Joseph-Louis Lagrange

“ D'où il suit que les fonctions dérivées de l'ordre nième et des ordres suivants deviendront infinies lorsque x = a.
Dans ce cas donc, si n est l'indice de l'ordre de la première fonction qui devient infinie, le développement de f (x+i) devra contenir un terme de forme im, m étant un nombre compris entre n i et n. Si n = o, .,c'est-à-dire si la fonction f (.x) devient elle-même infinie, ce développement contiendra alors des puissances de i.
On doit appliquer aux logarithmes ce qu'on vient de démontrer sur les puissances fractionnaires de i ”

“ Il est clair que, pourvu que x + i ne soit pas égal à zéro, la quantité fμ (x+i) ne sera jamais infinie, et que sa plus grande valeur et sa plus petite, relativement à i, répondront à i = o et à i. On aura donc, par la formule générale, ces deux limites, pour la valeur de l (x+i) ,
où l'on pourra mettre à la place de i une valeur quelconque plus grande dans le dénominateur (x + i) μ. ”

“ Cependant, si dans l'équation y=f (x) on fait disparaître ce même radical par l'élévation aux puissances, et que l'équation résultante soit représentée par
l'équation dérivée de celle-ci donnera
comme on l'a vu dans la Leçon VI; donc cette expression sera en défaut, dans le cas où l'on donnerait à x la valeur en question, ce qui ne peut avoir lieu qu'autant que les quantités F' (x) et F' (y) seront, l'une et l'autre, nulles à la fois. Ainsi, dans le cas dont il s'agit, l'expression dey' deviendra égale à zéro divisé par zéro ”

“ Le livre n’avait pas encore paru quand l’Auteur vint s’établir à Paris. Plusieurs causes l’y déterminèrent ; mais il ne faut pas croire à toutes celles qu’on a alléguées.
La mort de Frédéric avait amené de grands changements en Prusse, et pouvait en faire craindre de plus grands encore ; les savants n’y trouvaient plus la même considération. Il était assez naturel que M. Lagrange sentit de nouveau ce désir qui l’avait autrefois conduit à Paris ; ces causes, avec la publication de sa Mécanique, étaient bien suffisantes ”

“ Ainsi les principes du Calcul différentiel sont en défaut dans ce cas.
Suivant le principe que nous venons d'établir, la valeur de y ne sera nécessairement positive qu'autant que la fonction dérivée dy ne sera pas infinie dans l'étendue de la valeur de z. Or, étant égale à i, a 1." Z) - elle devient infinie lorsque z= a. Donc les valeurs de y seront nécessairement positives depuis z= o jusqu'à z= a; mais elles pourront ne pas l'être lorsque z>a, quoique les fonctions dérivées (a-z) 2 soient toujours positives. ”

“ Au reste, en faisant
b = o,
l'expression
devient une valeur singulière; car, en prenant les fonctions dérivées relatives à a dans l'équation primitive
Ainsi on peut regarder aussi la seconde expression de y comme une valeur singulière du terme général; mais, comme elle conserve la constante b tant que les différences à sont finies, il est clair qu'elle a la même généralité que la première, en sorte qu'on peut supposer que la valeur de y soit donnée lorsque x = o, ce qui n'a pas lieu pour les valeurs singulières des équations primitives ordinaires. ”

“ Si l'on prend r négativement, alors r√z devient Ir√ z, et la série qui exprime logz devient, en changeant les signes,
où tous les termes sont positifs. Ainsi l'on peut avoir à volonté, pour la a valeur de logz, une série dont tous les termes soient positifs, ou alternativement positifs ou négatifs. Car il est évident que, z étant un nombre plus grand que l'unité, r√z sera plus grand que l'unité, et, z étant moindre que l'unité, \/z sera aussi moindre que l'unité; mais les différences seront d'autant plus petites, que l'exposant r de la racine sera un plus grand nombre ”

“ Parmi ces jeux de son génie qui cherchait des difficultés pour mieux montrer sa force, se rangerait encore le Mémoire ou il indique les moyens de construire les Tables astronomiques, d’après une suite d’observations, et sans connaître la loi des mouvements célestes. C’est le problème que résolvaient de tout temps les Astronomes, par les voies les plus élémentaires. Les moyens de Lagrange sont plus analytiques et plus savants ; mais dans l’exemple même qu’il a choisi, et qui est des plus simples, il est permis de douter que les moyens qu’il emploie soient les plus sûrs et les plus faciles. ”

