Adhémar

“ Nous ne voudrions pas que l’apologie des uns parût être le procès des autres : le génie, dans n’importe quel domaine, c’est toujours le génie ! Mais naturalistes ou physiciens trouvent la matière placée d’avance sur leur enclume, ils n’ont qu’à la passer à la fournaise pour la marteler ensuite ; en les pétrissant de mille manières, ils arrachent enfin aux corps quelques-uns de leurs secrets. Mais ces corps, la nature les a placés devant eux. Ces savans, comme l’abeille, se posent sur la fleur, prennent le suc et le transforment en un miel exquis. ”

“ Ainsi l’un des sommets de la science était reconnu à la même époque par deux chemins très différens : le savant anglais se posait une question de mécanique, le savant allemand étudiait une question d’algèbre pure. Et si nous voulions « critiquer » ce point d’histoire des mathématiques, nous pourrions mettre en opposition Newton et le génie anglais, pratique ; Leibniz, et le génie allemand, spéculatif. Si l’on nous objectait que la race n’était pas ici prépondérante, puisque Leibniz était d’origine slave, nous invoquerions l’influence du milieu : la formation de Leibniz était bien allemande. ”

“ La mathématique a une allure tout autre : par exemple, tous les groupes ne sont pas connus ; certains le sont ; sur d’autres, l’on a des résultats partiels. En mathématiques des résultats partiels sont cependant définitifs.
En chimie, en physique, une théorie nouvelle vient souvent ruiner une théorie ancienne. En mathématiques, l’on abandonne bien quelquefois une théorie ancienne. Rarement, elle était fausse, mais l’on a fait plus simple ou plus large. L’ancien était bon, le nouveau est mieux encore. Victor Hugo, dans son ouvrage sur Shakspeare, a traité longuement de l’art et de la science. ”

“ Ce n’est pas moins vrai de l’art que du langage. L’œuvre d’art doit être comme une lampe d’albâtre dont la matière est pure et belle ; l’idée de la beauté brûle au dedans comme une flamme et en éclaire la forme. ”

“ Mais nous ne pouvons étudier ici ces diverses formes de l’art, ces divers phénomènes de résonance dont un esprit cultivé peut être le siège, ces formes variées de l’activité de jeu. Considérons exclusivement la mathématique, sauf à dire un mot de quelque autre science lorsque pour juger il faudra comparer.
Examinons en détail ce fait : l’émotion esthétique du géomètre, émotion qui procède de « l’admiration la plus affinée. » Dans l’œuvre mathématique, les idées mises en jeu, les méthodes, les résultats sont d’une ampleur et d’une profondeur merveilleuses. ”

“ Plus haut encore, n’y a-t-il pas une forme supérieure de l’art dans la métaphysique, la science de la pensée en elle-même, des choses en soi ?
Redescendons un peu : la mathématique cède le pas à la philosophie pour la généralité, mais l’emporte pour la précision. L’arbre a moins d’ampleur, ses plus hautes branches se perdent moins dans la nuée, ses racines forment un réseau moins vaste, mais aussi l’arbre est peut-être plus robuste, ses fruits arrivent peut-être à plus de maturité et de saveur. Il faut, en ce monde, renoncer à rencontrer tous les avantages en même temps. ”

“ Les mathématiques progressent donc par créations totales ou par généralisations, et toujours le géomètre devine d’abord, puis cherche à prouver ; plus il a de génie, et plus rarement ses prévisions sont en défaut.
L’intuition a toujours le rôle de devancière ; elle est aux avant-postes. Ceci est vrai pour toute science ; mais de même que la théorie mathématique est plus artistique, de même l’intuition du géomètre est plus artistique que toute autre, et nous l’allons montrer. ”

“ La mathématique est, par essence, ordre, proportion, unité. La mathématique a un caractère plus définitif, plus absolu que toute autre science : la mathématique est belle. À la contempler, l’on éprouve une émotion esthétique violente, haute récompense du labeur qui a été nécessaire pour créer en soi ce résonateur spécial susceptible d’entrer en vibration devant une majestueuse ordonnance d’idées. ”

“ Qu’un vigoureux coup d’aile nous enlève bien haut, par-delà les cimes, afin que notre regard, perdant le détail, saisisse l’ensemble, et alors puisse voir et admirer les réelles, sublimes harmonies qui existent entre les diverses et majestueuses constructions de ce monument superbe qu’a édifié l’humanité dans sa soif insatiable de vérité et de beauté ! ”

