Calcul infinitésimal

“ L’imperfection du Calcul infinitésimal à sa naissance ne lui a pas permis de résoudre complètement les problèmes difficiles qu’offre la théorie du système du monde, et il a été souvent forcé de ne donner que des aperçus, toujours incertains jusqu’à ce qu’ils aient été vérifiés par une rigoureuse analyse. ”

“ Les quantités évanouissantes qui font le sujet du calcul infinitésimal envisagé sous ce nouveau point de vue, sont à la vérité des êtres de raison ; mais cela n’empêche pas qu’elles n’aient des propriétés mathématiques, et qu’on ne puisse les comparer tout aussi bien qu’on compare des quantités imaginaires qui n’existent pas davantage. ”

“ Ce qui, dans toute application de l'analyse transcendante, facilite en effet la formation des équations, c'est la méthode infinitésimale, et non le calcul infinitésimal, qui en est parfaitement distinct, quoiqu'en étant le complément indispensable. Une telle considération donnerait donc une fausse idée de la destination spéciale qui caractérise le calcul différentiel dans le système général de l'analyse transcendante. ”

“ COURNOT ET LES PRINCIPES DU CALCUL INFINITÉSIMAL Il est très difficile, pour les mathématiciens contemporains, de comprendre les contradictions que nos devanciers croyaient découvrir dans les principes du calcul infinitésimal. ”

“ Mais en convenant que le principe de cette méthode est très-lumineux, on ne peut se dissimuler qu’ils ne font qu’éluder la difficulté sans la résoudre ; que la méthode des limites ne mène aux résultats de l’analyse infinitésimale que par une route difficile et détournée ; et qu’enfin cette méthode, loin d’être la même que celle du calcul de l’infini, n’est au contraire que l’art de s’en passer et d’y suppléer par le calcul algébrique ordinaire : en quoi l’on réussirait d’une manière plus simple, à ce qu’il me semble, par la méthode des indéterminées. ”

“ Je ne veux pas dire au père Gratry que ce procédé infinitésimal est un procédé inventé au XVIIe siècle, étranger jusque-là au genre humain et aux savans, un procédé artificiel, particulier, qu’à ce compte Dieu ne serait connu que depuis Leibnitz, et que la connaissance en serait refusée à la plupart des hommes. Je crois en avoir dit assez pour conclure que la confusion du calcul infinitésimal avec la preuve de l’existence et des attributs de Dieu est une des chimères les plus étonnantes où un homme d’esprit ait pu se laisser entraîner. ”

“ Ainsi le physicien peut toujours appliquer les règles du calcul infinitésimal sans craindre un démenti de l’expérience.
C’est assez pour le physicien, ce n’est pas assez pour le philosophe, et c’est pour cela que d’autres conceptions ont été proposées. Ainsi le monde donné est un continu physique, et les savants supposent que le monde réel est un continu mathématique, mais quelques métaphysiciens ont préféré admettre que le monde est discontinu. ”

“ Le calcul infinitésimal, quoique interprété correctement par son inventeur, qui fut en cela mal compris, et le calcul des fluxions de Newton, le même que l’autre avec d’autres notations, devinrent, pour les mathématiciens désireux d’en fixer la logique, un sujet scabreux, grâce à l’obsession de l’idée de l’infini, à laquelle on ne se résignait pas à substituer celle de l’indéfini. ”

“ L'algèbre élémentaire a depuis cédé son nom d'analyse au calcul infinitésimal, non pas tant parce que les principes du calcul différentiel fournissent d'eux-mêmes le moyen presque immédiat de mettre en équation les questions même les plus inabordables, que pour faire en quelque sorte honneur à la nouvelle invention. ”

“ Leibnitz, qui, le premier donna les règles du calcul infinitésimal, l’établit sur ce principe : qu’on peut prendre à volonté l’une pour l’autre deux grandeurs finies qui ne diffèrent entre elles que d’une quantité infiniment petite. Ce principe avait l’avantage d’une extrême simplicité et d’une application très-facile. Il fut adopté comme une espèce d’axiome, et on se contenta de regarder ces quantités infiniment petites comme des quantités moindres que toutes celles qui peuvent être appréciées ou saisies par l’imagination. ”

