équation quadratique

“ On sait que l’intégration de toute formule entre des limites données, et par exemple, revient à quarrer l’aire mixtiligne terminée d’une part par la courbe dont l’équation serait d’une autre par l’axe des , et enfin par les ordonnées de cette courbe répondant respectivement aux abscisses et C’est même de là que ce problème a été appelé problème des quadratures, et c’est sous ce point de vue que nous l’envisagerons constamment, dans tout ce qui va suivre. ”

“ Lorsqu’on se sera assuré que est une différentielle exacte, les équations (3) et (4) offriront le moyen le plus simple pour remonter à son intégrale par les quadratures seulement. Mais il nous reste à démontrer présentement que toute fonction différentielle qui satisfait identiquement aux dernières équations (3) et (4) est nécessairement par là même une différentielle exacte.
Premièrement, soit une fonction quelconque de
assujettie à la seule condition de satisfaire à l’équation
(7) dans laquelle est une quantité constante quelconque. ”

“ Mais, au lieu de combiner entre elles les équations (L) et (q) , on peut construire leurs lieux géométriques, qui détermineront, par leur intersection, le point de contact cherché ; or ; de ces deux lieux, le premier (L) se trouve tout construit ; puisque c’est la courbe donnée elle-même ; et, comme l’autre (q) est celui d’une ligne droite, il s’ensuit que c’est l’équation de la droite qui joint les points de contact qui, en effet, doivent être au nombre de deux, puisque leur détermination dépend de la combinaison d’une équation (L) du second degré avec une équation (q) du premier. ”

“ On prendra pour tous les nombres tant positifs que négatifs qui ne sont pas plus grands que , et dont est résidu quadratique ; et pour chaque valeur de , en prendra successivement égal à toutes les valeurs de l’expression , qui ne sont pas , en les prenant tant positiveraient que négativement. ”

“ Ainsi, par exemple, la forme est résidu quadratique de , et est la valeur de . De même est la valeur de l’expression .
On verra plus bas l’usage de ces expressions ; ici nous ferons les remarques suivantes :
1o. Si est résidu quadratique de , divisera le déterminant de la forme ; en effet, puisqu’on a , , , on en tire
Mais comme est premier avec , il s’ensuit donc que est divisible par . ”

“ En voici un exemple : on a démontré seulement en 1882 l’impossibilité de la quadrature du cercle, c’est-à-dire l’impossibilité de construire par la règle et le compas un carré équivalent à un cercle donné ; supposons qu’avant cette démonstration, en 1880, quelqu’un ait dit : « Je définis un nombre comme il suit : si la quadrature du cercle est possible, il est égal à un ; si elle est impossible, il est égal à deux ». ”

“ Gilbert. 541 et 613 — Sur les équations algébriques ; par M. E. West. 598 et 664 — Sur la fonction résolvante de l’équation xm + px + q = 0 ; par M. A. Pujet. 611 — Sur une classe très étendue d’équations différentielles linéaires à coefficients rationnels, dont la solution dépend de la quadrature d’un produit algébrique irrationnel ”

“ Le principe qui sert de base à la première méthode est le théorème suivant lequel tout nombre positif ou négatif qui est résidu quadratique d’un autre nombre , est aussi résidu de tout diviseur de . On sait que si n’est divisible par aucun nombre premier plus petit que , est certainement un nombre premier ; donc si tous les nombres premiers au-dessous de cette limite, qui divisent sont , , etc., le nombre sera composé des seuls nombres etc. ou de leurs puissances, ou bien il renfermera un seul facteur premier plus grand que , qui se trouve en divisant par , etc. ”

“ On a démontré récemment que le problème de la quadrature du cercle est impossible avec la règle et le compas. Ce n’est pas seulement parce que est incommensurable, puisqu’on sait construire rigoureusement certains nombres incommensurables. ”

“ Il suit de là en même temps, que les nombres , , , etc. qui sont tous différens entre eux, et des nombres , , , etc., et qui, joints à ces derniers, épuisent les nombres sont tous les non-résidus quadratiques positifs de et plus petits que lui. Si l’on suppose maintenant que l’équation dont , sont racines, soit
on a
,——
or (no 345) ,
et peut parconséquent être mis sous la forme
Pour déterminer les coefficiens , , , observons : 1o. qu’on a puisque le nombre des périodes de est ; 2o. que (no 350) , puisque est une fonction invariable des sommes et qui composent la période plus grande ; 3o. ”

“ Et, en effet, l'équation (1) avait été formée par la multiplication des deux facteurs x2- 2.r + 3, x1%x — I, dont le premier, égalé à zéro, donne lieu à des racines imaginaires, et le second aux deux valeurs x — — I ± Nous pourrions multiplier les exemples ; mais ceux qui précèdent suffisent pour montrer la marche qu'il faut suivre tant que l'équation proposée ne surpasse par le quatrième degré. ”