“ Pour en déduire l'équation primitive générale, on fera
b=φ (a) ,
et l'on prendra les fonctions dérivées par rapport à a seul; on aura les deux équations
z = ax + y φ (a) , x + y φ' (a) = o,
d'où il faudra éliminer a; comme la fonction o (a) est arbitraire, on peut, en lui donnant différentes formes, en déduire une infinité d'équations primitives complètes différentes, avec deux constantes arbitraires. Soit, par exemple,
qui est l'autre forme d'équation primitive que nous avions trouvée.
On pourra, de la même manière, en trouver tant d'autres qu'on voudra ”

“ On peut donc conclure, en général, que, si l'on a une équation dérivée d'un ordre quelconque, et que l'on trouve, de quelque manière que ce soit, une équation entre les mêmes variables qui y satisfasse, et qui renferme autant de constantes arbitraires qu'il y aura d'unités dans l'exposant de l'ordre de l'équation dérivée, cette équation sera l'équation primitive de la proposée, avec toute la généralité dont elle est susceptible ”

“ On y voit enfin sa nouvelle Théorie des variations des constantes arbitraires du mouvement des planètes, qui avait paru avec tant d’éclat dans les Mémoires de l’Institut, où elle avait prouvé que l’Auteur, à l’âge de plus de soixante-quinze ans, n’était pas descendu du haut rang qu’il occupait depuis si longtemps, de l’aveu de tous les Géomètres.
Partout dans ses écrits, quand il rapporte un théorème important, il en fait hommage au premier Auteur.
Quand il rectifie les idées de ses prédécesseurs ou de ses contemporains, c’est avec tous les égards dus au génie ”

“ Si donc on introduit entre les quatre variables t, x, y, z les relations déterminées par les trois équations
x' — t'L = o, y' — t'M = o, z' — t'N = o,
la fonction dérivée F' (t,x,y,z) deviendra nulle; par conséquent la fonction primitive F (t, x, y,z) ne pourra contenir que des constantes. Or les trois équations dont il s'agit, étant du premier ordre, auront trois équations primitives qui contiendront trois constantes arbitraires a, b, c, et par lesquelles trois des variables t, x, y, z pourront être
déterminées en fonction de la quatrième. ”

“ Or, si l'on fait
et qu'on détermine a en fonction de x, y, z, de manière que les deux équations dérivées restent les mêmes que si a ne variait pas, ce qui donne l'équation primitive générale, il est visible que cette équation représentera une surface tout à fait différente, mais qui aura, en chaque point, le même plan tangent que si la quantité a demeurait constante, puisque les expressions des quantités (z' x') et (z' y') restent les mêmes. ”

“ Lagrange a fait plus habituellement un autre usage de ses sublimes talents ; il tire tout de l’Analyse. Il est pourtant plus vrai de dire qu’il a réuni au plus haut degré l’une et l’autre méthode ; la preuve en est dans le Calcul des variations, auquel ne peut se comparer, ni pour la grandeur, ni pour l’universalité, aucune des idées les plus heureuses des autres Géomètres ”

“ Joseph-Louis Lagrange, né à Turin en 1736 de parents français, était à dix-huit ans le premier mathématicien de l'Europe. En 1766, Frédéric II l'appela à Berlin comme président de l'académie. Il vint à Paris en 1786, entra à l'Institut en 1795, fut nommé sénateur sous l'empire et mourut en 1813. ”

“ L'emploi de quantités qui doivent s'évanouir d'elles-mêmes, ou qui doivent être négligées en raison de leur petitesse, n'offre à l'esprit des commençants que des idées peu satisfaisantes et, par conséquent, peu propres à servir de base à la partie la plus importante des Mathématiques. Pour lever tous les scrupules et dissiper tous les nuages, il ne faut rien faire évanouir ni rien négliger; c'est ce qu'on obtient par la considération des fonctions dérivées. ”

“ Supposons en second lieu que la même valeur de x, qui fait disparaître un radical dans f (x) , le fasse disparaître aussi dans f' (x) , sans le faire disparaître néanmoins dans (x) ; alors les valeurs correspondantes de f (x) et f' (x) seront en même nombre, mais celles de f" (x) seront en nombre plus grand. Si donc on fait évanouir ce radical dans l'équation y=f (x) , la valeur de y" qu'on en déduira se trouvera ô, et il faudra passer aux équations dérivées d'un ordre supérieur pour avoir la valeur de y". ”

“ Si toutes ces valeurs ou seulement quelques-unes sont indéterminées, ou s'il y a entre elles des relations données par la nature du problème, alors, après avoir effacé les variations qui doivent être nulles et réduit les autres au plus petit nombre possible, il faudra faire disparaître les variations restantes en égalant leurs coefficients à zéro ce qui donnera autant d'équations auxquelles on satisfera par le moyen des constantes arbitraires que les différentes intégrations introduiront dans l'équation du problème. ”