“ Le calcul infinitésimal et différentiel permet d'apprécier les quantités qui échappent à la vue ordinaire de l'homme. Ce calcul merveilleux conduit à l'infini, image scientifique de la grandeur divine. ”

“ L’art du calcul infinitésimal, c’est d’apprendre à compter les élémens infiniment petits dont le total se compose. Le résultat se nomme intégrale. C’est en effet ce que Leibnitz et Newton, et leurs successeurs, Clairaut, Euler, d’Alembert, Lagrange et Laplace, ont fait avec un rare bonheur, ou plutôt avec un rare génie. Mais ce n’est pas seulement dans la mesure des grandeurs que l’analyse infinitésimale a triomphé. Nous allons voir que ses procédés atteignent avec le même succès la représentation de tous les mouvemens, et en particulier ceux des corps célestes. ”

“ Il n’est aucune découverte qui ait produit dans les sciences mathématiques une révolution aussi heureuse et aussi prompte que celle de l’analyse infinitésimale ; aucune n’a fourni des moyens plus simples ni plus efficaces pour pénétrer dans la connaissance des lois de la nature. ”

“ Dans la dernière moitié de ce siècle, les efforts se dirigent vers la physique mathématique qui se constitue peu à peu. En analyse pure, la recherche se particularise et s’aiguise de plus en plus, on creuse les propriétés des fonctions et des équations différentielles, le calcul infinitésimal porte tous ses fruits. ”

“ La première illusion à signaler, c’est celle que produisent les mots. On parle du calcul infinitésimal, de l’infiniment petit, de l’infiniment grand ; chacun dit, après Fontenelle, que l’esprit humain a fait entrer l’infini dans ses combinaisons, que Newton et Leibnitz ont soumis l’infini au calcul. ”

“ D’autres personnes se bornent à regarder les quantités appelées infiniment petites comme des incomparables, dans le sens qu’un grain de sable, par exemple, est incomparable par sa petitesse avec le globe entier de la terre ; car alors, disent-elles, les erreurs commises sont inappréciables et doivent conséquemment être entièrement négligées dans le résultat du calcul.
Mais l’analyse infinitésimale envisagée de cette manière ne serait plus qu’une méthode d’approximation ; tandis qu’on sait parfaitement qu’elle est absolument rigoureuse. ”

“ On peut donc envisager l'analyse infinitésimale sous deux points de vue différents : en considérant les quantités infiniment petites ou comme des quantités effectives, ou comme des quantités absolument nulles. Dans le premier cas, l'analyse infinitésimale n'est autre chose qu'un calcul d'erreurs compensées; et dans le second, c'est l'art de comparer des quantités évanouissantes entre elles et avec d'autres, pour tirer de ces comparaisons les rapports et relations quelconques qui existent entre des quantités proposées. ”

“ La faculté que se procure ainsi la méthode infinitésimale, la rend susceptible encore d’un nouveau degré de perfection bien plus important, c’est de pouvoir être réduite en un algorithme particulier. Car ces différences entre les quantités non désignées et leurs limites, sont ce qu’on a distingué sous le nom de différentielles de ces mêmes limites, et les simplifications auxquelles donne lieu l’admission de ces quantités dans le calcul sont précisément ce qui donne à l’analyse infinitésimale de si puissants moyens. ”

“ Lorsqu’on a appris l’Algèbre, tout va son train jusqu’à ce que l’on arrive aux études où l’on use de la notion d’infini — le calcul infinitésimal et l’ensemble des mathématiques supérieures. La solution des difficultés qui entouraient auparavant l’infini mathématique est probablement le plus grand succès dont notre époque puisse se glorifier. ”

“ La difficulté qu'on rencontre souvent, à exprimer exactement par des équations, les différentes conditions d'un problème, et à résoudre ces équations, a pu faire naître les premières idées du Calcul infinitésimal. Lorsqu'il est trop difficile, en effet, de trouver la solution exacte d'une question, il est naturel de chercher au moins à en approcher le plus qu'il est possible, en négligeant les quan tités qui embarrassent les combinaisons, si l'on prévoit que ces quantités négligées ne peuvent, à cause de leur peu de valeur, produire qu'une erreur légère dans le résultat du calcul. ”

