Triangulation

“ Il est essentiel que la mesure des lignes principales soit faite avec une exactitude rigoureuse, car la triangulation est l'échafaudage du plan ; on ne peut errer quand elle est bien exécutée. On doit donc faire le mesurage des lignes principales et de la diagonale au moins deux fois en sens contraire. ”

“ Quand on veut faire le plan d'un terrain de grande étendue, il faut, comme nous l'avons dit dans le livre H*, déterminer par une triangulation un certain nombre de points fondamentaux, auxquels on puisse rattacher sûrement les lignes qui formeront le canevas du lever proprement dit. ”

“ Ce sera le moyen de déterminer avec une plus grande précision les extrémités de la corde de l'arc qui sert de mesure aux angles. Si l'on a le soin de mesurer cette corde d'après deux arcs de rayons différens; si l'on calcule non seulement les trois angles de chaque triangle, mais encore tous ceux qui composent le tour d'horizon, on pourra, sans le concours d'instrumens, faire une triangulation qui ne laissera rien à désirer. ”

“ Le comité d’artillerie se mettant à la disposition des géomètres chargés de la triangulation pour les envoyer dans leur cabinet de travail.
L’administration des postes s’adjoignant des petits ramoneurs pour faire le service des lettres adressées aux géomètres triangulateurs dans l’exercice de leurs fonctions. Le cou de la girafe utilisé pour la triangulation du quartier du jardin des Plantes.
Les géomètres chargés de la triangulation ayant la sage précaution de s’attacher un fil à la jambe pour le cas où il ferait grand vent le jour de l’opération. — Descendez ! on ne monte pas là haut ! ”

“ Sur deux tableaux d’une entière blancheur, une ligne noire avait été tracée. La longueur de chacune de ces ligues était mathématiquement la même, car on l’avait déterminée avec autant d’exactitude que s’il se fût agi de la base du premier triangle dans un travail de triangulation. Cela fait, les deux tableaux étant exposés dans le même jour au milieu de la salle des séances, les deux concurrents s’armèrent chacun d’une fine aiguille et marchèrent simultanément vers le tableau qui lui était dévolu. ”

“ Il arrive quelquefois que les conditions énoncées ci-dessus ne peuvent pas se rencontrer réunies; alors, au lieu de mesurer dans une seule direction, on forme une base brisée composée de plusieurs lignes droites dont on détermine les angles avec beaucoup de soin, à l'aide de la planchette.
TRIANGULATION. Les sommets de la triangulation sont pris généralement parmi les points les plus saillants du terrain. Leur nombre aussi bien que leur emplacement dépendent des circonstances locales ”

“ La triangulation , la formation du canevas trigonométrique , le tracé de la méridienne pour l'orientement du plan et son rattachement à ceux des territoires environnans ; le calcul des distances des points trigonométriques à cette méridienne et à sa perpendiculaire passant par un point donné, afin d'établir avec exactitude les divers points trigonométriques sur les feuilles destinées au rapport du plan ; la formation des croquis d'opération ; la manière de se servir des divers instrumens mis en usage pour lever les détails des plans parcellaires ”

“ Il est rare qu'on pousse l'exactitude des opérations d'arpentage jusqu'à relever les secondes. Des instrumens assez perfectionnés pour marquer ces subdivisions du degré ne s'emploient ordinairement que pour les calculs astronomiques ou pour des triangulations extrêmement développées, et je pense qu'il est superflu de s'en occuper dans un traité pratique qui doit être dégagé de toute complication inutile.
44. On conçoit que plus l'arc qui sert de mesure à un angle augmente, plus le sinus de cet angle augmente, jusqu'au point où, formant un angle droit, ce sinus devient égal au rayon. ”

“ Si je dis: le triangle vient de l'angle : la science vient de l'ignorance : Dieu vient de l'homme : on trouvera ces propositions singulières et irrationnelles. Pourquoi? C'est que je fais venir le plus du moins, et le plus du moins non quantitativement, mais qualitativement, en d'autres termes , c'est que je supprime dans le triangle, dans la science, en Dieu cette nature spécifique qui fait qu'ils sont, et qu'il sont ce qu'ils sont, et sans laquelle ils ne seraient pas ce qu'ils sont. L'angle peut devenir triangle, mais suivant, et dans l'idée du triangle. ”

“ Comme, d'ailleurs, on peut se borner à chercher les triangles primitifs, c'està-dire les triangles dont les côtés sont représentés par des nombres premiers entre eux (car les autres se ramènent a ceux-là) , on aura égard aux seules décompositions dans lesquelles les deux facteurs de P sont premiers entre eux, et par conséquent l'un pair et l'autre impair. Avec cette restriction, l'un des nombres a ou b, et par suite l'un des côtés de l'angle droit, x ou y, est lui-même toujours nécessairement pair et l'autre impair, et par suite, z, ou l'hypoténuse, est toujours impair. ”

