Rectangle

“ On voit par là que, dans tous les cas, le nombre qu exprime l'aire du rectangle est égal au produit des nombres qui expriment la base et la hauteur, ce que l'on énonce en disant : l'aire d'un rectangle est égale au produit de sa base par sa hauteur. Mais il faut avoir bien soin de prendre pour unité de surface le carré construit sur l'unité de longueur.
COROLLAIRE. Un carré étant un rectangle qui a ses côtés égaux, il s'ensuit que l'aire d'un carré a pour mesure le carré de son côté. ”

“ Comme, sur un plan, l'ensemble de facettes rectangulaires qui ont deux à deux un côté commun, doit former un rectangle, il est clair que le développement d'une surface cylindrique droite est un rectangle dont la base égale en longueur celle de la surface, et dont la hauteur égale une des génératrices droites. ”

“ Car on voit, par les proportions des membres de l’homme, que la longueur du corps humain est généralement de trois brasses. Je divise la ligne inférieure du rectangle en autant de parties que cette mesure y est contenue de fois. La base du rectangle sera proportionnelle à la ligne transversale la plus rapprochée tracée sur le sol à égale distance de tous les points de la première. Je pose ensuite un point unique, dans l’aire du rectangle, à l’endroit où se porte la vue et où doit aboutir le rayon central. Aussi nommé point de centre. ”

“ « Si les quatre côtés étaient égaux, le rectangle deviendrait un carré. » Tracer un rectangle, fig. 14. La construction est la même que pour le carré, excepté que les verticales ne doivent pas être de la même hauteur que la base.
Vérification du rectangle. On mesurera les angles à l'équerre; ils doivent tous être droits. On mesurera ensuite au demi-mètre deux côtés opposés s'ils sont égaux, les deux autres sont aussi égaux entre eux, et la figure est un rectangle.
24. — On recommencera les figures 12, 13, 14 et 15, avec des longueurs déterminées en décimètres, centimètres et millimètres. ”

“ Voici maintenant, mes enfants, un rectangle dont la surface n'est pas divisée par petits carrés; seulement le long des deux côtés de ce rectangle qui se joignent, sont tracées de petites marques divisant ces deux côtés en centimètres ; vous voyez que le grand côté dans le sens de la largeur a 7 centimètres.
Remarquez, mes enfants, que ces marques suffisent pour que vous puissiez vous-mêmes diviser la surface en carrés. Vous n'avez pour cela qu'à tracer, par chaque marque du grand
côté, une ligne droite parallèle au petit côté, ce qui divisera votre rectangle en 7 bandes. ”

“ Remarque II. On obtient, comme il suit, la condition de possibilité du problème proposé :
LEMME II. Partager trois droites données de grandeur chacune en deux parties de manière que l’on connaisse de grandeur chacun des rectangles suivans : savoir, le rectangle d’une partie de la première par une partie de la seconde ; le rectangle de l’autre partie de la seconde par une partie de la troisième ; enfin le rectangle de l’autre partie de la troisième par l’autre partie de la première ? ”

“ Si l'on demande à diverses personnes de comparer, en dehors de toute association d'idées, l'agrément d'un rectangle régulier et celui d'un rectangle irrégulièrement contourné, le résultat n'est jamais douteux : la symétrie l'emporte toujours. ”

“ J’aurai donc dessiné ainsi sur le sol toutes les parallèles, et j’aurai la preuve qu’elles seront faites régulièrement, si une ligne continuée, tracée sur ce sol, sert de diamètre aux rectangles juxtaposés. Les mathématiciens nomment diamètre d’un rectangle cette ligne droite qui, allant d’un angle à celui qui lui est opposé, divise le rectangle en deux parties, de façon à en faire deux triangles. ”

“ La surface produite par la révolution d'un polygone régulier a pour mesure celle d'un rectangle dont la base serait égale à la circonférence du cercle inscrit et dont la hauteur serait égale au diamètre du polygone. ”

“ Appliquer, d’autre part, un rectangle à un segment donné, c’est, par définition, construire un rectangle ayant ce segment pour l’un de ses côtés, ou, plus généralement, dont l’un des côtés coïncide avec une partie du segment donné ou avec ledit segment prolongé d’une certaine longueur. Partant de cette définition, on peut se proposer de construire des rectangles qui soient appliqués à un segment donné et satisfassent à diverses conditions. De là une série de problèmes qui correspondent exactement aux principaux types d’équations du second degré. ”

“ Ce principe nous permet de varier à l'infini la forme de nos trente-deux modèles, sans altérer la mesure de leurs surfaces rectangulaires ; par la règle nous aurons la largeur et nous obtiendrons la hauteur au moyen du problème suivant : Trouver la hauteur d'un rectangle dont on connaît la base et la surface. ”