“ Il y a donc là une notion nouvelle et l’on a dit : les deux ensembles ont même puissance. Pour des ensembles finis, le concept de puissance se confond avec celui de nombre. Lorsqu’un ensemble infini a même puissance que l’ensemble des nombres entiers, on le dit dénombrable.
L’ensemble de tous les points d’une droite ou d’une circonférence est indénombrable. Il y a, eu quelque sorte, des infinis avec des concentrations, des densités différentes : l’infini mathématique, lui aussi, soulève d’immenses discussions philosophiques... ”

“ Mais ce n’est point tout que de considérer seulement l’impression produite sur le spectateur, l’auditeur ou le lecteur par l’œuvre achevée, — œuvre d’art ou œuvre mathématique. Il faut examiner maintenant ces ouvrages pendant la période de construction, c’est-à-dire au point de vue de l’ouvrier qui crée : il faut comparer l’inspiration de l’artiste à l’intuition du géomètre.
Devant une théorie mathématique, c’est le seul « vrai » qui nous frappe d’abord. ”

“ Une fonction continue est en général dérivable, c’est là un second caractère important. Prenons un train en marche ; l’espace parcouru est fonction du temps employé à le parcourir, la vitesse à chaque instant varie, elle est aussi fonction du temps. Il y a un lien très précis entre la fonction espace et la fonction vitesse, celle-ci est la dérivée de celle-là.
Notre image a quelque valeur ; c’est elle, en effet, qui a conduit Newton à introduire dans la science le concept de dérivée. ”

“ Mais, à la réflexion, nous suivons, dans leurs grandes lignes, les évolutions de la pensée qui a fait apparaître ce « vrai ; » nous apprécions toute l’habileté de la méthode, s’il était question d’un problème déjà bien posé, mais resté sans solution, et, en outre, toute l’ingéniosité des conceptions, si le géomètre posait lui-même, avec sagacité, une question intéressante, utile aux progrès de la science. Considérons cette théorie des groupes, — nous espérons lasser un peu moins la bienveillance du lecteur en ne multipliant pas trop les exemples techniques. ”

“ Il serait mesquin, assurément, de fixer les bornes du génie de l’homme : au XVIIe siècle une grande lumière s’élevait sur le monde, le siècle de Louis XIV a été témoin, entre mille autres belles choses, d’un spectacle grandiose qui sera toujours et partout admiré par les hommes de pensée. Un homme naquit à Leipsig et mourut à Hanovre, qui fut un profond philosophe, un grand géomètre, qui fut aussi un historien et un noble serviteur de son pays. ”

“ Les Grecs, bien avant notre ère, avaient développé la géométrie pure (sans calcul) ; Archimède avait résolu un cas particulier du calcul intégral. Vièle, au XVIIe siècle, fonda l’algèbre ; Descartes traita par l’algèbre les questions de géométrie (géométrie analytique) . Enfin l’analyse proprement dite (calcul infinitésimal) vit le jour avec la découverte de Newton et Leibniz. Cauchy, au début de notre siècle, a eu la gloire de lui donner un nouvel essor par la substitution à la « variable réelle » de la « variable complexe, » dont la première n’est qu’un cas particulier. ”

“ Nous avons nommé Leibniz ! Nous ne voulons pas désespérer absolument que l’un des siècles futurs voie naître un nouveau Leibniz... Cependant il devient tous les jours plus difficile d’être à la fois bon philosophe et bon mathématicien. L’on conçoit donc que, soucieux avant tout du progrès de la science, M. Emile Picard [1] ait prononcé le mot de « débauche de logique » à l’occasion d’un mouvement récent de critique des fondemens de la mathématique. ”

“ Lorsque, dans les sciences naturelles, une méthode a conduit à énoncer une loi, le savant se propose souvent de parvenir au même résultat par une voie tout autre, et ce n’est point un luxe mais bien un contrôle, une contre-épreuve nécessaire pour donner une confiance plus ferme, une certitude plus grande que l’on ne se trouve point en présence d’un concours fortuit de circonstances. ”

“ À ses yeux la science est essentiellement chose perfectible, l’art est le contraire. « Corneille et Homère sont également parfaits, — dit-il, — tandis qu’Archimède, Galilée, Newton, Cuvier... ont été dépassés. » Le poète illustre ne connaissait point les mathématiques. Assurément elles progresseront sans cesse, mais ce sera plutôt par accroissement que par perfectionnement, ce sera plutôt par l’acquisition d’idées, de méthodes nouvelles, que par l’amélioration des anciennes. Par-là, au point de vue même de Victor Hugo, la mathématique se rapprocherait de l’art. ”

