Analyse infinitésimale

“ La faculté que se procure ainsi la méthode infinitésimale, la rend susceptible encore d’un nouveau degré de perfection bien plus important, c’est de pouvoir être réduite en un algorithme particulier. Car ces différences entre les quantités non désignées et leurs limites, sont ce qu’on a distingué sous le nom de différentielles de ces mêmes limites, et les simplifications auxquelles donne lieu l’admission de ces quantités dans le calcul sont précisément ce qui donne à l’analyse infinitésimale de si puissants moyens. ”

“ Ce principe suffit seul pour résoudre par l’algèbre ordinaire toutes les questions qui sont du ressort de l’analyse infinitésimale. Les procédés respectifs de l’une et l’autre méthode, simplifiés comme ils doivent l’être, sont absolument les mêmes ; toute la différence est dans la manière d’envisager la question : les quantités que l’on néglige dans l’une comme infiniment petites, on les sous-entend dans l’autre, quoique considérées comme finies, parce qu’il est démontré qu’elles doivent s’éliminer d’elles-mêmes, c’est-à-dire se détruire les unes par les autres dans le résultat du calcul. ”

“ Ce qui, dans toute application de l'analyse transcendante, facilite en effet la formation des équations, c'est la méthode infinitésimale, et non le calcul infinitésimal, qui en est parfaitement distinct, quoiqu'en étant le complément indispensable. Une telle considération donnerait donc une fausse idée de la destination spéciale qui caractérise le calcul différentiel dans le système général de l'analyse transcendante. ”

“ Dans le domaine de l’arithmétique on peut se croire bien loin de l’analyse infinitésimale, et cependant l’idée de l’infini mathématique joue déjà un rôle prépondérant, et sans elle il n’y aurait pas de science parce qu’il n’y aurait rien de général. ”

“ En mathématiques, l'analyse infinitésimale se propose de remonter des effets aux causes, des phénomènes aux lois, il paraît qu'il n'en est pas de même en littérature. Que me fait d'avoir démonte un bonhomme, si je suis comme un enfant qui a ouvert le ventre à sa poupée pour constater qu'il s'y trouve du son ? ”

“ L’art du calcul infinitésimal, c’est d’apprendre à compter les élémens infiniment petits dont le total se compose. Le résultat se nomme intégrale. C’est en effet ce que Leibnitz et Newton, et leurs successeurs, Clairaut, Euler, d’Alembert, Lagrange et Laplace, ont fait avec un rare bonheur, ou plutôt avec un rare génie. Mais ce n’est pas seulement dans la mesure des grandeurs que l’analyse infinitésimale a triomphé. Nous allons voir que ses procédés atteignent avec le même succès la représentation de tous les mouvemens, et en particulier ceux des corps célestes. ”

“ La métaphysique qui vient d’être exposée fournit aisément des réponses à toutes les objections qui ont été faites contre l’analyse infinitésimale, dont plusieurs géomètres ont cru le principe fautif et capable d’induire en erreur ”

“ L’Arithmétique et l’Algèbre sont les branches les plus pures de la Mathématique. L’Analyse Infinitésimale use de notions si complexes, de méthodes résultant d’une si longue élaboration, que l’étude philosophique en est impossible à quiconque n’a point vécu dans le sanctuaire. ”

“ D'ailleurs toutes ces quantités doivent être éliminées, et peuvent l'être sans leur attribuer aucune valeur déterminée : c'est donc au moins une chose superflue que de les supposer égales à zéro ; c'est particulariser la question quand on peut s'en dispenser, et par conséquent c'est la résoudre d'une manière moins élégante.
174. Le mérite essentiel, le sublime, on peut le dire, de la méthode infinitésimale, est de réunir la facilité des procédés ordinaires d'un simple calcul d'approximation à l'exactitude des résultats de l'analyse ordinaire. ”

“ Lorsque parmi ces quantités auxiliaires, il s'en trouve d'une nature telle, qu'on soit maître de les rendre toutes à la fois aussi petites qu'on le veut, sans faire varier en même temps les quantités proposées; cette circonstance donne lieu à des simplifications accidentelles très importantes, et ce sont précisément ces simplifications qui ont fait naître cette branche de calcul qu'on nomme analyse infinitésimale; laquelle n'est autre choses, que l'art de faire choix de semblables auxiliaires, les plus convenables suivant les différens cas, de s'en servir de la manière la plus avantageuse ”

“ Mais la méthode infinitésimale est tellement importante, elle présente encore, dans presque toutes les applications, une telle supériorité effective sur les autres conceptions générales successivement proposées, qu'il y aurait véritablement imperfection dans le caractère philosophique de la science à ne pouvoir la justifier en elle-même, et à la fonder logiquement sur des considérations d'un autre ordre, qu'on cesserait ensuite d'employer efficacement. ”

“ D’un autre coté, le concept de l’infiniment petit ne peut se définir logiquement que d’une manière indirecte par l’intermédiaire des limites ; de sorte qu’au point de vue logique et subjectif, la rigueur démonstrative appartient directement à la méthode des limites et indirectement à la méthode infinitésimale, en tant que celle-ci devient, à l’aide de certaines définitions de mots, une pure traduction de la première. ”

“ L’imperfection du Calcul infinitésimal à sa naissance ne lui a pas permis de résoudre complètement les problèmes difficiles qu’offre la théorie du système du monde, et il a été souvent forcé de ne donner que des aperçus, toujours incertains jusqu’à ce qu’ils aient été vérifiés par une rigoureuse analyse. ”

“ Il paraît beaucoup plus difficile d’expliquer nettement ce qu’est une quantité négative isolée, que de comprendre ce qu’est une quantité infinitésimale ; car celle-ci, comme on l’a vu, est une quantité effective, au lieu que l’autre est un être de raison, puisqu’on ne pourrait l’obtenir que par une opération inexécutable. ”

“ Rien ne termine cette échelle des divers degrés d’indétermination, et c’est précisément dans cet assemblage de quantités plus ou moins définies, plus ou moins arbitraires, qu’est le principe fécond de la méthode générale des indéterminées, dont le calcul infinitésimal n’est véritablement qu’une heureuse application. ”

“ Ainsi la véritable infinité consiste à être en dehors de l’espace et du temps, formes de l’existence finie, et l’infinité relative, contingente, communiquée, consiste à s’étendre sans limites dans le temps et dans l’espace. ”

“ La première illusion à signaler, c’est celle que produisent les mots. On parle du calcul infinitésimal, de l’infiniment petit, de l’infiniment grand ; chacun dit, après Fontenelle, que l’esprit humain a fait entrer l’infini dans ses combinaisons, que Newton et Leibnitz ont soumis l’infini au calcul. ”