“ Le rectangle est une figure de quatre côtés perpendiculaires les uns aux autres, et le carré est un rectangle dont les côtés sont égaux.
On a encore besoin de tracer des perpendiculaires dans une infinité d'autres cas. On sait, par exemple, que la régularité des figures telles que ABCD, FGHI (fig. 2 et 3) ,
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appelées rectangles, et composées de quatre côtés per¬
pendiculaires les uns aux autres, engage à donner leurs formes aux maisons, aux jardins, aux chambres, aux pans de mur, etc. ”

“ Dessiner la fig. 42. Cette figure servira de composition pour les élèves : ceux qui pourront la tracer régulièrement ont fait de grands progrès en dessin linéaire. Les difficultés qu'ils rencontreront désormais dans le reste de l'ouvrage exigeront du goût, tandis que jusqu'à présent l'exactitude géométrique a suffi.L'élève tracera son rectangle, et élèvera des verticales pour ranger symétriquement les carreaux ; il peut, afin de rendre son travail plus facile, diviser le rectangle en carrés égaux, et dessiner un carreau dans chaque petit carré. ”

“ Le nom de polygone s'applique à chacune de ces surfaces. Le triangle est rectangle s'il a un angle droit. Le triangle est oxigone quand les trois angles sont aigus. Le QUADRILATÈRE est un rectangle quand ses quatre angles sont droits ; il est un carré si ses côtés et ses angles sont égaux, il est rhombe ou PARALLÉLOGRAMME si les côtés opposés sont parallèles ; un trapèze, s'il n'y a que deux côtés parallèles. On s'assure du PARALLÉLISME de deux lignes en examinant si elles sont toujours à égale distance l'une de l'autre. ”

“ Le carré est une figure ou polygone qui a ses quatre côtés égaux et ses angles droits.
Le rectangle a ses angles droits mais seulement deux côtés égaux ; il est plus long que large. Une surface courbe est celle qui n'est ni plane ni composée de surfaces planes. On ne peut tirer une ligne droite d'un point à un autre sur une surface courbe.
Tout solide a trois mesures d'étendue : longueur, largeur, hauteur ou épaisseur. Les solides ou corps sont terminés par des surfaces, des plans ou faces planes. ”

“ Il est facile ensuite d’avoir un quarré égal à ce rectangle, puisqu’il ne faut pour cela que trouver une moyenne proportionnelle entre les deux côtés du rectangle. Voyez Aire, Quarré. Voyez aussi les méthodes particulieres de trouver les superficies de ces figures aux mots Triangle, Parallelogramme, Trapese, &c.
La quadrature des courbes, c’est-à-dire la maniere de mesurer leur surface, ou de trouver un espace rectiligne égal à un espace curviligne, est une matiere d’une spéculation plus profonde, & qui fait partie de la Géométrie sublime. ”

“ Remarque. On parvient ainsi à un théorème que nous aurons occasion de démontrer par diverses méthodes; on peut donc consigner le résultat suivant : Théorème. Le rectangle maximum que l'on peut inscrire dans un triangle donné, a pour base supérieure la droite qui joint les points milieux des deux côtés latéraux du triangle.
Exercice.
304. Problème. Inscrire, dans un triangle ABC, un rectangle tel que la somme ou la différence des carrés des côtés adjacents égale un carré donné. ”

“ Les plans, menés par chacune des arêtes d'un angle trièdre et la bissectrice de la face opposée à cette arète, passent par la même droite.
5. Toute section, faite dans un angle trièdre rectangle par un plan perpendiculaire à l'une de ses arêtes, est un triangle rectangle.
6. Le point de rencontre des hauteurs du triangle qu'on obtient en coupant un angle trièdre tri-rectangle par un plan quelconque, est la projection du sommet de l'angle trièdre sur ce plan. ”

“ Supposant le plan vertical de projection relevé rectangulairement sur le plan horizontal, nous pouvons considérer un triangle rectangle formé 1° par la ligne qui joint le point A et le point P comme hypoténuse, 2° par la projection horizontale Ap de cette ligne, et 3° par la projetante Pp.
Nous pouvons rabattre ce triangle rectangle, soit
autour de son côté horizontal, sur le plan horizontal, soit sur le plan vertical autour de son côté vertical. ”

“ Mesure des angles. Les angles opposés aux côtés égaux doivent être égaux ; on les mesurera au rapporteur.
17. — « On appelle triangle rectangle celui qui a un angle droit. »
Tracer un triangle rectangle, fig. 11. L'élève tracera d'abord une horizontale ; à l'une de ses extrémités il élèvera une verticale, et joindra par une droite les extrémités de l'horizontale et de la verticale.
Telle est la construction la plus simple. On pourra demander ensuite que l'angle droit soit opposé à la base; quand on dessine sans instruments, cette construction est beaucoup plus difficile que la précédente. ”