“ Donc, plus que tout autre savant, le géomètre est, par un côté, poète, puisque poète veut dire créateur. Le rôle de l’Imagination est immense chez le mathématicien. Dans la géométrie, nous dira-t-on, qui est l’application de la mathématique à l’étude des positions relatives des corps et des grandeurs telles que surface, volume, courbure... inhérentes à un corps, l’on conçoit encore que l’imagination soit en jeu ”

“ À ce moment, une vie supérieure s’ouvre, celle de la contemplation, par laquelle il s’intéresse aux causes permanentes et génératrices desquelles son être et celui de ses pareils dépendent, aux caractères dominateurs et essentiels qui régissent chaque ensemble et impriment leur marque dans les moindres détails. Pour y atteindre il a deux voies : la première qui est la science, par laquelle, dégageant ces causes et ces lois fondamentales, il les exprime en formules exactes et en termes abstraits ”

“ Dans le domaine de l’arithmétique on peut se croire bien loin de l’analyse infinitésimale, et cependant l’idée de l’infini mathématique joue déjà un rôle prépondérant, et sans elle il n’y aurait pas de science parce qu’il n’y aurait rien de général. ”

“ Nous nous en tiendrons à ces quelques mots sur l’arithmétique technique pour nous arrêter un peu devant l’élément fondamental de cette science, le « nombre entier. »
Bien fatalement un mathématicien est amené à réfléchir sur les origines de cette notion et sur sa valeur philosophique. De même l’on imaginerait difficilement un physicien qui n’aurait pas cherché à se faire une idée de ce que le vulgaire nomme la matière, le temps, la force... Les savans-philosophes et les philosophes-scientifiques ont beaucoup écrit sur le nombre entier. ”

“ A considérer la science par excellence de ce qui se mesure, nous avons rencontré une beauté, sévère peut-être, la beauté, malgré tout, c’est-à-dire ce qui par essence n’est ni mesurable, ni pondérable. ”

“ Au lieu de tout cela que voyons-nous en mathématiques ? Après qu’une vérité a été acquise et sans controverse possible, il arrive bien souvent que l’on est parvenu à cette vérité par une voie totalement différente. ”

“ Le temps que met une voiture automobile à faire un certain trajet dépend de la puissance de la machine, de la longueur de la route, etc. Pour le géomètre la puissance de la machine sera une variable, la longueur du trajet sera une autre variable et l’on dira : « La durée de la course est fonction de ces variables. » En général une variable est une même chose considérée dans les divers états de grandeur qu’elle peut acquérir, et une première variable est fonction d’une deuxième, lorsqu’une variation de celle-ci entraîne une variation de l’autre. ”

“ On nous aura maintenant accordé, nous voulons l’espérer, une imagination très artistique chez le mathématicien et une inspiration puissante venant présider à l’apparition de l’œuvre mathématique comme à l’apparition de l’œuvre d’art, de certaines œuvres d’art particulièrement. Nous voudrions éclaircir encore tout cela et construire une sorte d’échelle d’œuvres d’art telle que l’œuvre mathématique en soit comme le dernier échelon. ”

“ La dérivée est en effet le quotient de l’accroissement infiniment petit [3] de la fonction par l’accroissement infiniment petit correspondant de la variable. Le calcul infinitésimal comprend deux grands chapitres : le calcul différentiel, qui est le calcul des dérivées, et plus généralement se propose de trouver les relations entre « infiniment petits » qui résultent des relations données entre « quantités finies correspondantes. » Dans le calcul intégral, l’on se propose la question inverse (intégration) . ”

“ Nous répondrons que dans certaines questions très abstraites, une sorte d’intuition géométrique raffinée sert bien souvent de guide. Mais lors même que le géomètre n’a plus la ressource d’objectiver l’être idéal qu’il étudie, il y a encore en lui une sorte d’imagination qui travaille. ”

“ Nous signalerons avec force les dissemblances entre l’art et notre science, mais s’il y a entre ces deux manifestations de l’esprit humain quelques notables ressemblances, ne sera-t-il pas permis de les dire ? N’imitons donc pas cet homme qui, ayant bâti sa chaumière tout au bas d’une profonde vallée, renferme le monde dans le cadre étroit de son horizon borné. ”

“ Pour les objectivistes, c’est l’ordre, la proportion, l’unité dans la multiplicité. Pour les subjectivistes, le beau est l’essence du sentiment qu’il provoque, le sentiment esthétique [8] . L’activité esthétique est celle qui cherche à se sentir elle-même pour jouir d’elle-même. ”