“ La dérivée est en effet le quotient de l’accroissement infiniment petit [3] de la fonction par l’accroissement infiniment petit correspondant de la variable. Le calcul infinitésimal comprend deux grands chapitres : le calcul différentiel, qui est le calcul des dérivées, et plus généralement se propose de trouver les relations entre « infiniment petits » qui résultent des relations données entre « quantités finies correspondantes. » Dans le calcul intégral, l’on se propose la question inverse (intégration) . ”

“ Le calcul infinitésimal a une origine à la fois métaphysique et scientifique . L' infiniment petit est , en effet , une notion métaphysique liée à cette idée que dans l' étendue ( c'est - à - dire dans ce qui est divisible ) on ne peut pas trouver de véritable unité . Le point de vue de Leibniz consiste à considérer une grandeur donnée comme composée , non d' atomes qui seraient divisibles , non de points infiniment petits dont la somme ne pourrait faire une grandeur , mais de grandeurs plus petites que toute grandeur assignable . ”

“ Un nombre infini est sans doute , selon l' inventeur du calcul infinitésimal , une expression contradictoire , parce que le mot nombre désigne une quantité qu' on peut nombrer et par conséquent finie ; mais dans l' infinité il n' y a rien de contradictoire . Loin de là , l' infinité actuelle des êtres simples , qui sont sans nombre , est une conclusion nécessaire du principe de la raison suffisante . ”

“ D'ailleurs toutes ces quantités doivent être éliminées, et peuvent l'être sans leur attribuer aucune valeur déterminée : c'est donc au moins une chose superflue, que de les supposer égales à zéro ; c'est particulariser la question quand on peut s'en dispenser, et par conséquent, c'est la résoudre d'une manière moins élégante.
174. Le mérite essentiel, le sublime, on peut le dire, de la méthode infinitésimale, est de réunir la facilité des procédés ordinaires d'un simple calcul d'approximation, à l'exactitude des résultats de l'analyse ordinaire. ”

“ Lorsque parmi ces quantités auxiliaires, il s'en trouve d'une nature telle, qu'on soit maître de les rendre toutes à la fois aussi petites qu'on le veut, sans faire varier en même temps les quantités proposées; cette circonstance donne lieu à des simplifications accidentelles très importantes, et ce sont précisément ces simplifications qui ont fait naître cette branche de calcul qu'on nomme analyse infinitésimale; laquelle n'est autre choses, que l'art de faire choix de semblables auxiliaires, les plus convenables suivant les différens cas, de s'en servir de la manière la plus avantageuse ”

“ Un examen impartial de la célèbre controverse qui s'éleva sur le point de savoir à qui appartient la priorité de l'invention du calcul infinitésimal, montre que, s'il est des éléments que Newton peut revendiquer, il en existe d'autres qui lui étaient communs avec les génies les plus élevés de son temps. ”

“ C'est après tout un plaisir plus noble que celui de deviner des rébus. Les mathématiques pures sont la plus romanesque des sciences; elles n'ont rien à démêler avec les réalités de la vie, elles nous transportent dans le monde des suppositions et des rêves. Le calcul infinitésimal est un abîme où j'aime à me plonger ”

“ Il y a du divin dans chaque objet de la nature , et ce divin est l' infini . Il faut pouvoir soumettre l' infini au calcul , afin de déterminer par l' intelligence l' individuel , le particulier et le réel . Le calcul infinitésimal est le type du passage d' une chose à une autre chose hétérogène , pourvu qu' on entende cette chose d' une certaine manière . C' est par l' infiniment petit en action , c'est - à - dire par ce qui est plus petit
que toute quantité donnée , qu' on peut établir la continuité entre des choses qui apparaissent comme hétérogènes . ”

“ Il paraît beaucoup plus difficile d’expliquer nettement ce qu’est une quantité négative isolée, que de comprendre ce qu’est une quantité infinitésimale ; car celle-ci, comme on l’a vu, est une quantité effective, au lieu que l’autre est un être de raison, puisqu’on ne pourrait l’obtenir que par une opération inexécutable. ”