“ Donc, en général, comme l’origine des est arbitraire, et qu’on peut prendre également positif ou négatif, il s’ensuit que si la quantité
est une différentielle exacte dans un instant quelconque, elle devra l’être pour tous les autres instants. Par conséquent, s’il y a un seul instant dans lequel elle ne soit pas une différentielle exacte, elle ne pourra jamais l’être pendant tout le mouvement ; car si elle l’était dans un autre instant quelconque, elle devrait l’être aussi dans le premier. ”

“ Cette équation est, comme l'on voit, la même que celle qu'on trouverait pour le maximum ou minimum absolu de la formule f Z dx + a S Y dx, en ne faisant varier qu'une seule ordonnée. Si la même formule S Z dx ne devait être un maximum ou un minimum que dans une des courbes dans lesquelles deux autres formules f Y dx et Z X dx conservent les mêmes valeurs, on aurait alors le cas où il faut faire varier trois ordonnées successives, et où il faudra égaler
séparément à zéro les valeurs différentielles des trois formules dont il s'agit. ”

“ Suivant ce théorème, si l'on a une équation quelconque de la forme u — x + f (x) = 0,
où x est l'inconnue, la formulé
n'étant continuée que tant qu'il y aura des puissances négatives de u, donne la somme de toutes les racines élevées chacune à la puissance m mais, étant continuée à l'infini, elle ne donne que la même puissance de la plus petite des racines. Les quantités f2 (u) , /3 (u) . sont le carré, le cube, etc. de f (u) ; et les traits appliqués aux parenthèses désignent les fonctions dérivées des fonctions de it renfermées entre ces parenthèses. ”

“ Nous avons observé plus haut que, lorsqu'une valeur particulière de x fait disparaître dans f (x) un radical en ne détruisant pas ce radical lui-même, mais en rendant seulement nul son coefficient, alors ce même radical reparaîtra nécessairement dans les fonctions dérivées f' (x) , f" (x) , et la formule générale du développement de f (x+i) ne cessera pas d'être exacte dans ce cas. ”

“ Satisfaits d’avoir écarté les difficultés plus réelles, ils s’inquiètent trop peu de l’embarras où ils laissent les calculateurs et du travail que doit leur imposer l’usage de la formule, même après qu’elle a été convenablement réduite. Nous n’oserions assurer que Lagrange n’ait pas été le plus souvent de cette opinion. Plus d’une fois il a exprimé ouvertement son vœu de voir encourager les recherches purement analytiques ; et, même quand il paraît se proposer la plus grande facilité des calculs usuels, c’est encore l’Analyse principalement qu’il perfectionne. ”

“ Lagrange le démontre ; il fonde ses nouvelles recherches sur les lois connues de la Dynamique ; en ne considérant dans l’air que les particules qui se trouvent en ligne droite, il ramène le problème à celui des cordes vibrantes, sur lequel les plus grands Géomètres étaient divisés ; il fait voir que leurs calculs sont insuffisants pour décider la question, il entreprend une solution générale par une analyse aussi neuve qu’intéressante, puisqu’elle permet de résoudre à la fois un nombre indéfini d’équations, et qu’elle s’étend jusque sur les fonctions discontinues ”

“ La raison en est que, dans le passage supposé du fini à l'infiniment petit, les fonctions changent réellement de nature, et que le — qu'on emploie dans le Calcul différentiel, est essentiellement une fonction différente de la fonction y, tandis que tant que la différence dx a une valeur quelconque, aussi petite qu'on voudra, cette quantité n'est que la différence de deux fonctions de la même forme ”

“ Si y est une fonction quelconque de x, et qu'on dénote par yo, y0', y0", y0' les valeurs de y et de ses fonctions dérivées y', y", y' qui répondent à x = o et qui sont par conséquent constantes, on aura, par ce que nous avons démontré à la fin de la Leçon IX,
et, si l'on veut arrêter la série au terme nieme, alors on aura les limites du reste, en substituant dans le terme suivant
à la place de y0 (n) , la plus grande et la plus petite valeur de y (n) depuis x = o jusqu'à la grandeur qu'on veut attribuer à x. ”

“ Ce fut pour eux une bien bonne fortune que le système du monde, découvert par Newton. Jamais l’Analyse transcendante ne pouvait trouver un sujet plus digne et plus grand ; quelques progrès qu’on y fasse, le premier inventeur conservera son rang ; aussi M. Lagrange, qui le citait souvent comme le plus grand génie qui eût jamais existé, ajoutait-il aussitôt : et le plus heureux ; on ne trouve qu’une fois un système du monde à établir. ”