“ La grande loi de réciprocité quadratique donnée par Gauss et démontrée une seconde fois par ce grand mathématicien, à la suite des recherches d'Euler et Legendre sur le même sujet, puis une quatrième, une cinquième, une sixième fois, toujours par Gauss, fut de nouveau l'objet des travaux de Jacobi, Eisenstein, Liouville, Lebesgue, Kummer, A. Stern, Zeller, Kronecker, Bouniakowsky, Shering, Petersen, Voigt, Busche, Th. Pépin. Tout spécialement, le mémoire de Genocchi sur le même sujet, Sur la théorie des résidus quadratiques, fut couronné par l'Académie des sciences de Bruxelles. ”

“ On traite de même la question des conditions nécessaires et suffisantes pour que l'équation représente deux droites confondues, c'est-à-dire que le premier membre de l'équation soit un carré parfait. Il faut alors : 1° qu'il y ait une ligne de centres; 20 que tous les centres soient sur la courbe, ce qui exige que les deux équations (2) et l'équation (3) représentent la même droite. On a donc d'abord les trois équations 4AC - B2=o, 2AE - BD = o, BE - 2CD = o ”

“ Ensuite, cela va de soi, j'ai envisagé la réduction continuelle de cette forme quadratique lorsqu'on fait varier les paramètres. Mais quel abime entre ce que j'ai fait et ce que j'aurais voulu faire. La réduction n'est point un procédé facile ni commode et il n'a rien moins fallu que le talent et l'opiniâtreté de M. Charve pour en faire application dans quelques cas particuliers, et cependant il serait si utile et même absolument indispensable de pouvoir faire de nombreuses applications, pour s'éclairer et se diriger, j'ajouterai pour s'inspirer puisqu'il s'agit d'Arithmétique. ”

“ Si l’on ajoute la première équation avec la troisième, la seconde avec la quatrième et la troisième avec la sixième, il viendra
Ainsi, dans tout quadrilatère, plan ou gauche, la somme des quarrés de deux côtés opposés, plus deux fois le quarré de la droite qui joint leurs milieux, est une quantité constante et égale à deux fois la somme des quarrés des distances des sommets au point d’intersection des droites qui joignent les milieux des côtés opposés. ”

“ Comme est périodique en je poserai
où de même que les dérivées de ne dépendent que de
Je pose de même
et la fonction sera donnée par l’équation
dont les coefficients sont des fonctions données de
Cette équation peut évidemment s’intégrer par quadratures.
Cherchons à déterminer de cette manière nos surfaces asymptotiques. Nous devrons d’abord choisir les constantes et de telle sorte que la courbe (1) ait un point double ; je supposerai de plus que ces constantes soient telles qu’à chaque valeur de correspondent deux valeurs réelles de (c’est ce qui arrive dans l’exemple du no 225) . ”

“ En général, la quadrature pourra s’effectuer aisément, de sorte que
pourra être regardé comme une fonction connue de et que l’intégrale sera ramenée à l’intégrale qui est de même forme.
En général, dans les exemples que M. Gyldén a eu à traiter, est de la forme
et étant des constantes. Il en résulte que
d’où
d’où Si dans l’équation (6) nous remplaçons
par sa valeur (8) , ce qui peut se faire en négligeant les quantités du troisième ordre, l’équation est ramenée au deuxième ordre. ”

“ En quelque grand nombre de parties égales que le quadrant soit subdivisé, il peut se faire que l'arc décrit du sommet de l'angle qu'on veut mesurer, et intercepté entre ses côtés, ne contienne pas un nombre exact de ces parties. ”

“ Or, nous avons supposé que pour obtenir on remplaçait dans les coordonnées et par leurs valeurs approchées en fonction de puis par
Il en résulte que est fonction de seulement, et que l’équation (4) s’intégrera aisément par quadratures.
La seconde équation (1) devient alors
Il est clair que, étant très petit, est très voisin de 1 ; on peut donc remplacer le coefficient par 1, dans une première approximation ”

“ Plus on supposera grands les nombres s et n, plus les ordonnées décroîtront rapidement en s'éloignant du maximum. Ainsi l'aire Z' ne pourra être qu'une petite portion du rectangle M x 1, de sorte qu'on aura Z' = , k. étant une fraction assez petite.
Au reste , la méthode des quadratures pourra , dans tous les cas , donner la valeur de Z' avec un degré d'approximation aussi grand qu'on voudra, et auquel les formules analytiques connues ne sauraient atteindre. ”

“ Ces équations sont celles qui résolvent le problème général de la transformation des coordonnées. Les neuf coefficiens qui entrent dans leurs seconds membres sont, en vertu de l’équation (15) , liés par trois conditions, de manière que six seulement d’entre eux sont nécessaires et indépendans.
Lorsque les axes primitifs des sont rectangulaires, les équations (21) se simplifiant et deviennent
et les trois équations de relation dont il vient d’être question ci-dessus
Supposons de nouveau les deux systèmes de coordonnées obliques ”

