Alphonse Amiot

“ COROLLAIRE II. — Le volume engendré par un demi-polygone régulier ABCDEF d'un nombre pair de côtés tournant autour de son diamètre AF est égal aux deux tiers du cercle inscrit par le diamètre du cercle circonscrit.
Car la projection AF du périmètre ABCDEF sur l'axe n'est autre que le diamètre du cercle circonscrit au polygone.
THÉORÈME III.
Le volume d'un secteur sphérique est égal au produit de la zone qui lui sert de base par le tiers du rayon de la sphère. ”

“ SCHOLIE II.— Si on considère un cercle quelconque DEF comme étant un parallèle, le diamètre AB de la sphère, perpendiculaire sur le plan de ce cercle, est un axe de révolution et ses extrémités A et B sont deux pôles de la surface sphérique. ”

“ On donne le nom d'angle trièdre à celui qui n'a que trois faces.
Un angle trièdre est rectangle, s'il a un angle dièdre droit; bi-rectangle, s'il en a deux; et tri-rectangle, si ses trois angles dièdres sont droits.
2. Un angle polyèdre est convexe, s'il se trouve entièrement d'un même côté de chacun des plans prolongés indéfiniment qui le forment. Dans le cas contraire, on dit qu'il est concave.
Il est évident que le plan ABCDE, qui rencontre toutes les
arêtes de l'angle polyèdre convexe S d'un même côté du sommet, coupe sa surface suivant un polygone convexe ABCDE.
3. ”

“ Lorsqu'un angle est tracé sur le plan d'une circonférence et que ses côtés sont sécants ou tangents, on peut, pour le mesurer, ne pas décrire une circonférence de son sommet comme centre et faire usage de la première circonférence. ”

“ On appelle ligne brisée régulière une ligne brisée , plane et convexe, dont les côtés sont égaux et les angles égaux.
Toute ligne brisée régulière peut être inscrite dans le cercle et lui être circonscrite, comme le périmètre d'un polygone régulier dont elle diffère en ce que son angle au centre n'est pas généralement une partie aliquote de quatre angles droits.
Une ligne brisée régulière a un centre, un rayon et un apothème qui sont le centre et les rayons des cercles circonscrit et inscrit. On donne aussi le nom de diamètre à toute droite menée par son centre. ”

“ Une pyramide est inscrite dans un cône lorsqu'elle a pour hase un polygone inscrit dans la base du cône et que leurs sommets coïncident.—Les arêtes de la pyramide qui passent par le sommet sont des génératrices de la surface conique.
Au contraire, une pyramide est circonscrite à un cône, lorsque sa base est un polygone circonscrit à la base du cône et que leurs sommets coïncident; chacune des bases latérales de la pyramide est tangente au cône, puisqu'elle passe par le sommet du cône et par une tangente à sa base. ”

“ Le rectangle est un parallélogramme dont tous les angles sont droits.
Le carré est un rectangle dont tous les côtés sont égaux, ou un losange dont tous les angles sont droits.
THÉORÈME I.
Les côtés opposés d'un parallélogramme sont égaux, les angles opposés le sont aussi.
Je trace la diagonale AC du parallélogramme ABCD; cette droite partage le parallélogramme en deux triangles ABC, ADC, égaux entre eux (3, II) , car le côté AC leur est commun,, les angles BAC,
ACD, sont égaux comme alternes-internes par rapport aux parallèles AB, CD, et à la sécante AC (7, IV) ”

“ Pour distinguer les points extérieurs au cercle des points intérieurs, convenons d'affecter du signe + ou du signe — les segments AD, AE, suivant qu'ils sont comptés dans un sens ou dans l'autre à
partir du point A; alors +ADX AE sera la puissance d'un point A extérieur au cercle et —AD X AE celle d'un point intérieur.
THÉORÈME I.
La puissance d'un point, par rapport à un cercle, est égale à l'excès du carré de la distance de ce point au centre sur le carré du rayon.
1° Si le point A est extérieur au cercle C, tracez la tangente AB. La puissance de A est égale à + AB2. ”

“ Dans les deux cas le point d'intersection B des deux droites est appelé le pied de la perpendiculaire ou de l'oblique.
On nomme angle droit tout angle dont l'un des côtés est perpendiculaire
à l'autre.
6. Un théorème est la proposition d'une vérité qu'il faut démontrer.
L'énoncé d'un théorème renferme deux parties, savoir: une hypothèse faite sur un certain sujet et une conclusion qui est la conséquence de l'hypothèse. Le raisonnement que l'on
fait pour déduire la conclusion de l'hypothèse, lorsque leur dépendance n'est pas évidente, est appelé la démonstration du théorème. ”

