Triangle équilatéral

“ En se servant d'un triangle équilatéral parfait en carton et en le faisant glisser sur une règle comme une équerre, on peut toujours tracer des parallèles sous un angle de 60o, cela peut toujours servir à construire des triangles parfaits de la grandeur qu'on voudra, puisqu'il suffira de tracer sur une ligne quelconque et à ses deux extrémités deux lignes sous un angle de 60' pour avoir un triangle parfait. ”

“ Soient considérés le triangle comme la perspective d’un triangle équilatéral, et le comme la perspective de son centre, ce qui est permis ; les droites seront des perspectives de droites parallèles, et devront conséquemment concourir en un même point Pour la même raison, les droites concourent en un même point ; et les droites concourent en un même point
Soient présentement considérés les deux triangles comme les perspectives des deux bases d’un tronc de tétraèdre, à bases non parallèles ; étant la perspective de son sommet. ”

“ Un triangle équilatéral T tourne autour d'un axe MN situé dans son plan perpendiculairement à la base a : la distance de l'axe au triangle est égale au côté a. On demande le volume et la surface du solide engendré.
Le volume demandé est la différence des troncs de cône engendrés par CDEF et CDEG; les rayons sont 2a, a et a; la hauteur le est la hauteur d'un triangle équilatéral dont le côté est a ou h = ~ilia\/3 (G., n° 316.) ”

“ Chaque sommet d'un triangle équilatéral étant pris pour centre et le côté étant le rayon, si l'on décrit trois arcs, on obtient un triangle équilatéral curviligne dont on demande d'exprimer l'aire en fonction du côté r du triangle èquilatéral. ”

“ P. Par une droite limitée à deux côtés, diviser un triangle ABC en deux parties équivalentes et isopèrimètriques. Par le centre I du cercle inscrit, on mène une droite qui divise le triangle en deux parties équivalentes. On peut avoir six solutions (exemple, le triangle équilatéral a trois solutions doubles, les trois hauteurs) . On procède d'une manière analogue pour un polygone circonscriptible quelconque. ”

“ Dans un triangle équilatéral, les trois hauteurs sont égales, ainsi que les trois bissectrices et les trois médianes; il en est de même des perpendiculaires élevées sur les milieux des trois côtés; ces quatre systèmes de droites se confondent en un seul.
Exercice 34
476. Théorème. Un triangle est isocèle lorsqu'il a deux hauteurs égales; il en est de même lorsque deux des perpendiculaires élevées sur les milieux des côtés opposés sont égales. ”

“ Théorème. Lorsqu'une circonférence est circonscrite à un triangle équilatéral, démontrer que la distance d'un point quelconque de celle circonférence à un des sommets du triangle égale la somme des distances du même point de la circon férence aux deux autres sommets.
Il faut prouver qu'on a : MC = MA + MB ou MD + DC = MA + MB lU Démonstration. Par le sommet A, menons ADE parallèle à MB; il en résulte : Arc BE = arc A M ABC Arc 1\18E = arc AlB = arc 2 Le triangle ADM est équilatéral, car il est équiangle. ”

“ Les deux côtés égaux AB et AC peuvent être regardés comme des obliques s'écartant également du pied D
Fig. 82. — Triangle isocèle.
Fig. 83.
de la perpendiculaire. L'angle A se trouve aussi partagé en deux parties égales par la hauteur.
Enfin les angles C et B sont égaux.
Propriétés du triangle équilatéral. — Celles-ci
F. 84.-Tr. équilatéral.
sont la conséquence de ce qui précède. Un triangle équilatéral n'est-il pas en même temps isocèle, de quelque côté qu'on l'envisage ? C'est un triangle de tout point régulier : chaque hauteur atteint en son milieu le côté qui lui est opposé. ”

“ Dans le triangle équilatéral, par exemple, le centre de figure K (P. VI, F. 32) , n'est pas centre de symétrie, attendu que les axes
ne s'y coupent pas par le milieu, et quils ne se rencontrent pas d'équerre.
PROBL. (a) : Tracer un losange dont le côté est donné (P. VII, F. 38) .
Marquez deux points A, B dont la distance soit moindre que le double du côté donné C. Puis, de chacun de ces points, avec C pour rayon, décrivez un arc, et joignez A, B aux intersections D, E des deux arcs. La figure ADBE sera un losange, parce que ses quatre côtés seront égaux. ”