“ Lorsque la hauteur et la base d'un triangle sont égales entre elles, tout rectangle inscrit a un périmètre constant (n°257) .
2. Le rectangle inscrit dans un carré, et dont les côtés sont parallèles aux diagonales du carré, a un périmètre constant (n° 19) .
3. La somme des distances d'un point quelconque de la base d'un triangle isocèle aux deux autres côtés est constante (n°20) . ”

“ Soient, en effet, un rectangle et un carré équivalent ; et supposons, s’il est possible, que ce carré n’ait pas un moindre périmètre ; en construisant un rectangle semblable à et de même périmètre que ne serait pas moindre que ni conséquemment moindre que contrairement à ce qui vient d’être démontré.
THÉORÈME II. Parmi tous les parallélipipèdes rectangles de même surface, le cube est celui de plus grand volume. ”

“ Les angles semblables sont des angles égaux. Dans les angles solides, lorsque les plans sous lesquels ils sont contenus sont égaux en nombre & en grandeur, & sont arrangés dans le même ordre, les angles solides sont semblables & par conséquent égaux. Voyez Angle.
Les rectangles semblables sont ceux dont les côtés, qui forment des angles égaux, sont proportionnels. Voyez Rectangle. ”

“ Opérez comme pour faire un rectangle dont la base et la hauteur seraient égales à L (254) ; ou bien , tracez deux droites AC, BD, qui se coupent à angles droits (54) ; décrivez de leur intersection E, avec un rayon quelconque, un arc qui les rencontre aux points F, G; portez L sur la droite FG, de F en H; menez par H une parallèle à BD, jusqu'à EG, pour déterminer le point A; portez EA de E en B, en C, en D, et tirez les droites AB, BC, CD, DA.
Le quadrilatère ABCD est en effet un carré, car ses diagonales AC, BD sont égales et se coupent d'équerre par le milieu. ”

“ Dans tout triangle, le carré construit sur un côté opposé à un angle aigu, est équivalent à la somme des carrés construits sur les deux autres côtés, diminuée de deux fois le rectangle qui auraitpour dimensions l'un des côtés de l'angle aigu et la projection de l'autre côté sur le premier. ”

“ Lemme. Soient deux droites dont on connaît seulement la somme des quarrés : on demande la plus grande valeur de la somme de leurs rectangles par des droites données de grandeur. Ou, soit un triangle rectangle dont l’hypothénuse seulement est donnée de grandeur, on demande la plus grande valeur de la somme des rectangles de ses côtés par des droites données de grandeur. ”

“ Elles sont divisées en quatre compartiments rectangulaires par des lignes réservées se coupant à angle droit et formant ainsi quatre carrés munis à la partie médiane de chacune de leur face d'un petit rectangle émaillé de rouge opaque. ”

“ Rectangle, en terme d’Arithmétique, est la même chose que produit. Voyez Produit & Multiplication.
Rectangle, se dit aussi adjectivement.
Un triangle rectangle est celui qui a un angle droit ou égal à 90 degrés.
Il ne peut y avoir qu’un angle droit dans un triangle rectiligne, ce qui fait qu’un triangle rectangle ne sauroit être équilatéral. Voyez Triangle & Rectangulaire. ”

“ Soit donné le grand tableau et le petit: il faut mener la diagonale du grand et reporter la largeur du petit sur le grand, de A en B; de B élever une verticale; à sa rencontre avec la diagonale, elle détermine 0; la grandeur B 0 est la hauteur exacte du petit tableau.
Fig. 4 et 5. Pour obtenir le milieu d'un carré ou d'un rectangle, il faut mener ses diagonales; si alors de leur rencontre 0, qui est le milieu, on élève une verticale, elle servira à déterminer le sommet d'un toit en fronton.
Pour mener des parallèles et pour élever des perpendiculaires. ”

“ RÉDACTION. Tirez une droite AB (F. 4) qui soit placée par rapport aux bords du papier ou du cadre, comme sa correspondante du terrain le serait par rapport aux côtés d'un rectangle qui renfermerait le polygone levé; faites au point A et sur AB, avec le rapporteur (537) , un angle de 75° , pour avoir la direction Aa de l'aiguille aimantée; marquez le point B, en portant, de A vers ce point, 120 mètres fictifs de l'échelle ; tracez Bb parallèlement à A a, et avec le rapporteur, faites en B, sur Bb, un angle de 105° , pour avoir la direction du côté BC; donnez à ce côté 85 mètres de l'échelle ”

“ PROBLÈMES FONDAMENTAUX DE LA GÉOMÉTRIE DESCRIPTiVE. (Changement des plans de projection et rotation des figures autour d'un axe.)
42. Lorsque l'équation d'une ligne ou d'une surface est trop compliquée, on cherche, en analyse, à la simplifier en rapportant la courbe ou la surface à de nouveaux axes choisis de manière à faire disparaître certains termes, comme par exemple les rectangles des coordonnées et les termes du premier degré dans les équations des courbes ou des surfaces du second ordre. ”