“ Il est clair que les angles du triangle pourraient être déterminés au moyen des formules qui donnent les sinus ouïes cosinus de leurs moitiés, mais les formules des tangentes sont préférables à un double titre. D'abord comme nous l'avons vu (40) un angle est mieux déterminé par sa tangente que par son sinus ou son cosinus ensuite les formules des tangentes n'exigent l'emploi que de quatre logarithmes, tandis qu'il faut en chercher six si l'on emploie les formules des sinus, et sept, celles des cosinus. ”

“ A plus forte raison un triangle ne peut jamais avoir plus d'un angle oblus.
Dans tout triangle, un angle quelconque est supplémentaire de deux autres.
La seconde propriété des triangles : un côté commun est toujours plus petit que la
Fig. 19 bis.
somme des deux autres, se prouve par un raisonnement bien simple; car, si le plus court chemin de A en B est la ligne droite, il est clair que tout point C qui ne se confondra pas avec ceux de la droite A B déterminera une ligne brisée B A + A C > que A B (figure 19 bis) . ”

“ Connaissant deux côtés d'un triangle et F angle opposé à l'un d'eux, construire le triangle.
Soient a et b les côtés et B l'angle donnés, a le côté adjacent à l'angle donné (fig. 160) .
Traçons une droite BC égale à a, faisons au point B sur BC un angle CBX égal à B. Le troisième sommet du triangle demandé doit se trouver sur BX à une distance du point C égale à b; par conséquent il sera le point d'intersection de la droite BX et de l'arc de circonférence décrit du point C comme centre, avec une ouverture de compas égale à b. ”

“ Ces perpendiculaires diviseront donc le triangle en trois quadrilatères dont chacun sera formé de deux triangles isocèles, opposés base à base, et qui conséquemment seront symétriques à eux-mêmes ; le problème sera donc complètement résolu.
Lorsque le triangle dont il s’agit est rectangle, le problème peut être fort simplement résolu, en joignant le sommet de l’angle droit au milieu de l’hypothénuse par une droite qui divise le triangle en deux triangles isocèles, et conséquemment symétriques par rapport à eux-mêmes. ”

“ Au contraire, l’image d’un triangle, la figure triangulaire que j’imagine, est inévitablement ou scalène ou isocèle ou équiangle, sans que jamais elle puisse être à la fois scalène et, par exemple, isocèle ; si ses éléments sont rectilignes, ils ne peuvent être en même temps curvilignes, et ils sont forcément l’un ou l’autre... C’est pourquoi aucune image de triangle ne répond avec une perfection égale à tous les triangles possibles ; qu’un triangle imaginé représente précisément certains triangles, par le fait même il ne se projette plus exactement sur les autres, il n’est pas leur image. ”

“ Déterminer un triangle dont on connaît deux côtés et l’angle opposé à l’un d’eux ? (lorsqu’il est possible et déterminé) a toujours deux solutions, en tant qu’on prend le mot inclinaison dans son acception générale, et qu’on se réserve de lever le doute si cette inclinaison est aiguë ou obtuse, d’après la relation des deux côtés qui fournit une raison déterminante pour lever ce doute. ”

“ Nous avons indiqué les triangles équilatéraux comme les plus faciles à construire ; mais, si l’on trouvait qu’ils écartent trop l’un de l’autre les points et laissent ainsi la position du point trop incertaine, on pourrait leur substituer des triangles isocèles égaux deux à deux, et ayant pour hauteur commune la moitié, le tiers, le quart ou toute autre fraction de la corde qui leur servirait de base commune. ”

“ Ici, la régularité est absolue : les triangles sont des triangles équilatéraux. Mais alors on n'est plus maître du nombre des trous ; ce nombre est déterminé par la grandeur de l'interligne et le nombre des rangées qu'on y fait.
Pour l'interligne de 2 mètres, on a bien près de 20,000 trous, comme au premier tableau. On en fait seulement en moins 725. Malgré la régularité absolue, le rayon virtuel est plus grand qu'au premier tableau. L'interligne de 1m25 donne lieu à une remarque analogue. On voit par là combien on approche, avec nos tableaux, du maximum d'effet. ”

“ Enfin si l'angle A est aigu, la somme des racines de l'équation en c est positive, car cos A est positif èlles seront donc, toutes deux positives et par suite acceptables si leur produit b% a2 est positif, c'est-à-dire-si l'on a b > a tandis que- si ce produit est négatif, c'est-à-dire si l'on a a > b, l'une' seulement sera positive et il n'y aura qu'une solution. Lorsque A étant aigu, on a a b sin A, le radical s'annule et o prend une seule valeur b cos A qui est positive..Le triangle est alors rectangle. ”