“ Les trois côtés peuvent être considérés comme trois droites indéfinies; pour chacune de ces droites, on peut considérer une face interne ou intérieure, du côté du triangle, et une face externe ou extérieure, à l'opposé du triangle. La distance sera considérée comme positive quand elle tombera à l'intérieur du côté, et comme négative quand elle tombera à l'extérieur.
Par exemple, pour le point P, les distances sont PD, PE et - PF; or le point P étant sur le prolongement d'un côté du triangle équilatéral AHK, on a (n° 486) PE - PF = AI ”

“ Problème 612.
1703. A un cercle inscrire un triangle dont l'aire soit maxima. 1er Moyen. Il faut que le triangle soit équilatéral. En effet, soit un
triangle quelconque ABC. Par le point A, menons une parallèle à BC; si le triangle n'est pas isocèle, la droite AD sera une corde et non une tangente; donc le triangle OBC est plus grand que ABC.
Ainsi OB doit égaler OC.
Par un raisonnement analogue, on démontre que, par rapport à la base OB, il faut que OC = BC ; ainsi le triangle maximum est équilatéral. ”

“ Ce feroit , de l'aveu de tout le monde, une pensée bien absurde que de prétendre qu'un Géomètre qui trace un triangle équilatéral , ne forme pas le triangle en lui-même, & qu'il ne fait que le déterminer à être équilaté- ral plutôt que scalene ou isoscele. On* en conçoit aisément la raison ; on ne peut >. pour ainsi dire, partager l'exis-
tence du triangle équilatéral, en sépatant l'existence du triangle en général d'avec l'existence des déterminations qui en font un triangle équilatéral , & supposer ainsi qu'on puisse ajoûter ces déterminations à quelque triangle en général déja existant. ”

“ «Les géomètres savent, dit le Dr Reid, qu'il n'y a que trois sortes de figures que l'on puisse adopter pour diviser une surface en petits espaces semblables, de forme régulière et de même grandeur sans interstices.
«Ce sont le triangle équilatéral, le carré et l'hexagone régulier qui, en ce qui concerne la construction des cellules, l'emporte sur les deux autres figures, au point de vue de la commodité et de la résistance. Or, c'est justement la forme hexagone que les abeilles adoptent, comme si elles en connaissaient les avantages. ”

“ Déjà vous connaissez ceux qui sent relatifs au triangle équilatéral et au carré (p. 188 et 209) . Nous allons exposer les autres , et nous enseignerons en même temps, comment on inscrit dans un cercle donné, les polygones usités; pour plusieurs , l'opération dépend des principes suivans.
219. La corde d'un arc de 60° égale le rayon.
Soit DE la corde d'un arc de 60" (P. VIII, F. 18) . En menant les rayons OD, OE, nous formerons un triangle symétrique DOE dont l'angle 0 sera de 60°. Il restera donc 180°— 6o°— 120°, pour la somme des indications des deux autres angles D, E (107) . ”

“ Si le triangle donné avoit deux angles au-dessous de 60 degrés, quel que fût celui dont on se servît pour résoudre le problême, on obtiendroit ļe même triangle équilatéral, la même inclinaison du plan, et une position analogue des côtés ; de sorte que les quatre solutions que paroît présenter ce problème, se réduisent réellement à une seule. Je les ai indiquées dans la fig. 3 où la ligne est perpendiculaire à . ”

“ D'ailleurs, le sommet est sur la circonférence décrite du centre 0 avec b pour rayon; donc il faut mener la tangente FDE telle que le point do contact en soit le milieu.
On sait (n° 311) que lorsque a > r, c'est la seconde racine qui donne PE. On aurait donc, en prenant a et 6 avec leurs valeurs absolues :
1712 a. Surface. Pour obtenir la surface, il faut calculer PH et DU.
(n° 312, formule 3) .
(n° 312, formule 4) .
Remarque. Quand b = a, on obtient le demi-hexagone régulier
Ainsi PEF est alors la moitié du triangle équilatéral circonscrit au cercle, car OE = 2 . ”

