Physique mathématique

“ Créée au xvie siècle, la Physique mathématique a prouvé qu’elle était la saine méthode physique par les progrès prodigieux et incessants qu’elle a faits dans l’étude de la nature. Aujourd’hui, il serait impossible, sans heurter le bon sens le plus vulgaire, de nier que les théories physiques se doivent exprimer en langage mathématique.
Pour qu’une théorie physique se puisse présenter sous la forme d’un enchaînement de calculs algébriques, il faut que toutes les notions dont elle fait usage puissent être figurées par des nombres ”

“ Notre exposition de l'histoire des mathématiques et des autres sciences dans ce siècle, ne serait certainement pas complète, si nous ne faisions allusion aux applications des mathématiques aux nombreux problèmes concernant la chaleur, l'élasticité, la lumière, l'électricité, et tant d'autres sujets se rattachant à la physique. L'histoire de la physique mathématique est d'ailleurs si vaste que nous ne pourrions prétendre l'exposer, lors même qu'elle serait de nature à figurer dans une histoire des mathématiques. ”

“ D’importance beaucoup plus générale sont les résultats qu’il a réunis et développés dans une série de notes et de mémoires publiés en 1887 et 1896 sur les équations aux dérivées partielles de la physique mathématique, sur ces problèmes toujours de même forme auxquels aboutissent, dans une surprenante unité, des théories aussi distinctes en apparence que celles de l’électrostatique, du magnétisme et du potentiel newtonien, de la propagation de la chaleur, de l’optique, de l’élasticité, de l’hydrodynamique et de la viscosité. ”

“ Or, nous voulons que notre Physique théorique soit une Physique mathématique, partant que ces symboles soient des symboles algébriques, des combinaisons de nombres. Si donc les grandeurs seules pouvaient être exprimées par des nombres, nous ne devrions introduire dans nos théories aucune notion qui ne fût une grandeur. Sans affirmer que tout est quantité dans le fond même des choses matérielles, nous n’admettrions rien que de quantitatif dans l’image que nous construisons de l’ensemble des lois physiques ; la qualité n’aurait aucune place dans notre système. ”

“ Le gigantesque effort mathématique du xviiie siècle venait d’être résumé en la Mécanique céleste de Laplace ; les méthodes créées pour traiter des mouvements des astres cherchaient de tous côtés, dans la Mécanique terrestre, l’occasion de prouver leur fécondité, et la Physique mathématique progressait avec une étonnante rapidité. ”

“ La mathématique est la seule science qui n’ait besoin du secours d’aucune autre : aussi elle se développe la première ; mais déjà l’astronomie ne peut cheminer sans la mathématique, de là son rang historique. À son tour, la physique s’appuie sur l’astronomie et la mathématique, la chimie sur la physique, la biologie sur la chimie, et la science sociale sur la biologie. ”

“ Tout ce qui est physique mathématique est un travail de l’esprit en vue de tacoordination des faits. En cela, Newton fait de la physique mathématique. L’idée importante, c’est qu’on peut être déductif comme Newton, sans donner à la déduction un rôle prépondérant sur l’expérience. J’ai expliqué que certaines parties de l’optique, de ta mécanique étaient suffisamment parfaites, pour qu’on’pût
arriver alors à les aborder par la voie déductive. Par exemple, da théorie des forces centrales. ”

“ Nous croyons d'après cela que, si l'on veut se mettre à l'abri de toute objection, il ne faut invoquer, dans la mécanique rationnelle et la physique mathématique, lorsqu'il s'agit des milieux vivants, que ce qui est indépendant des principes physiques de ces sciences, par exemple, la cinématique pure, les théories des coordonnées curvilignes, des fonctions inverses, et la géométrie à quatre variables, qui n'est, à proprement parler, que la théorie générale des phénomènes définis par la variation de fonctions des coordonnées et du temps. ”

“ De nos jours l’esprit mathématique a fait de tels progrès que la physique dite particulière, c’est-à-dire la science des phénomènes naturels qui n’appartiennent pas à l’histoire naturelle, a, pour ainsi dire, disparu et s’est transformée en une des branches les plus importantes des sciences exactes. ”

“ Les parties les plus physiques des mathématiques, soit l’optique, l’harmonique et l’astronomie, font aussi apercevoir cette même différence, car leur rapport à la physique est inverse de celui de la géométrie à la même science : la géométrie étudie la ligne physique en tant que la ligne n’est pas physique ; l’optique, au contraire, étudie la ligne mathématique, mais en tant que, de mathématique, la ligne est devenue physique. ”