“ Tirez la droite AD au point milieu D de BC ; & puisque le triangle BAD est égal au triangle BAC, on pourra donc diviser chacun de ces triangles en un même nombre de petits poids, appliqués de la même maniere à l’axe commun AD, de façon que le centre de gravité du triangle BAC sera situé dans AD. Pour déterminer le point précis, soit A D = a, B C = b ; A P = x, M N = y, & on aura Ap : MN :: AB : BC, ce qui donnera ; d’où il s’ensuit que le moment & , intégrale qui étant divisée par l’aire AMN du triangle, c’est-à-dire, par donne la distance du centre de gravité au sommet ”

“ En se servant d'un triangle équilatéral parfait en carton et en le faisant glisser sur une règle comme une équerre, on peut toujours tracer des parallèles sous un angle de 60o, cela peut toujours servir à construire des triangles parfaits de la grandeur qu'on voudra, puisqu'il suffira de tracer sur une ligne quelconque et à ses deux extrémités deux lignes sous un angle de 60' pour avoir un triangle parfait. ”

“ Ainsi une table triangulaire uniforme, supportée par des pieds à ses coins, pressera sur tous avec une égale force, quelle que soit la forme du triangle, puisque la résultante des poids des parties du triangle, qui sont les seules forces qui lui soient imprimées, passe par le centre de gravité du triangle. Si l'on place un poids sur celle table, en son centre de gravité, la pression de ce poids sera également divisée entre les pieds. ”

“ Tout repose sur une proposition bien connue de tous ceux qui se sont occupés de la géométrie de la règle ; proposition rappelée et mise en œuvre en maints endroits des annales ; et dont la vérité se déduit d’ailleurs bien simplement de la considération de la perspective d’un tronc de pyramide triangulaire à bases non parallèles. Cette proposition consiste en ce que, si deux triangles tracés sur un même plan, sont tels que les trois droites concourent en un même point, les trois points de concours des côtés et et et appartiendront à une même ligne droite, et réciproquement. ”

“ Cet inconvénient de pratique n’est point à craindre dans la méthode des triangles. Comment pourrait-on errer de quatre lieues, dont deux villes seraient éloignées l’une de l’autre, lorsqu’avec une mesure actuelle qui suit toujours, et avec des demi-cercles bien divisés, on prend divers points qui sont entre les deux termes, lesquels se joignant les uns avec les autres, sont comme une chaîne de triangles ? Est-il rien de si difficile que de répondre d’une légère erreur de temps ? ”

“ On trouve le centre d'un triangle parfait en ployant le triangle en deux pour avoir la hauteur, et en répétant ce ploiement trois fois en retournant le triangle successivement, et faisant passer toujours chaque pli du milieu par l'angle opposé à la base. Ces trois ploiements donnent trois perpendiculaires tombant chacune sur le milieu du côté opposé à l'angle d'où elle part, et qui se croiseront outes trois précisément au centre de la figure. ”

“ Ce qui précède étant admis, concevons, fiç. 5, une suite de fermes triangulaires A égales entre elles, et dont les tirants o-o seraient réunis aux points o par des articulations telles qu'en tournant autour de ces points les triangles A soient toujours situés dans un même plan. Chacun de ces triangles, pris séparément, aura une figure invariable; mais la ligne formée par les bases sera un polygone. Cela étant admis, supposons, fige 4, que l'on réunisse les sommets des triangles par des tringles rigides 1-1, égales aux bases o-o. Les triangles B seront égaux aux triangles A ”

“ Ainsi, lors même que nous nous aidons d’une image physique pour démontrer une propriété du triangle, nous ne devons voir dans cette image qu’un secours accessoire, un mode d’expression analogue à celui que nous offrent les signes de l’écriture : le triangle dont nous voulons, en réalité, parler, est celui qui existe dans notre esprit, et non celui qui est dessiné sur le sable ou sur le papyrus. ”

“ Si l’on prolonge les côtés du triangle sphérique deux à deux au-delà de leur point de concours, jusqu’à ce qu’ils rencontrent de nouveau la circonférence dont le troisième côté fait partie, on formera trois nouveaux triangles sphériques tels que chacun aura un angle égal, comme opposé au sommet, à l’un des angles du triangle proposé, compris entre deux côtés qui seront les supplémens des deux côtés correspondans de celui-là. ”

“ LEMME IV. De tous les troncs de prismes triangulaires qui ont les trois mêmes arêtes latérales et la même section perpendiculaire à leur direction commune, celui dans lequel la somme des aires des deux bases est la moindre possible est le tronc de prisme triangulaire isocèle, c’est-à-dire, celui dans lequel le plan qui passe par les milieux des trois arêtes latérales est perpendiculaire à leur direction commune. ”