“ Plus on trouvera de moyens de fixer ses idées par des exemples matériels, et plus les notions seront durables.
(1) Si on joint les côtés d'un polygone régulier inscrit avec le centre du cercle par des rayons, l'angle au centre compris entre ces rayons est toujours, pour un triangle équilatéral, de 120 degrés du rapporteur; pour le carré inscrit, da: 90 degrés; pour le pentagone, de 72 ; pour l'hexagone, de 60 ”

“ Par un point donné dans l’intérieur d’un angle trièdre tri-rectangle, et également distant de ses trois faces, conduire un plan tellement dirigé que sa partie interceptée dans l’angle trièdre dont il s’agit soit un triangle semblable à un triangle donné ? ”

“ Ainsi, dans tous les cas, la question se réduit à démontrer que, lorsqu’un triangle, situé sur l’une des faces d’un angle dièdre a de plus sa base située sur son arête, l’aire de sa projection sur l’autre face est égale à l’aire du triangle, multipliée par le cosinus tabulaire de l’angle dièdre dont il s’agit. ”

“ La manière la plus générale de concevoir la génération de toutes les formes différentes des solides est de commencer par la figure plane la plus simple, qui est le triangle. En établissant donc une base triangulaire équilatérale et trois triangles pareils sur les trois côtés de cette base, on formera un tétraèdre régulier dont les quatre faces triangulaires sont égales ”

“ Nous avons indiqué les triangles équilatéraux comme les plus faciles à construire ; mais, si l’on trouvait qu’ils écartent trop l’un de l’autre les points et laissent ainsi la position du point trop incertaine, on pourrait leur substituer des triangles isocèles égaux deux à deux, et ayant pour hauteur commune la moitié, le tiers, le quart ou toute autre fraction de la corde qui leur servirait de base commune. ”

“ Les triangles AMF, ABE sont semblables, car ils sont équiangles; en effet l'angle AMF a pour mesure 1⁄2 (AD + CE) , l'angle B a pour mesure 1⁄2 (AC + CE) ; mais AD=AE; donc l'angle B = M. Les triangles semblables donnent:
Remarque. La droite CD, infiniment prolongée, est la figure inverse de la circonférence, par rapport à l'origine A. (G., n°825; E. de G.,n°223.) 1295. Théorème. Étant donné un triangle rectangle ABC inscrit
dans un cercle, on élève, en un point quelconque du diamètre, une perpendiculaire DG allant rencontrer les deux autres côtés du triangle. ”

“ Soit décomposé ce polyèdre en pyramides ayant ses faces pour bases, et pour sommet commun un point pris arbitrairement dans son intérieur ; concevons qu’ensuite on applique au centre de gravité de l’aire de chacun des triangles qui servent de faces latérales communes à deux pyramides consécutives, et perpendiculairement au plan de ce triangle, deux forces égales et contraires, proportionnelles à l’étendue de ce même triangle ; les forces, ainsi introduites, se trouvant en équilibre deux à deux, ne pourront rien changer à l’état du système. ”

“ Si l’on prolonge les côtés du triangle sphérique deux à deux au-delà de leur point de concours, jusqu’à ce qu’ils rencontrent de nouveau la circonférence dont le troisième côté fait partie, on formera trois nouveaux triangles sphériques tels que chacun aura un angle égal, comme opposé au sommet, à l’un des angles du triangle proposé, compris entre deux côtés qui seront les supplémens des deux côtés correspondans de celui-là. ”

“ Soient A'B'C' les intersections des côtés homologues de deux positions quelconques du triangle, démontrer que le quadrilatère XA'B'C' est toujours semblable à lui-même, et trouver comment il faut choisir le point X, par rapport à ABC, pour qu'il soit le centre du cercle circonscrit ou inscrit à A'B'C' ou l'orthocentre, ou le centre de gravité de ce même triangle. ”