“ Au reste, se donner un système parfaitement clos, c’est-à-dire où l’on ne laisse rien entrer, de conditions parfaitement déterminées et en nombre fini, et chercher quelles nécessités, quelles impossibilités y apparaissent, c’est faire de la mathématique ; la méthode mathématique, à quelque objet qu’elle s’applique, n’est pas autre chose ; et par suite, dans toute la mesure où la notion de nécessité joue un rôle en physique, la physique est essentiellement l’application de la mathématique à la nature au prix d’une erreur infinie. ”

“ En résumé une physique mathématique est la condition première de l'art, mathématique lui aussi, qui a donné naissance au corps du monde.
Quant aux « forces », dont le jeu finit à la longue par grouper les surfaces en solides, elles ne peuvent être, semble-t-il, que ces Formes intelligibles dont la matière, nous le savons, subit incessamment l'action, parce que tout mû suppose un moteur hétérogène à lui (cf. 57 e) ”

“ Les procédés de la Physique mathématique, leur est-il dit [8] , sont défectueux dans l’enseignement secondaire ; ils consistent à partir d’hypothèses ou de définitions posées a priori pour en tirer des déductions qui seront soumises au contrôle de l’expérience. Cette méthode peut convenir à la classe de Mathématiques spéciales ; on a le tort de l’appliquer actuellement dans les cours élémentaires, à la Mécanique, à l’Hydrostatique, à l’Optique. Remplaçons-la par la méthode inductive. ”

“ Les travaux de Physique mathématique montrent avec éclat le talent de l'illustre analyste; le problème de l'équilibre de la chaleur dans un ellipsoïde homogène, le problème de Gauss sur la distribution à la surface de l'ellipsoïde d'une manière attractive ou répulsive, de manière qu'en chaque point le potentiel ait une valeur donnée, sont traités par une méthode qui est un chefd'œuvre de clarté et de simplicité. ”

“ Ces remarques sont bien simples ; elles sont familières au physicien au point d’être banales ; elles n’en ont pas moins, pour le développement mathématique d’une théorie physique, de graves conséquences. ”

“ Cette analyse décompose successivement tous les phénomènes complexes en des phénomènes de plus en plus simples jusqu'à leur réduction à deux seules conditions élémentaires, si c'est possible. En effet, la science expérimentale ne considère dans un phénomène que les seules conditions définies qui sont nécessaires à sa production. Le physicien cherche à se représenter ces conditions en quelque sorte idéalement dans la mécanique et dans la physique mathématique. ”

“ Il y a des sciences qui appliquent plus particulièrement les mathématiques et qui y joignent un élément expérimental : la mécanique, l'astronomie, la physique, par exemple. Eh bien! même dans ces sciences, l'élément mathématique rationnel a une existence tellement indépendante que si une contradiction apparaît avec l'élément expérimental, il n'y a pas conflit, l'élément mathématique n'en subit aucune atteinte, il n'est même pas discuté et l'élément expérimental est immédiatement déclaré inexact et doit être revisé. ”

“ On ne saurait trop recommander aux professeurs de physique de commencer l'exposition de toutes les grandes théories par un précis historique très fidèle, et, au besoin, par l'exacte reproduction de l'expérience d'où l'inventeur est parti. Ils n'oublieront pas que la physique est une science expérimentale qui tire parti des mathématiques pour coordonner et pour exposer ses découvertes, et non point une science mathématique qui se soumettrait au contrôle de l'expérience. ”

“ En effet, rechercher ce qui se passe lorsqu'un atome tourbillonnant circulaire se heurte contre un autre et lorsque le mouvement n'est pas symétrique autour d'un axe, est un problème qui peut occuper pendant toute la vie une ou deux générations des meilleurs mathématiciens de l'Europe à moins que, pendant ce temps, une méthode mathématique bien plus puissante que celles dont nous disposons actuellement, ne soit imaginée dans le but de résoudre ce problème spécial. ”

“ En effet, c'est par l'alchimie surtout que cette méthode s'est introduite dans la science. Les mathématiques sont essentiellement déductives. Les sciences naturelles reposent principalement sur l'observation. La physique et la mécanique ont été longtemps envisagées par leur côté mathématique, corrigé et rectifié parfois à l'aide de l'observation. ”

“ Il est impossible par des expériences mécaniques à des observateurs situés dans un système en mouvement par rapport à un autre système, de déceler ce mouvement s’il est uniforme et rectiligne.
V. — Les réalités de la physique indépendantes du système d’axes fictifs auxquels le physicien les rapporte. Traduction mathématique. De même que nous sommes passés de la géométrie à la mécanique, étendons encore le champ de notre activité et passons de la mécanique à la physique. ”

“ N'est-ce pas en cherchant dans toutes choses un élément mathématiquement mesurable, en supposant qu'il y a partout de la figure et du mouvement, que l'on a renouvelé la physique et créé notamment la théorie mécanique de la chaleur et de la lumière ? ”