“ QUADRATEUR Au XVIIIe siècle, le chevalier de Caussans, prétendit avoir résolu la quadrature du cercle et déposa mille écus chez un notaire pour celui qui prouverait la fausseté de sa solution. Une dame fit la preuve et actionna Caussans devant le Châtelet. Les juges indulgents déclarèrent le pari nul et le quadrateur mourut dans l’impénitence finale.
« Ceux qui ne savent pas de mathématiques, dit La Caille, n’ont que trop souvent le malheur de trouver la quadrature exacte du cercle refusée aux autres. » ”

“ Au moyen de cette dernière valeur de la quantité
l’équation (9) deviendra
(11) de sorte que, si l’on détermine au moyen de l’équation
(12) ce qui est toujours possible, au moins par les quadratures, et ce qui donne
on trouvera, en comparant cette dernière avec l’équation (11) ,
d’où (13) en désignant par une fonction de sans de la forme qui d’ailleurs peut être quelconque, puisqu’elle est introduite par l’intégration, et qu’il faudra conséquemment déterminer au moyen de l’état primitif du fluide.
Cette équation (13) va nous conduire à quelques résultats importans. ”

“ L’équation générale du second degré
peut être ramenée à
en déterminant les coefficiens de manière à ce qu’ils satisfassent aux quatre équations suivantes
la lettre désignant toujours l’unité prise en plus ou en moins, suivant le nombre des bases périodiques est pair ou impair. Il en résulte
Ainsi, pour que l’équation soit réductible à sans qu’on soit obligé de développer en fraction-continue périodique, ce qui exige quelquefois qu’on l’évalue d’abord à 40 ou 50 décimales [8] , il faudra que ou soit un quarré parfait. ”

“ Tel est, en général, l’esprit de la méthode qui nous a principalement occupés dans ce mémoire ; d’où il résulte qu’elle est applicable à bien d’autres choses qu’aux quadratures.
2.o Quand il sera possible de supposer
étant ce que devient quand est infinie. Si l’on connaît les valeurs de correspondant aux valeurs on aura
Entre celles-ci, supposées en nombre on éliminera un nombre de coefficiens et on aura par une équation du premier degré qui servira à l’exprimer en et les différentes puissances de par approximation, si la forme (54) et celles qui en dérivent sont possibles. ”

“ Démonstration. En effet, le quadrilatère étant inscrit au cercle les deux angles sont égaux comme inscrits au même arc. Les deux angles sont aussi égaux, comme formés par une même corde et les tangentes à ses deux extrémités. Donc les deux triangles et sont équiangles ; d’où il suit que mais on a comme opposés au sommet ; donc, donc la droite divise en deux parties égales l’angle et on prouvera, d’une manière semblable, que la droite divise en deux parties égales l’angle donc les deux droites et qui divisent en deux parties égales les angles adjacens et sont perpendiculaires l’une à l’autre. ”

“ On parvient à la première forme d'équation toutes les fois que M et N sont différents de zéro, c'est-à-dire (155) lorsque, dans l'équation primitive, on a B2 — 4AC < ou > o; et à la seconde forme, toutes les fois que les coefficients A. B. C sont liés entre eux par la relation B2 — 4AC = o.
On a vu, d'ailleurs (131, 139 et 140) , que la courbe est une ellipse ou une hyperbole suivant que M et N sont de même signe ou de signes CO/ltraires, c'est-à-dire (155) suivant que B2— 4AC est ou positif.
D'où l'on peut conclure enfin que, dans l'équation générale A y2 + B C r2 + Dy+ Ex + F = o. ”

“ Voilà donc la valeur de sous six formes différentes ; et nous avons en outre les trois équations de condition
Nous aurons encore
ce qui donnera pour la double équation de l’axe de révolution
En combinant entre elles d’une manière convenable les équations de condition, on pourrait sans doute les remplacer par d’autres d’une forme plus simple, et qui permettraient de présenter ces derniers résultats sous une forme entièrement rationnelle.
Lorsque les coordonnées primitives sont rectangulaires, le calcul s’abrège d’une manière notable ”

“ La théorie des formes quadratiques est la plus importante partie de Disquisitiones arithmeticœ de Gauss : elle commence avec les énoncés célèbres de Fermat, elle se poursuit, pendant un siècle et demi de travaux isolés, avec les découvertes d'Euler, de Lagrange, de Legendre, celles de Gauss lui-même, pour arriver à cette profonde unité qu'on admire dans son Ouvrage. Mais ces illustres géomètres, en n'ayant en vue et pour but de leurs efforts que les propriétés des nombres entiers, tendaient, à leur insu, vers un autre objet. ”