarquable, à cause de la méthode imaginée par les Géometres , de rapporter les mouvements à trois plans perpendiculaires entre eux ”

“ La géométrie enseigne que, pour connaître le rapport qui existe entre un angle et son unité qui est l’angle droit, il suffit de déterminer le rapport qu’il y a entre l’arc intercepté entre les côtés de l’angle et décrit de son sommet pris pour centre, avec un rayon quelconque, et le quart de la circonférence à laquelle appartient cet arc. C’est ce qu’on exprime en disant : un angle au centre a pour mesure l’arc intercepté entre ses côtés. ”

“ En A′ on construit un angle égal à l’angle A, et en C′ un angle égal à l’angle C. Le triangle A′B′C′, ainsi obtenu, est semblable à celui du terrain ; il en est le plan. Les nombres de millimètres que contiendront les côtés A′B′ et B′C′ indiqueront combien il y a de mètres dans AB et BC. L’angle B′ sera égal à l’angle B ”

“ Ici l'exactitude du résultat obtenu dépend non-seulement du degré de précision avec lequel on a mesuré ou construit chacun des angles abc, bac, mais encore de la forme même du triangle abc. On comprend très-bien que, si ce triangle est très-allongé*, la moindre erreur commise sur la direction du côté bc influera sur la position du point c beaucoup plus que si, ce point restant le même, on le déterminait d'une station b' plus éloignée du point a que b. Pour que l'intersection soit bonne, il faut que l'angle c ne soit ni inférieur à 30° ni supérieur à 50°. ”

“ Lorsque les données du problème sont prises arbitrairement, la seule condition nécessaire pour que le triangle existe, quand l’angle A est obtus, est que le côté a soit le plus grand des deux côtés donnés. ”

“ Il faut, pour cela, savoir quelle est en degrés la pente de la droite mesurée. En effet, appelons i cette pente, L la longueur de la ligne mesurée et R le rayon de courbure de la surface de niveau qui passe par le point le plus bas de cette ligne, on a, pour déterminer la longueur l de la même ligne sur f'arc correspondant de rayon R, la formule suivante, que je me dispense de démontrer :
Dans la plupart des cas de la pratique, on peut se
contenter du premier terme. ”

“ Pour pouvoir évaluer les angles en nombres, on prend de même un certain angle pour unité. Cette unité est ordinairement l'angle qu'on appelle le degré, et qui est tel qu'il faut 360 degrés placés consécutivement autour d'un même point ou sommet commun pour faire quatre angles droits, et conséquemment 90 degrés pour faire un angle droit. Le degré se subdivise en 60 parties appelées minutes, la minute en 60 parties appelées secondes. Les fractions de seconde s'évaluent en parties décimales de la seconde. ”

“ Dans tout ce qui suit, les trois angles d’un triangle seront toujours désignés par A, B, C, et les côtés opposés par les minuscules semblables a, b, c. De plus, A désignera toujours l’angle droit quand le triangle sera rectangle. ”

“ Ainsi, dans le triangle ABC, on connaît les côtés AC, BC et l’angle ACB compris entre eux ; on pourra donc calculer le côté AB qui est la distance demandée.
Remarque. Pour obtenir le côté AB, il n’est pas absolument nécessaire de connaître la longueur des côtés AC et BC ; il suffit d’avoir leurs logarithmes. ”

“ AD = AB sin B = c sin B ; le triangle rectangle ACD donne AD = AC sin ACD = b sin ACB = b sin C ; car les angles ACD et ACB étant supplémentaires, leurs sinus sont égaux.
RELATION ENTRE LES TROIS CÔTÉS ET UN ANGLE. 30. Il est utile d’avoir une relation dans laquelle il n’y ait qu’un angle avec les trois côtés ; elle nous est fournie par la géométrie. ”