“ Toute science mathématique est fondée sur une idée simple, unique : l’arithmétique sur l’idée du nombre, la géométrie sur celle de l’étendue, la mécanique sur la notion de la force, le calcul infinitésimal sur celle de la variation. ”

“ L' étude des relations pures du nombre et de l' étendue domine les sciences et s' applique également à toutes , comme la logique . L' étude des mathématiques appliquées , dès la mécanique , a pour objet les plus générales des conceptions physiques , et dépend de la physique à ce titre . ”

“ La physique, enfin maîtresse de ses principes, tend à s’absorber dans les mathématiques. On fait la théorie analytique de la chaleur, de l’électricité, de la lumière, de l’élasticité, de l’acoustique, etc. ”

“ Les mathématiques, à qui seules appartient l’entière exactitude, communiquent une partie de leur précision aux sciences qui procèdent d’elles. Aussi fait-on par le moyen de l’astronomie mathématique et de la chimie des prédictions certaines. ”

“ Je suis, bien au contraire, porté à penser qu'une puissante impulsion permettra un jour aux mathématiques d'aborder cette épineuse question des atomes, et de combler cet abîme, au bord duquel on s'arrête chaque fois qu'on approfondit les questions de physique moléculaire. ”

“ Mais ceci n'est réalisable que pour une petite partie de la science humaine, avant tout dans les sciences dont la tâche principale est la détermination de grandeurs mesurables; en première ligne les mathématiques, puis l'astronomie, la mécanique, et en somme une grande partie de la physique et de la chimie. ”

“ Quand un physicien parle de l'attraction planétaire et de la gravitation, il s'occupe de la nature du phénomène, il le constate, et il en établit les lois d'une façon mathématique par des calculs que chacun peut vérifier. ”

“ G. Les matières destinées à former le pivot de l'éducation commencèrent aux Mathématiques, lesquelles, pour se fonder sur des généralisations élaborées en d'autres temps et acceptées aujourd'hui sans preuves, peuvent suivre la méthode déductive simple et donner lieu à des exercices appropriés apprenant à faire des syllogismes corrects: Arithmétique, Algèbre, Géométrie, Trigonométrie rectiligne et sphérique, Calcul infinitésimal, enfin, Mécanique rationnelle dans toutes ses applications. A cette série, succédait la Cosmographie et la Physique ”

“ C’est que l’univers est une sorte de mathématique réelle, enveloppée d’apparences. Partout où il y a rapport et proportion, il y a place pour le calcul, et « la proportion n’est pas seulement trouvée dans les nombres et mesures, mais aussi dans les sons, poids, temps et lieux et dans toute puissance, quelle qu’elle soit. » La science doit procéder à la façon de la géométrie, analyse et synthèse, résolution de l’objet en ses derniers élémens, combinaison progressive et continue de ces élémens selon des rapports nécessaires qui s’impliquent. ”

“ Non que les mathématiques aient rien perdu, à nos yeux, de leur inflexible rigueur, et d’ailleurs, la possibilité d’une mesure exacte avec la réduction à une formule mathématique est de plus en plus le signe d’une théorie scientifique faite ; mais nous regardons moins volontiers du côté de la géométrie pure. ”

“ Il engage les mathématiciens à quitter leur géométrie pure, à n'étudier les nombres qu'en vue de la physique, à ne chercher des formules que pour calculer les quantités réelles et les mouvements naturels. ”

“ Ses principes mathématiques, où règne une physique toute nouvelle et toute vraie, sont fondés sur la découverte du calcul qu’on appelle mal à propos de l’infini, dernier effort de la géométrie, et effort qu’il avait fait à vingt-quatre ans. ”

“ L’atome et le mouvement, voilà l’univers ! Sur cette base, le mathématicien pourra établir ses calculs. En appliquant ses équations à un milieu composé d’atomes uniformes, en cherchant tous les mouvemens qui peuvent se produire et toutes les combinaisons qui peuvent naître de ces mouvemens, il retrouvera les phénomènes connus de la physique, les lois de la circulation planétaire, celles de la propagation du son, celles des ondulations lumineuses. ”

“ J'ajouterai que les mathématiques contiennent les seuls matériaux qu'un puisse employer à la construction d'un système général, et que si le calcul est impossible à appliquer aux phénomènes qu'on ne peut pas ramener à dus considérations très-simples, il ne me paraît pas qu'on doive par cette raison renoncer à L'espoir de rattacher, par des aperçus satisfaisants, les idées qui servent de bases aux théories des différentes branches de la physique, à l'idée de la pesanteur universelle. ”