“ Si on coupe une pyramide par un plan parallèle à sa base, le volume du tronc de pyramide est égal à la somme des volumes de trois pyramides, ayant pour hauteur commune la hauteur du tronc et pour bases respectives la base inférieure du tronc, sa base supérieure et une moyenne proportionnelle entre ces deux bases. ”

“ Construire une ellipse dont on connaît un sommet, un foyer et une tangente.
13. Le lieu géométrique des points d'intersection des diagonales d'un trapèze dont la base inférieure est fixe et dont la base supérieure est constante, ainsi que la somme des deux côtés non parallèles, est une ellipse. (Nouvelles Annales de mathématiques, tome II.) 14. Etant donnés un cercle et un point dans son intérieur, si sur chacun des diamètres de ce cercle on décrit une ellipse qui ait ce diamètre pour grand axe et qui passe par ce point, quel sera le lieu géométrique des foyers de ces ellipses? ”

“ Lorsque la surface d'un corps est formée de plusieurs parties distinctes, deux faces contiguës ont des limites communes, que l'on appelle lignes. Ainsi la ligne est le lieu de l'intersection de deux surfaces. ”

“ Les rayons OA, OB, etc., de la
sphère, menés aux différents points A, B, etc., du contour de la section, sont obliques au plan ABD et égaux entre eux ; donc ils s'écartent également de la perpendiculaire OC (1, VI) , et la courbe ABD qui a tous ses points également distants du point C est une circonférence de cercle. Son rayon CA est moindre que le rayon OA de la sphère.
Remarque. — Les cercles qui ont le même centre et par suite le même rayon que la sphère se nomment grands cercles.
— Tous les grands cercles sont égaux. ”

“ COROLLAIRE.—Le volume d'une pyramide polygonale OABCDE est à celui de la pyramide trirectangle comme la somme des angles dièdres de la pyramide polygonale, diminuée d'autant de fois deux angles dièdres droits que sa base a de côtés moins deux, est à l'angle dièdre droit. ”

“ Trouver sur une droite un point tel que la différence des carrés de ses distances à deux points donnés soit égale à un - carré donné.
TROISIÈME ET QUATRIÈME LEÇONS.
PROGRAMME : Parallélisme des droites el des plans.
DÉFINITIONS.
4. Une ligne droite est parallèle à un plan lorsqu'elle ne peut le rencontrer, quelque loin qu'on prolonge cette droite et le plan.
2. Deux plans sont parallèles, s'ils ne peuvent se rencontrer à quelque distance qu'on les prolonge.
THÉORÈME I.
Si deux lignes droites sont parallèles, tout plan perpendiculaire à l'une est aussi perpendiculaire à l'autre. ”

“ La grandeur d'un angle dièdre, par exemple de l'angle ABCD, ne dépend que de l'écartement de ses faces, qu'il faut toujours concevoir prolongées indéfiniment. Pour se faire une idée de cette grandeur, on suppose le plan DBC d'abord appliqué sur le plan ABC; puis on le fait tourner autour de l'arête BC jusqu'à ce qu'il ait repris sa position primitive. La quantité dont le plan DBC a tourné est précisément ce qui constitue la grandeur de l'angle dièdre ABCD.
2. Deux angles dièdres sont adjacents lorsqu'ils ont la
même arête, une face commune et qu'ils sont placés des deux côtés de cette face. ”

“ On donne le nom de diagonale à la droite qui joint deux sommets non consécutifs d'un polygone.
On distingue parmi les quadrilatères: le trapèze, dont deux côtés sont parallèles ; le parallélogramme, dont les côtés opposés sont parallèles ; le losange, qui a les côtés égaux et les angles inégaux ; le rectangle, dont les angles sont égaux et les côtés inégaux ; enfin le carré, qui a les côtés égaux et les angles égaux. ”

“ La circonférence est une ligne courbe dont tous les points sont également distants d'un même point qu'on appelle centre.
Le cercle est la portion de plan limitée par la circonférence.
On nomme rayon une droite quelconque menée du centre à la circonférence. Tous les rayons d'une circonférence sont égan x entre eux. On désigne ordinairement une circonférence par l'un de ses rayons.
Un arc est une portion quelconque de la circonférence; il a pour corde ou sous-tendante la droite qui joint ses extrémités. ”