“ On suppose dans ces formules que le rayon est égal à l'unité. — Comment on évalue en degrés un arc exprimé en parties du rayon. — Opération inverse. — Signes des lignes trigonométriques dans les quatre quadrants - - 96 97. Expressions des arcs qui correspondent à une ligne trigonométrique donnée. 98 98. Formules relatives aux sinus, cosinus, tangentes, etc., d'un arc ou angle quelconque. - - 99 99-103. Formules donnant le sinus, le cosinus et la tangente de la somme et de la différence de deux arcs. , 100
Pimiiérns. ”

“ Dans tout triangle rectangle, chaque côté de l'angle droit est égal à l'autre côté multiplié par la tangente de l'angle opposé ou par la cotangente de l'angle adjacent.
Quant à l'hypoténuse ot, on la calculera en remarquant que cette hypoténuse, multipliée par le cosinus de l'angle aot ou par le sinus de l'angle ota, donne le côté oa *, et que conséquemment il suffit, pour l'obtenir, de diviser le côté donné oa par le cosinus de l'angle adjacent aot ou par le sinus de l'angle opposé ota. ”

“ Définition et principe de ce procédé. — Triangle diastimométrique. — Formule pour les distances horizontales. — Détermination expérimentale des constantes qui entrent dans cette formule. — Formule pour les distances inclinées. — Influence que peut avoir une erreur commise dans la mesure de l'angle d'inclinaison. — Stadia perpendiculaire au rayon de visée. ”

“ Le milieu m de la droite tt' sera dans la direction C'C, ce qui permettra d'obtenir l'angle SC'C par une seule mesure angulaire.
Quant à la longueur CC', on l'obtiendra en prolongeant C/m jusqu'en P et en ajoutant à C'P le rayon de la tour, déduit de la longueur de sa circonférence. On peut aussi employer la formule
dont la démonstration est très-facile. ”

“ Lorsque l'on connaît les sinus et cosinus des arcs se succédant de 10" en 10", de 0 à 90°, on en déduit aisément l'aide des relations fondamentales (17) les autres lignes trigono- métriques de ces arcs. Comme dans les applications, on opère ordinairement au moyen des logarithmes, on. inscrit dans les -tables, non pas les lignes trigonométriques elles- mêmes, mais bien leurs .logarithmes. On ne s'est occupé que des quatre lignes sinus, cosinus, tangente et cotan-
gente qui sont les seules employées, dans les calculs numériques. ”

“ Résoudre un triângle connaissant un côtc l'angle opposé A et le rapport C des deux autres côtés.
132. Résoudre un triangle connaissant deux côtés b, c et la bissectrice de l'angle compris A.
133. Résoudre un triangle connaissant une hauteur et les angles qu'elle fait avec les côtés entre lesquels elle est comprise..
134. Résoudre un triangle connaissant une hauteur et les seg-ments qu'elle détermine sur la base.
135. Résoudre un triangle connaissant un côté a, l'angle opposé 'A et le rayon du cercle inscrit. ”

“ Tableau des lectures successives d'un angle observé douze fois par le procédé de réitération, et des valeurs du même angle calculées jusqu'aux centièmes de seconde.-Approximation fournie par la moyenne des douze lectures. — Précision sur laquelle il est permis de compter. 571 Exemples de la réduction des angles aux centres des stations.
378-381. Triangles dans lesquels on prendra ces exemples. —
Exemple 1 : deux angles ont été mesurés directement, il faut réduire le troisième. — Exemple II : un angle a été mesuré directement, il faut réduire les deux autres. ”

“ Remarque L- On peut calculer directement a au moyen delà relation a= V 62 + c2, mais on devra alors rendre cette expression calculable par logarithmes en employant un angle auxiliaire. Le calcul de «.étant subordonné à celui de cet angle
(lequel n'est autre qu'un des angles du triangle) (*) , il.est plus simple de faire usage, comme nous. l'avons indiqué, de la formule »==̃– r– z~-
Remarque II. L'expression de la surface du triangle en fonction des données est S = RÉSOLUTION DES TRIANGLES OBLIQUANGLES. ̃ 54. Prèmier cas. ”